5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}\\ \sqrt{16-x_1}+ \sqrt{16-x_2}+...+ \sqrt{16-x_{100}}=100\sqrt{15} \end{matrix}\right}}$

2. Στο επίπεδο θεωρούμε $\displaystyle{70}$ σημεία $\displaystyle{A_1,A_2,...,A_{70}}$ με ακέραιες συντεταγμένες. Υποθέτουμε ότι κάθε σημείο έχει βάρος $\displaystyle{1}$ μονάδας και ότι τα κέντρα βάρους των τριάδων $\displaystyle{A_1A_2A_3,A_2A_3A_4,...,A_{68}A_{69}A_{70},A_{69}A_{70}A_{1},A_{70}A_{1}A_{2}}$ έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ν' αποδειχτεί οτι το κέντρο βάρους οποιασδήποτε τριάδας $\displaystyle{A_i,A_j,...,A_{k}}$ έχει ακέραιες συντεταγμένες.

3. Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{x_{\nu}}$ που ορίζεται από την αναδρομική σχέση $\displaystyle{x_{\nu+2}=\frac{1}{12}x_{\nu+1}+\frac{1}{2}x_{\nu}+1}$
όπου $\displaystyle{\nu=0,1,2,...}$ για οποιεσδήποτε αρχικές τιμές $\displaystyle{x_2,x_1}$ .

4. Σε μια ομάδα $\displaystyle{G}$ έχουμε δυο στοιχεία $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{x^{\nu}=e,y^2=e,yxy=x^{-1}}$ ( $\displaystyle{\nu\ge 1}$ ).
Ν' αποδειχτεί οτι για κάθε $\displaystyle{k\in\mathbb{N}}$ έχουμε $\displaystyle{(x^ky)^2=e}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}\\ \sqrt{16-x_1}+ \sqrt{16-x_2}+...+ \sqrt{16-x_{100}}=100\sqrt{15} \end{matrix}\right}}$ .

Κοιτάζοντας το μου ήρθε η εξής ανορθόδοξη αντιμετώπιση.

Παρατηρούμε οτι και οι δυο εξισώσεις επαληθεύονται για $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{100}=1}$

Για $\displaystyle{9+x_1\ge 0}$ έχουμε: $\displaystyle{\sqrt{9+x_1} =\sqrt{10} \Leftrightarrow 9+x_1=10 \Leftrightarrow x_1=1}$ λύση δεκτή άρα

έχουμε $\displaystyle{\sqrt{9+x_1} =\sqrt{10} }$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_1=1}$
ομοίως $\displaystyle{\sqrt{9+x_2} =\sqrt{10} }$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_2=1}$
ομοίως $\displaystyle{\sqrt{9+x_3} =\sqrt{10} }$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_3=1}$
...
ομοίως $\displaystyle{\sqrt{9+x_{100}} =\sqrt{10} }$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_{100}=1}$

Προσθέτοντας τις παραπάνω $\displaystyle{100}$ εξισώσεις κατά μέλη έχουμε πως $\displaystyle{\sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}}$

με το ίσον να ισχύει όταν ισχύουν και το προηγούμενα $\displaystyle{100}$ ίσον, άρα όταν $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{100}=1}$

Τέλος παρατηρούμε ότι η λύση $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{100}=1}$ επαληθεύει και την δεύτερη εξίσωση, άρα είναι δεκτή.

Ας την ελέγξει κάποιος για την ορθότητα της.

#3

parmenides51 έγραψε:
Ας την ελέγξει κάποιος για την ορθότητα της.

Όχι, η λύση δεν είναι σωστή.

Το λάθος είναι ότι παίρνει τις ικανές συνθήκες ως αναγκαίες. Ίσως ο ευκολότερος τρόπος να εξηγήσω γιατί είναι λάθος, είναι με παράδειγμα που ακολουθεί την ίδια μεθοδολογία αλλά στο τέλος είναι πιο ορατό γιατί το αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο.

Έστω ότι θέλουμε τα $x_1,\, x_2, \, x_3$ με $x_1 \ge 0,\, x_2 \ge 0, \, x_3\ge 0$ που ικανοποιούν

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x_1^3-3x_2^2+2x_3= 1^3-3\cdot 1^1+2\cdot1\\ x_1^3-2x_2^2-x_3 +2=1^3-2\cdot1-1\cdot1+2 \end{matrix}\right }}$

και λέγαμε:

Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις ικανοποιούνται για $\displaystyle{x_1=x_2=x_3=1}$ .

