6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta}$ δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν για κάθε $\displaystyle{x>0}$ ισχύει $\displaystyle{|\alpha-\beta|<x}$ , τότε $\displaystyle{\alpha=\beta}$ (απόδειξη).

2. Αν $\displaystyle{\alpha+\beta=1}$ ( $\displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ ) και $\displaystyle{|\alpha \,\, \beta|\ne 0}$ , ν' αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{\alpha}{\beta^3-1}+\frac{\beta}{\alpha^3-1}=\frac{2(\alpha\beta -2)}{\alpha^2\beta^2+3}}$

3. Σε ένα τρίγωνο με $\displaystyle{AB\Gamma}$ με διαμέσους $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{BE}$ ισχύει $\displaystyle{\widehat{\Gamma A \Delta}=\widehat{\Gamma BE}=30^ο}$ . Ν' αποδειχτεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισόπλευρο.
(Είναι γνωστό ότι οι διάμεσοι τριγώνου περνούν από το ίδιο σημείο, το οποίο τις διαιρεί σε λόγο $\displaystyle{2:1}$ )

4. Επειδή είναι η $\displaystyle{6\eta}$ ΕΜΟ και το έτος είναι $\displaystyle{1989}$ , μπορείτε να βρείτε τα δυο τελευταία ψηφία του αριθμού $\displaystyle{6^{1989}}$ ;

Υ.Γ. Ελπίζω ο περιορισμός μετά το κόκκινο ''και'' στο 2ο να είναι σωστός, γιατί μου φάνηκε ύποπτο το κενό που υπήρχε μέσα στο απόλυτο.

Ιστοσελίδα · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta}$ δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν για κάθε $\displaystyle{x>0}$ ισχύει $\displaystyle{|\alpha-\beta|<x}$ , τότε $\displaystyle{\alpha=\beta}$ (απόδειξη).

Έστω ότι $\alpha\neq\beta .$

Τότε για $x=\dfrac{|\alpha -\beta|}{2}>0$ έχουμε:

$|\alpha -\beta|<\dfrac{|\alpha -\beta|}{2} \Rightarrow 2|\alpha -\beta|<|\alpha -\beta|\Rightarrow |\alpha -\beta|<0 ,$ άτοπο.

Άρα $\alpha =\beta .$

Ιστοσελίδα · #3

parmenides51 έγραψε:4. Επειδή είναι η $\displaystyle{6\eta}$ ΕΜΟ και το έτος είναι $\displaystyle{1989}$ , μπορείτε να βρείτε τα δυο τελευταία ψηφία του αριθμού $\displaystyle{6^{1989}}$ ;

$6^4=1296\equiv -4 \mod 100$

$6^{1989}=(6^4)^{497}\cdot 6\equiv (-4)^{497}\cdot 6 =-4^{497}\cdot 6 \mod 100$

$4^6=4096\equiv -4 \mod 100$

$4^{497}=(4^6)^{82}\cdot 4^5\equiv (-4)^{82}\cdot 4^5=4^{87} =$

$(4^6)^{14}\cdot 4^3\equiv (-4)^{14}\cdot 4^3=4^{17}\equiv 4^7\equiv -16\mod 100$

Άρα $6^{1989}\equiv 16\cdot 6 = 96 \mod 100$

BAGGP93 · #4

Για το 2) ένας τρόπος είναι ο ακόλουθος

$\displaystyle{\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{a}{(b-1)(b^2+b+1)}+\frac{b}{(a-1)(a^2+a+1)}=-\frac{1}{b^2+b+1}-\frac{1}{a^2+a+1}=}$

$\displaystyle{\frac{-a^2-a-1-b^2-b-1}{(a^2+a+1)(b^2+b+1)}=\frac{A}{B}}$

όπου

$\displaystyle{A=-a^2-a-1-b^2-b-1=-(a^2+b^2)-(a+b)-2=-[(a+b)^2-2ab]-1-2=-1+2ab-3=2(ab-2)}$

και

$\displaystyle{B=(a^2+a+1)(b^2+b+1)=a^2b^2+a^2b+a^2+ab^2+ab+a+b^2+b+1=a^2b^2+(a+b)^2-2ab+(a+b)+1+ab(a+b)+ab=}$

$\displaystyle{=a^2b^2+1+1+1+2ab-2ab=a^2b^2+3}$

Συνεπώς, $\displaystyle{\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}}$

Ιστοσελίδα · #5

Το τετράπλευρο $\rm{AB}\Delta\rm{E}$ είναι τραπέζιο.

Αφού $\Gamma \widehat{\rm{A}}\Delta = \Gamma \widehat{\rm{B}}\rm{E} =30^{\circ}$ το τετράπλευρο $\rm{AB}\Delta\rm{E}$ είναι εγγράψιμο.

Άρα το $\rm{AB}\Delta\rm{E}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Επομένως $\rm{AE}=\rm{B}\Delta$ οπότε $\rm{A}\Gamma=\rm{B}\Gamma .$

Ακόμα $\rm{AK}=\rm{BK}=2\rm{KE}=2\rm{K}\Delta .$

Στο τρίγωνο $\rm{AKE}$ από το νόμο ημιτόνων έχουμε:

$\dfrac{\rm{KE}}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{\rm{AK}}{\sin x} \Rightarrow 2\rm{KE}\sin x = \rm{AK} \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=90^{\circ} .$

Άρα το $\rm{BE}$ είναι διάμεσος και ύψος του τριγώνου, δηλαδή είναι ισοσκελές με $\rm{AB}=\rm{B\Gamma} .$

Τελικά $\rm{AB}=\rm{B\Gamma}=\rm{A}\Gamma ,$ δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta}$ δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν για κάθε $\displaystyle{x>0}$ ισχύει $\displaystyle{|\alpha-\beta|<x}$ , τότε $\displaystyle{\alpha=\beta}$ (απόδειξη).

αλλιώς εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Επειδή είναι η $\displaystyle{6\eta}$ ΕΜΟ και το έτος είναι $\displaystyle{1989}$ , μπορείτε να βρείτε τα δυο τελευταία ψηφία του αριθμού $\displaystyle{6^{1989}}$ ;

αλλιώς εδώ (παράδειγμα 4)

έχει μεθοδολογία και παρόμοιες στην παραπάνω παραπομπή

6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Α' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση