6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

parmenides51 · #1

1. Θεωρούμε φυσικούς αριθμούς (= θετικούς ακεραίους) $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}}$ τέτοιους ώστε από τον τρίτο και μετά, ο καθένας να είναι το άθροισμα των δυο προηγούμενων του (δηλ. $\displaystyle{\alpha_3=\alpha_2+\alpha_1, \alpha_4=\alpha_3+\alpha_2}$ κ.λ.π). Αν $\displaystyle{\alpha_5=7}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\alpha_{10}}$ .

2. Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x,y}$ γίνεται η παράσταση $\displaystyle{\frac{2-\displaystyle\left(\frac{x+y}{3}-1\right)^2}{\displaystyle\left(\frac{x-3}{2}+\frac{2y-x}{3}\right)^2+4}}$ γίνεται μέγιστη;
Ποια είναι η μέγιστη αυτή τιμή;

3. Έστω $\displaystyle{A_1A_2A_3...A_{72}}$ ένα κανονικό $\displaystyle{72}$ -γωνο με κέντρο $\displaystyle{O}$ .
Να υπολογιστεί μια εξωτερική γωνία του πολυγώνου αυτού καθώς και οι γωνίες $\displaystyle{ \widehat{A_{45} OA_{46}},\widehat{A_{44} A_{45}A_{46}}}$ .
Πόσες διαγώνιες έχει το πολύγωνο αυτό;

4. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ έχει η εξίσωση $\displaystyle{x^2-\frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}x+2\lambda+2=0}$ τη ρίζα $\displaystyle{x=-1}$ ;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x,y}$ γίνεται η παράσταση $\displaystyle{\frac{2-\displaystyle\left(\frac{x+y}{3}-1\right)^2}{\displaystyle\left(\frac{x-3}{2}+\frac{2y-x}{3}\right)^2+4}}$ γίνεται μέγιστη;
Ποια είναι η μέγιστη αυτή τιμή;

$\displaystyle{\frac{2-\displaystyle\left(\frac{x+y}{3}-1\right)^2}{\displaystyle\left(\frac{x-3}{2}+\frac{2y-x}{3}\right)^2+4}\le \frac{2-\displaystyle\left(\frac{x+y}{3}-1\right)^2}{4}\le \frac{2}{4}= \frac{1}{2}}$

με το πρώτο ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{\frac{x-3}{2}+\frac{2y-x}{3}=0}$ (1) διότι $\displaystyle{ \left(\frac{x-3}{2}+\frac{2y-x}{3}\right)^2\ge 0}$
και το δεύτερο ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{\frac{x+y}{3}-1=0}$ (2) διότι $\displaystyle{ \left(\frac{x+y}{3}-1\right)^2 0}$ ]

συνεπώς η παράσταση θα γίνεται μέγιστη όταν ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις (1),(2)

$\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle\frac{x-3}{2}+\frac{2y-x}{3}=0 \\ \\ \displaystyle\frac{x+y}{3}-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle6\frac{x-3}{2}+6\frac{2y-x}{3}=6\cdot 0 \\ \\ \displaystyle3\frac{x+y}{3}-3\cdot 1=2\cdot 0 \end{cases}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle 3(x-3)+2(2y-x)= 0 \\ \displaystyle1(x+y)-3= 0 \end{cases}}\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle 3x-9+4y-2x= 0 \\ \displaystyle x+y-3= 0 \end{cases}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle x+4y= 9 \\ \displaystyle x+y=3 \end{cases}\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)}$

Η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι το $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε φυσικούς αριθμούς (= θετικούς ακεραίους) $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}}$ τέτοιους ώστε από τον τρίτο και μετά, ο καθένας να είναι το άθροισμα των δυο προηγούμενων του (δηλ. $\displaystyle{\alpha_3=\alpha_2+\alpha_1, \alpha_4=\alpha_3+\alpha_2}$ κ.λ.π). Αν $\displaystyle{\alpha_5=7}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\alpha_{10}}$ .;

Επειδή προσθέτουμε θετικούς αριθμούς κάθε φορά, οι αριθμοί μεγαλώνουν καθώς οι δείκτες μεγαλώνουν δηλαδή $\displaystyle{\alpha_2<\alpha_3<\alpha_4<...<\alpha_{10}}$
(με άλλα λόγια οι αριθμοί είναι σε αύξουσα σειρά)

Το $\displaystyle{7}$ γράφεται σαν άθροισμα θετικών ακεραίων με τους εξής τρόπους $\displaystyle{7=6+1=5+2=3+4}$

Για να διατηρείται η αύξουσα σειρά πρέπει η τριάδα $\displaystyle{(\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)}$ να είναι :
είτε $\displaystyle{(1,6,7)}$ αντίστοιχα που απορρίπτεται γιατί τότε θα είχαμε οτι $\displaystyle{\alpha_2=\alpha_4-\alpha_3=6-1=5 >1=\alpha_3}$
είτε $\displaystyle{(2,5,7)}$ αντίστοιχα που απορρίπτεται γιατί τότε θα είχαμε οτι $\displaystyle{\alpha_2=\alpha_4-\alpha_3=5-2=3 >2=\alpha_3}$
είτε $\displaystyle{(3,4,7)}$ αντίστοιχα που είναι δεκτή, αφού έχουμε ότι $\displaystyle{\alpha_2=\alpha_4-\alpha_3=4-3=1<2=\alpha_3}$ .