Επίσης έχουμε $\displaystyle{x_1^3=1^3}$ με το ίσον να ισχύει (για $x_1\ge 0$ ) μόνο όταν $\displaystyle{x_1=1}}$
ομοίως $\displaystyle{-3x_2^2=-3\cdot1^2}$ με το ίσον να ισχύει (για $x_2\ge 0$ ) μόνο όταν $\displaystyle{x_2=1}}$
ομοίως $\displaystyle{2x_3=2\cdot1}$ με το ίσον να ισχύει (για $x_3\ge 0$ ) μόνο όταν $\displaystyle{ x_3=1}}$

Αν προσθέσουμε κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{x_1^3-3x_2^2+2x_3= 1^3-3\cdot 1^1+2\cdot1}$ . Όμοια για την άλλη εξίσωση.

Λύσαμε άραγε το σύστημα;

Όχι. Απλά βρήκαμε μία λύση του. Να όμως που το σύστημα έχει και άλλη.
Μπορεί κανείς να ελέγξει κάνοντας τις πράξεις ότι και η

$\displaystyle{x_1=x_2=x_3=2}$ είναι λύση.

Με το παράδειγμα φαίνεται ότι θα μπορούσε τα δύο μέλη της κάθε εξίσωσης να είναι ίσα, χωρίς να είναι "όρο προς όρο ίσα" (που είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη, οπότε μπορεί να χάνουμε λύσεις).

Ελπίζω να ξεκαθάρισα το τοπίο.

Φιλικά,

Μιχάλης

parmenides51 · #4

Ευχαριστώ Μιχάλη για την επισήμανση του λάθους. Συνήθως όταν κάνω λάθος, έχει κάποιο σφάλμα ο συλλογισμός μου.
Σε μια προσπάθεια να σώσω την παραπάνω απόδειξη, βρήκα σε ποιο σημείο ακριβώς έχει λάθος ο συλλογισμός μου.
Ας το μοιραστώ μαζί σας . Προφανώς δεν σώνεται.

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}\\ \sqrt{16-x_1}+ \sqrt{16-x_2}+...+ \sqrt{16-x_{100}}=100\sqrt{15} \end{matrix}\right}}$ .

Για $\displaystyle{9+x_1\ge 0\Leftrightarrow x_1\ge -9}$ έχουμε:
$\displaystyle{\sqrt{9+x_1} =\sqrt{10} \Leftrightarrow 9+x_1=10 \Leftrightarrow x_1=1}$ λύση δεκτή
$\displaystyle{\sqrt{9+x_1} >\sqrt{10} \Leftrightarrow 9+x_1>10 \Leftrightarrow x_1>1 \mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow}^{x_1\ge -9} x_1>1}$
$\displaystyle{\sqrt{9+x_1} <\sqrt{10} \Leftrightarrow 9+x_1<10 \Leftrightarrow x_1<1 \mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow}^{x_1\ge -9}-9\le x_1<1}$

Συνεπώς για $\displaystyle{x_1\in [-9,1]}$ έχουμε πως $\displaystyle{\sqrt{9+x_1} -\sqrt{10}\le 0}$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_1=1}$
ομοίως για $\displaystyle{x_2\in [-9,1]}$ έχουμε πως $\displaystyle{\sqrt{9+x_2} -\sqrt{10}\le 0}$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_2=1}$
...
ομοίως για $\displaystyle{x_{100}\in [-9,1]}$ έχουμε πως $\displaystyle{\sqrt{9+x_{100}} -\sqrt{10}\le 0}$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x_{100}=1}$

Προσθέτοντας τις παραπάνω $\displaystyle{100}$ εξισώσεις κατά μέλη έχουμε πως $\displaystyle{\sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}} -100\sqrt{10} \le 0}$

με το ίσον να ισχύει όταν ισχύουν και το προηγούμενα $\displaystyle{100}$ ίσον, άρα όταν $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{100}=1}$

Οπότε η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}} =100\sqrt{10} }$ έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{100}=1}$ όταν $\displaystyle{x_i\in [-9,1]}$ για $\displaystyle{i=1,2,...,100}$ .

Ομοίως η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}} =100\sqrt{10} }$ έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{100}=1}$ όταν $\displaystyle{x_i\in [1,+\infty)}$ για $\displaystyle{i=1,2,...,100}$ .

Και το λάθος στον συλλογισμό, για την ακρίβεια ο λόγος που η παραπάνω μέθοδος δεν αρκεί για να λυθεί η παρούσα εξίσωση, είναι πως αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να δώσει αποτελέσματα αν οι τιμές $\displaystyle{x_i}$ δεν ανήκουν όλες στο ίδιο διάστημα είτε στο $\displaystyle{ [-9,1] }$ είτε στο $\displaystyle{[1,+\infty)}$ αν πχ. $\displaystyle{x_i\in [-9,1]}$ για $\displaystyle{i=1,2,...,99}$ και $\displaystyle{x_{100}\in [1,+\infty)}$

Κάτι μάθαμε και σήμερα

#5

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}\\ \sqrt{16-x_1}+ \sqrt{16-x_2}+...+ \sqrt{16-x_{100}}=100\sqrt{15} \end{matrix}\right}}$

Έστω $\displaystyle{\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{9+x_1} ,\sqrt{16-x_1}}) , \overrightarrow{u_2}=(\sqrt{9+x_2} ,\sqrt{16-x_2}}) , . . . ,\overrightarrow{u_{100}}=(\sqrt{9+x_{100}} , \sqrt{16-x_{100}}})}$

Tότε:

$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|= ... =|\overrightarrow{u_{100}}|=5+5+...+5=500}$ ,και

$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+ ... +\overrightarrow{u_{100}}|=|(100\sqrt{10},100\sqrt{15})|=100.5=500}$

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι πρέπει να είναι :

$\displaystyle{\overrightarrow{u_1} =\overrightarrow{u_2} = ... =\overrightarrow{u_{100}}}$ $\displaystyle{\Rightarrow x_1 =x_2 =...=x_{100}}$

Kαι αφού $\displaystyle{\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+ ... +\overrightarrow{u_{100}}=(100\sqrt{10},100\sqrt{15})\Rightarrow 100\overrightarrow{u_1}=(100\sqrt{10},100\sqrt{15})\Rightarrow}$

$\displaystyle{(100\sqrt{9+x_1},100\sqrt{16-x_1})=(100\sqrt{10},100\sqrt{15})}$

$\displaystyle{\Rightarrow 100\sqrt{9+x_1}=100\sqrt{10}\Rightarrow \sqrt{9+x_1}=\sqrt{10}\Rightarrow x_1 =1}$

Άρα $\displaystyle{x_1 =x_2 =x_3 = . . . =x_{100}=1}$

#6

parmenides51 έγραψε:3. Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{x_{\nu}}$ που ορίζεται από την αναδρομική σχέση $\displaystyle{x_{\nu+2}=\frac{1}{12}x_{\nu+1}+\frac{1}{2}x_{\nu}+1}$
όπου $\displaystyle{\nu=0,1,2,...}$ για οποιεσδήποτε αρχικές τιμές $\displaystyle{x_2,x_1}$

(Μας θυμίζει ασκήσεις της δεκαετίας του 1970-80)

Θεωρώ την εξίσωση:

$\displaystyle{x=\frac{1}{12}x+\frac{1}{2}x+1\Leftrightarrow x=\frac{12}{5}}$

Aφαιρώ και από τα δύο μέλη της δοσμένης ισότητας το $\displaystyle{\frac{12}{5}}$ και έχω:

$\displaystyle{x_{\nu +2}-\frac{12}{5}=\frac{1}{12}x_{\nu +1}+\frac{1}{2}x_{\nu}-\frac{7}{5}}$ , (1)

Θέτω: $\displaystyle{y_{\nu}=x_{\nu}-\frac{12}{5}, }$ για κάθε $\displaystyle{\nu\epsilon N^{*}}$

Τότε η σχέση (1) γράφεται:

$\displaystyle{y_{\nu +2}=\frac{1}{12}(y_{\nu +1}+\frac{12}{5})+\frac{1}{2}(y_{\nu}+\frac{12}{5})-\frac{7}{5}\Rightarrow}$