οπότε $\displaystyle{\alpha_1=\alpha_3-\alpha_2=3-1=2}$

και τελικά έχουμε πως οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}}$ είναι αντίστοιχα οι $\displaystyle{2,1,3,4,7,11,18,29,47,76}$

άρα $\displaystyle{\alpha_{10}=76}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:4. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ έχει η εξίσωση $\displaystyle{x^2-\frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}x+2\lambda+2=0}$ τη ρίζα $\displaystyle{x=-1}$ ;

$\displaystyle{x^2-\frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}x+2\lambda+2=0}$

Περιορισμοί : πρέπει $\displaystyle{\lambda -1\ne 0 \Leftrightarrow \lambda \ne 1}$

Μια εξίσωση έχει ρίζα έναν αριθμό όταν αυτός την επαληθεύει.

Οπότε αντικαθιστώντας $\displaystyle{x=-1}$ στην δοθείσα εξίσωση έχουμε πως

$\displaystyle{(-1)^2-\frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}(-1)+2\lambda +2=0 \Leftrightarrow 1-(-1)\frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}+2\lambda +2=0 \Leftrightarrow \frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}+2\lambda +3 =0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow (\lambda -1)\frac{\lambda^2+1}{\lambda -1}+2\lambda(\lambda -1) +3(\lambda -1) =0(\lambda -1) \Leftrightarrow \lambda^2+1+2\lambda^2-2\lambda+3\lambda-3=0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \lambda^2+2\lambda^2-2\lambda+3\lambda+1-3=0{ \Leftrightarrow 3\lambda^2+\lambda-2=0}$

με διακρίνουσα βρίσκουμε πως $\displaystyle{\lambda_1=-1}$ (δεκτή) και $\displaystyle{\lambda_2=\frac{2}{3}}$ (δεκτή)

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Έστω $\displaystyle{A_1A_2A_3...A_{72}}$ ένα κανονικό $\displaystyle{72}$ -γωνο με κέντρο $\displaystyle{O}$ .
Να υπολογιστεί μια εξωτερική γωνία του πολυγώνου αυτού καθώς και οι γωνίες $\displaystyle{ \widehat{A_{45} OA_{46}},\widehat{A_{44} A_{45}A_{46}}}$ .
Πόσες διαγώνιες έχει το πολύγωνο αυτό;

Η κεντρική γωνία του πολυγώνου είναι $\displaystyle{\omega_{\nu}=\frac{360^o}{\nu}=\frac{360^o}{72}=5^o}$ άρα $\displaystyle{\widehat{A_{45} OA_{46}}= \omega_{\nu}=5^o}$ .

Η γωνία του πολυγώνου $\displaystyle{\varphi_{\nu}=180^o-\omega_{\nu}=180^o-5^o=175^o}$ άρα $\displaystyle{\widehat{A_{44} A_{45}A_{46}}= \varphi_{\nu}=175^o}$

Η εξωτερική γωνία του πολυγώνου είναι ίση με $\displaystyle{180^o-\varphi_{\nu}=180^o-175^o=5^o}$

Αν ενώσουμε μια κορυφή του με τις υπόλοιπες $\displaystyle{71}$ κορυφές του, έχουμε $\displaystyle{71}$ ευθύγραμμα τμήματα, από τα οποία τα $\displaystyle{2}$ είναι πλευρές του και τα υπόλοιπα $\displaystyle{69}$ διαγώνιες του. Αφού από μια κορυφή έχουμε $\displaystyle{69}$ διαγώνιες , τότε για $\displaystyle{72}$ κορυφές θα έχουμε $\displaystyle{72\cdot 69}$ διαγώνιες κι επειδή κάθε διαγώνιο την μετρήσαμε δυο φορές, μια από κάθε σημείο, οι διαγώνιες θα είναι οι μισές του $\displaystyle{72\cdot 69}$ άρα $\displaystyle{\frac{72\cdot 69}{2}=36\cdot 69 =2484}$ συνολικά.

6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Γυμνασίου)

Μέλη σε σύνδεση