$\displaystyle{y_{\nu +2}=\frac{1}{12}y_{\nu +1}+\frac{1}{2}y_{\nu}}$

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:

$\displaystyle{y^2 =\frac{1}{12}y+\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=\frac{3}{4}}$ , ή $\displaystyle{y=-\frac{2}{3}}$

'Αρα θα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{m , k}$ , ώστε να είναι:

$y_{\nu}=m(\frac{3}{4})^{\nu} +k(-\frac{2}{3})^{\nu}.$

Άρα: $\displaystyle{limy_{\nu}=m.0+k.0=0}$ . Αλλά $\displaystyle{x_{\nu}=y_{\nu}+\frac{12}{5}}$ . Και αφού $\displaystyle{lim(y_{\nu}+\frac{12}{5})=0+\frac{12}{5}=\frac{12}{5}}$

θα έχουμε: $\displaystyle{limx_{\nu}=\frac{12}{5}}$

#7

parmenides51 έγραψε:4. Σε μια ομάδα $\displaystyle{G}$ έχουμε δυο στοιχεία $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{x^{\nu}=e,y^2=e,yxy=x^{-1}}$ ( $\displaystyle{\nu\ge 1}$ ).
Ν' αποδειχτεί οτι για κάθε $\displaystyle{k\in\mathbb{N}}$ έχουμε $\displaystyle{(x^ky)^2=e}$ .

(Aπό το τέλος της δεκαετίας του 1970, άρχισαν να διδάσκονται στην Γ Λυκείου οι αλγεβρικές δομές και οι διανυσματικοί χώροι , τα οποία λίγα χρόνια μετά, αποσύρθηκαν)

Θα ακολουθήσουμε την μέθοδο της τέλειας επαγωγής.

Εξετάζουμε αν ισχύει το ζητούμενο για $\displaystyle{k=0}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{(x^0 y)^2 =e\Leftrightarrow y^2 =e}$ , το οποίο είναι αληθές, από την υπόθεση.

Υποθέτουμε ότι ισχύει για $\displaystyle{k=n}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{(x^n y)^2 =e}$

Θα αποδείξουμε ότι θα ισχύει και για $\displaystyle{k=n+1}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{(x^{n+1}y)^2 e}$

Πράγματι, έχουμε:

$\displaystyle{(x^{n+1}y)^2 =(x^n xy)^2 =(x^n xy)(x^n xy)=(x^n xy)(xx^n y)=x^n (xyx)(x^n y)}$ , (1)

Αλλά από την υπόθεση έχουμε ότι: $\displaystyle{yxy=x^{-1}\Rightarrow xy=y^{-1}x^{-1}}$ . Άρα η σχέση (1) γράφεται:

$\displaystyle{(x^{n+1}y)^2 =x^n (y^{-1}x^{-1}x)(x^n y)=x^n y^{-1}x^n y}$ , (2)

Επίσης από την υπόθεση έχουμε: $\displaystyle{y^2 =e\Rightarrow y=y^{-1}}$ . Άρα η σχέση (2) γράφεται:

$\displaystyle{(x^{n+1}y)^2 =x^n yx^ny=(x^n y)^2=e}$ , (λόγω της υπόθεσης της τέλειας επαγωγής)

Άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#8

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}\\ \sqrt{16-x_1}+ \sqrt{16-x_2}+...+ \sqrt{16-x_{100}}=100\sqrt{15} \end{matrix}\right}}$

Πολλή ωραία η λύση του Δημήτρη, και θα ήθελα να τη σχολιάσω.

Ουσιαστικά χρησιμοποιεί την ανισότητα

$\displaystyle{ \sqrt{ (a_1+...+a_n)^2 + (b_1+...+b_n)^2} \le \sqrt {a_1^2 + b_1^2}+... +\sqrt {a_n^2 + b_n^2}\, (*)}$ με ισότητα αν και μόνον αν για κάποιο $\lambda$ είναι $\displaystyle{a_k=\lambda b_k, \, \forall k}$ .

Η απόδειξη που έδωσε είναι μέσω εσωτερικού γινομένου κάνοντας χρήση των διανυσμάτων $\displaystyle{ u_k=(a_k, \, b_k)}$ . Εδώ $\displaystyle{a_k= \sqrt{9+x_k}, \, b_k=\sqrt {16-x_k}}$ .

Ένας γεωμετρικός τρόπος να δούμε την ίδια ανισότητα είναι από το παρακάτω σχήμα (το ζωγράφισα για n=3

). Από το σχήμα είναι προφανές ότι η ευθεία

έχει μήκος μικρότερο ή ίσο από το μήκος της τεθλασμένης που, από το Πυθαγόρειο, είναι ακριβώς η (*)

.

Με αυτούς τους όρους, έχουμε

$\displaystyle{ 250 = \sqrt {(100\sqrt {10})^2+(100\sqrt {15})^2 }=\sqrt {\left( \sqrt {9+x_1}+ ... + \sqrt {9+x_{100}}\right)^2+\left ( \sqrt {16-x_1}+ ... + \sqrt {16-x_{100}}\right)^2} }$

$\displaystyle{\le (9+x_1+16-x_1)+ ... + (9+x_{100}+16-x_{100})=250 }$ .

Δηλαδή έχουμε ισότητα, από όπου εύκολα $x_1=...=x_{100}=1$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

styt_geia · #9

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|= ... =|\overrightarrow{u_{100}}|=5+5+...+5=500}$ ,και

$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+ ... +\overrightarrow{u_{100}}|=|(100\sqrt{10},100\sqrt{15})|=100.5=500}$

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι πρέπει να είναι :

$\displaystyle{\overrightarrow{u_1} =\overrightarrow{u_2} = ... =\overrightarrow{u_{100}}}$ $\displaystyle{\Rightarrow x_1 =x_2 =...=x_{100}}$

Ίσως για κάποιους να μην είναι προφανές. Μία σύντομη αιτιολόγηση:
Από την σχέση
$|\vec{u}_1+\vec{u}_2+\cdots+\vec{u}_{100}|=|\vec{u}_1|+|\vec{u}_2|+\cdots+|\vec{u}_{100}|$
υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει

$\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2+\vec{u}_1\cdot \vec{u}_3+\cdots +\vec{u}_{99} \cdot \vec{u}_{100}=|\vec{u}_1|| \vec{u}_2|+|\vec{u}_1||\vec{u}_3|+\cdots +|\vec{u}_{99}|| \vec{u}_{100}|(*)$

οπότε

$|\vec{u}_1-\vec{u}_2|^2+|\vec{u}_1-\vec{u}_3|^2+\cdots+|\vec{u}_{99}-\vec{u}_{100}|^2= \\ |\vec{u}_1|^2-2\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2+|\vec{u}_2|^2+|\vec{u}_1|^2-2\vec{u}_1\cdot \vec{u}_3+|\vec{u}_3|^2+\cdots+|\vec{u}_{99}|^2-2\vec{u}_{99}\cdot \vec{u}_{100}+|\vec{u}_{100}|^2\stackrel{(*)}{=} \\ |\vec{u}_1|^2-2|\vec{u}_1|| \vec{u}_2|+|\vec{u}_2|^2+|\vec{u}_1|^2-2|\vec{u}_1|| \vec{u}_3|+|\vec{u}_3|^2+\cdots+|\vec{u}_{99}|^2-2|\vec{u}_{99}|| \vec{u}_{100}|+|\vec{u}_{100}|^2=0$

Αυτό σημαίνει ότι $|\vec{u}_1-\vec{u}_2|=|\vec{u}_1-\vec{u}_3|=\cdots=|\vec{u}_{99}-\vec{u}_{100}|=0$ απ' όπου έπεται η ισότητα των διανυσμάτων ανά δύο.

sokratis lyras · #10

styt_geia έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|= ... =|\overrightarrow{u_{100}}|=5+5+...+5=500}$ ,και

$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+ ... +\overrightarrow{u_{100}}|=|(100\sqrt{10},100\sqrt{15})|=100.5=500}$

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι πρέπει να είναι :

$\displaystyle{\overrightarrow{u_1} =\overrightarrow{u_2} = ... =\overrightarrow{u_{100}}}$ $\displaystyle{\Rightarrow x_1 =x_2 =...=x_{100}}$
Ίσως για κάποιους να μην είναι προφανές. Μία σύντομη αιτιολόγηση:
Από την σχέση
$|\vec{u}_1+\vec{u}_2+\cdots+\vec{u}_{100}|=|\vec{u}_1|+|\vec{u}_2|+\cdots+|\vec{u}_{100}|$
υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει

$\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2+\vec{u}_1\cdot \vec{u}_3+\cdots +\vec{u}_{99} \cdot \vec{u}_{100}=|\vec{u}_1|| \vec{u}_2|+|\vec{u}_1||\vec{u}_3|+\cdots +|\vec{u}_{99}|| \vec{u}_{100}|(*)$

οπότε

$|\vec{u}_1-\vec{u}_2|^2+|\vec{u}_1-\vec{u}_3|^2+\cdots+|\vec{u}_{99}-\vec{u}_{100}|^2= \\ |\vec{u}_1|^2-2\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2+|\vec{u}_2|^2+|\vec{u}_1|^2-2\vec{u}_1\cdot \vec{u}_3+|\vec{u}_3|^2+\cdots+|\vec{u}_{99}|^2-2\vec{u}_{99}\cdot \vec{u}_{100}+|\vec{u}_{100}|^2\stackrel{(*)}{=} \\ |\vec{u}_1|^2-2|\vec{u}_1|| \vec{u}_2|+|\vec{u}_2|^2+|\vec{u}_1|^2-2|\vec{u}_1|| \vec{u}_3|+|\vec{u}_3|^2+\cdots+|\vec{u}_{99}|^2-2|\vec{u}_{99}|| \vec{u}_{100}|+|\vec{u}_{100}|^2=0$

Αυτό σημαίνει ότι $|\vec{u}_1-\vec{u}_2|=|\vec{u}_1-\vec{u}_3|=\cdots=|\vec{u}_{99}-\vec{u}_{100}|=0$ απ' όπου έπεται η ισότητα των διανυσμάτων ανά δύο.

Μα είναι απλώς τριγωνική.

#11

parmenides51 έγραψε: 2. Στο επίπεδο θεωρούμε $\displaystyle{70}$ σημεία $\displaystyle{A_1,A_2,...,A_{70}}$ με ακέραιες συντεταγμένες. Υποθέτουμε ότι κάθε σημείο έχει βάρος $\displaystyle{1}$ μονάδας και ότι τα κέντρα βάρους των τριάδων $\displaystyle{A_1A_2A_3,A_2A_3A_4,...,A_{68}A_{69}A_{70},A_{69}A_{70}A_{1},A_{70}A_{1}A_{2}}$ έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ν' αποδειχτεί οτι το κέντρο βάρους οποιασδήποτε τριάδας $\displaystyle{A_i,A_j,...,A_{k}}$ έχει ακέραιες συντεταγμένες.

Ας γράψουμε (x_i,y_i)

για τις συντεταγμένες του A_i

. Αφού το κέντρο βάρους του A_1A_2A_3

έχει ακέραιες συντεταγμένες πρέπει 3|(x_1+x_2+x_3)

. Ομοίως πρέπει 3|(x_2+x_3+x_4)

και άρα $x_1 \equiv x_4 \bmod 3$ . Ομοίως

$\displaystyle{x_1 \equiv x_4 \equiv \cdots \equiv x_{70} \equiv x_3 \equiv x_6 \equiv \cdots \equiv x_{69} \equiv x_2 \equiv x_5 \equiv \cdots \equiv x_{68} \bmod 3.}$

Δηλαδή όλα τα x_i

είναι ισότιμα $\bmod 3$ και άρα το άθροισμα κάθε τριάδας από x_i

είναι πολλαπλάσιο του 3. Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει και με τα y_i

άρα το κέντρο βάρους κάθε τριάδες σημείων έχει ακέραιες συντεταγμένες.

S.E.Louridas · #12

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{9+x_1}+ \sqrt{9+x_2}+...+ \sqrt{9+x_{100}}=100\sqrt{10}\\ \sqrt{16-x_1}+ \sqrt{16-x_2}+...+ \sqrt{16-x_{100}}=100\sqrt{15} \end{matrix}\right}}$

Έστω $\displaystyle{\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{9+x_1} ,\sqrt{16-x_1}}) , \overrightarrow{u_2}=(\sqrt{9+x_2} ,\sqrt{16-x_2}}) , . . . ,\overrightarrow{u_{100}}=(\sqrt{9+x_{100}} , \sqrt{16-x_{100}}})}$

Tότε:

$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|= ... =|\overrightarrow{u_{100}}|=5+5+...+5=500}$ ,και

$\displaystyle{|\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+ ... +\overrightarrow{u_{100}}|=|(100\sqrt{10},100\sqrt{15})|=100.5=500}$

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι πρέπει να είναι :

$\displaystyle{\overrightarrow{u_1} =\overrightarrow{u_2} = ... =\overrightarrow{u_{100}}}$ $\displaystyle{\Rightarrow x_1 =x_2 =...=x_{100}}$

Kαι αφού $\displaystyle{\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+ ... +\overrightarrow{u_{100}}=(100\sqrt{10},100\sqrt{15})\Rightarrow 100\overrightarrow{u_1}=(100\sqrt{10},100\sqrt{15})\Rightarrow}$

$\displaystyle{(100\sqrt{9+x_1},100\sqrt{16-x_1})=(100\sqrt{10},100\sqrt{15})}$

$\displaystyle{\Rightarrow 100\sqrt{9+x_1}=100\sqrt{10}\Rightarrow \sqrt{9+x_1}=\sqrt{10}\Rightarrow x_1 =1}$

Άρα $\displaystyle{x_1 =x_2 =x_3 = . . . =x_{100}=1}$

Η έμπνευση του Δημήτρη για την επίλυση του θέματος αυτού είναι η Άριστη.
Μία ισχυρή μεθοδολογική στόχευση είναι να «ρίχνουμε» τέτοια θέματα (με πολλές δηλαδή μεταβλητές σε σύγκριση με το πλήθος των εξισώσεων) σε ανισοϊσότητα που η ισχύς της ισότητας να οδηγεί σε σύστημα που να δίνει την «ποθούμενη» λύση. Η (B-C-S) είναι από τα ιδανικά για τον σκοπό αυτό "εργαλεία".

Μία άλλη καθαρά Αλγεβρική εκδοχή πάνω στην μέθοδο που ανέφερα είναι και η εξής (και βέβαια μόνο για λόγους πλουραλισμού):

$100\left( {900 + \sum\limits_{i = 1}^{100} {x_i } } \right) \geqslant \left( {\sum\limits_{i = 1}^{100} {\sqrt {9 + x_i } } } \right)^2 \geqslant 100^2 \cdot 10 \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^{100} {x_i } \geqslant 100,$ από την (B-C-S).
Όμοια (επ' ακριβώς) από την άλλη σχέση την 2η δηλαδή ισότητα παίρνουμε:
$\sum\limits_{i = 1}^{100} {x_i } \leqslant 100\; \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^{100} {x_i } = 100.$
Αυτό οδηγεί στην ισχύ της ισότητας στην (B-C-S), δηλαδή στην
$x_1 = x_2 = ... = x_{100} = 1.$

#13

parmenides51 έγραψε:4. Σε μια ομάδα $\displaystyle{G}$ έχουμε δυο στοιχεία $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{x^{\nu}=e \quad {\color{red}\bf \bigstar},y^2=e,yxy=x^{-1}}$ ( $\displaystyle{\nu\ge 1}$ ).
Ν' αποδειχτεί οτι για κάθε $\displaystyle{k\in\mathbb{N}}$ έχουμε $\displaystyle{(x^ky)^2=e}$ .

λίγο διαφορετικά από το Δημήτρη

$yxy=x^{-1}\iff xyxy=e\iff (xy)^2=e$
--------------------------------------------------------------
για $k=0 \quad (x^ky)^2=y^2=e$ ισχύει από την υπόθεση

για $k=1 \quad (x^ky)^2=(xy)^2=e$ ισχύει

για $k\geq 2 \quad (x^ky)^2\stackrel{{\color{red}\bf \bigstar}}=\!=y^2=e$

(τα δύο τελευταία βήματα μπορούσαμε να τα κάνουμε ένα, αφού η ${\color{red}\bf \bigstar}$ ισχύει για $k\geq 1$ )

5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση