ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να προσδιοριστούν οι τιμές των παραμέτρων $\displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ , για τις οποίες οι ρίζες των εξισώσεων $\displaystyle{x^2-\alpha x-1=0}$ και $\displaystyle{x^2-\beta x-1=0}$ σχηματίζουν με κατάλληλη διάταξη μία αριθμητική πρόοδο με $\displaystyle{4}$ όρους.

2. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x,y,z) = x^2yz + 3x^2y + 2x^2z + 6x^2 + 11xyz + 22xz + 33xy + 66x}$ .
α) Να γράψετε το $\displaystyle{P(x,y,z)}$ ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.
β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθμών $\displaystyle{(x,y,z)}$ ισχύει $\displaystyle{P(x,y,z)=2002}$ ;

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με $\displaystyle{AB=2, A\Gamma=2,B\Gamma=3}$ και σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{B\Delta=2\Delta\Gamma}$ . Στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε ευθεία κάθετη προς την $\displaystyle{A\Delta}$ η οποία τέμνει το τόξο $\displaystyle{\overset{\frown }{AB\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ .
Να υπολογίσετε την περίμετρο του τετραπλεύρου $\displaystyle{ABM\Gamma}$ συναρτήσει του $\displaystyle{AM=k}$ .

4. Στην Ε.Μ.Ε. γίνονται μαθήματα προετοιμασίας για τις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες για τους $\displaystyle{20}$ μαθητές που προκρίνονται στην τελική φάση.
Διδάσκονται $\displaystyle{4}$ μαθήματα: Γεωμετρία, Θεωρία αριθμών, Συνδυαστική, Άλγεβρα.
Δήλωσαν συμμετοχή: στη Γεωμετρία $\displaystyle{15}$ μαθητές, στη Θεωρία αριθμών $\displaystyle{13}$ , στη Συνδυαστική $\displaystyle{14}$ και στην Άλγεβρα $\displaystyle{19}$ μαθητές.
Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον μαθητής δήλωσε συμμετοχή και στα $\displaystyle{4}$ μαθήματα.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x,y,z) = x^2yz + 3x^2y + 2x^2z + 6x^2 + 11xyz + 22xz + 33xy + 66x}$ .
α) Να γράψετε το $\displaystyle{P(x,y,z)}$ ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.
β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθμών $\displaystyle{(x,y,z)}$ ισχύει $\displaystyle{P(x,y,z)=2002}$ ;

εδώ (άσκηση 47)

apotin · #3

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με $\displaystyle{AB=2, A\Gamma=2,B\Gamma=3}$ και σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{B\Delta=2\Delta\Gamma}$ . Στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε ευθεία κάθετη προς την $\displaystyle{A\Delta}$ η οποία τέμνει το τόξο $\displaystyle{\overset{\frown }{AB\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ .
Να υπολογίσετε την περίμετρο του τετραπλεύρου $\displaystyle{ABM\Gamma}$ συναρτήσει του $\displaystyle{AM=k}$ .

Το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι προφανώς αμβλυγώνιο στη γωνία $\displaystyle{A}$ .

Το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta }$ είναι επίσης ισοσκελές $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Delta = 2} \right)}$ οπότε $\displaystyle{{\rm B}\hat \Delta {\rm A} < 90^\circ }$ . Άρα το σημείο $\displaystyle{M}$ είναι σημείο του τόξου $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

: 2001.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 1138 φορές

Έστω $\displaystyle{{\rm B}{\rm M} = \mu }$ και $\displaystyle{{\rm M}\Gamma = \lambda }$ .

Τότε από το Θ. Πτολεμαίου στο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm M}\Gamma }$ έχουμε

$\displaystyle{{\rm A}{\rm B} \cdot \Gamma {\rm M} + {\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}{\rm M} = {\rm A}{\rm M} \cdot {\rm B}\Gamma \Rightarrow 2\lambda + 2\mu = 3\kappa \Rightarrow \lambda + \mu = \frac{{3\kappa }}{2}}$

οπότε

$\displaystyle{{\rm A}{\rm B} + {\rm B}{\rm M} + {\rm M}\Gamma + \Gamma {\rm A} = 2 + \mu + \lambda + 2 = 4 + \frac{{3\kappa }}{2}}$

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Στην Ε.Μ.Ε. γίνονται μαθήματα προετοιμασίας για τις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες για τους $\displaystyle{20}$ μαθητές που προκρίνονται στην τελική φάση.
Διδάσκονται $\displaystyle{4}$ μαθήματα: Γεωμετρία, Θεωρία αριθμών, Συνδυαστική, Άλγεβρα.
Δήλωσαν συμμετοχή: στη Γεωμετρία $\displaystyle{15}$ μαθητές, στη Θεωρία αριθμών $\displaystyle{13}$ , στη Συνδυαστική $\displaystyle{14}$ και στην Άλγεβρα $\displaystyle{19}$ μαθητές.
Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον μαθητής δήλωσε συμμετοχή και στα $\displaystyle{4}$ μαθήματα.

Το λύσαμε εδώ.

#5

parmenides51 έγραψε:1. Να προσδιοριστούν οι τιμές των παραμέτρων $\displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ , για τις οποίες οι ρίζες των εξισώσεων

$\displaystyle{x^2-\alpha x-1=0~~{\color{blue}\bf(1)}}$ και $\displaystyle{x^2-\beta x-1=0~~{\color{blue}\bf(2)}}$
σχηματίζουν με κατάλληλη διάταξη μία αριθμητική πρόοδο με $\displaystyle{4}$ όρους.

οι

δεν έχουν ρίζα το x=0

έστω

οι ρίζες της (1)

,

της

κι ας υποθέσουμε x_1<x_3

από τις $(1),(2)\longrightarrow ~~x_1+x_2=a,~~ x_1x_2=-1,~~x_3+x_4=b,~~x_3x_4=-1$

έχουμε $x_2=-\dfrac{1}{x_1},~~ x_4=-\dfrac{1}{x_3}$

τότε η διάταξή τους θα είναι : ${\color{red}\bf x_2}(=-\dfrac{1}{x_1})\qquad <\quad {\color{red}\bf x_4}(=-\dfrac{1}{x_3})\qquad <\quad {\color{red}\bf x_1}\quad <\qquad \color{red}\bf x_3$

και

$x_3-x_1=x_4-x_2\Rightarrow x_3-x_1=\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_3}\Rightarrow x_1x_3=1\Rightarrow x_1=\dfrac{1}{x_3}$

η διάταξή τους γράφεται : ${\color{red}\bf x_2}(=-\dfrac{1}{x_1}=-x_3)\qquad <\quad {\color{red}\bf x_4}(=-\dfrac{1}{x_3})\qquad <\quad{\color{red}\bf x_1}(=\dfrac{1}{x_3})\quad <\qquad \color{red}\bf x_3$

με $x_3-\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{2}{x_3}\Rightarrow x_3^2=3\Rightarrow x_3=\sqrt 3 ~~ \eta ~~ x_3=-\sqrt 3$ δεχόμαστε το $\boxed{x_3=\sqrt 3}$ λόγω του x_1<x_3

επομένως $a=-\dfrac{2\sqrt 3}{3},~~ b=\dfrac{2\sqrt 3}{3}$

αν κάνουμε αντικατάσταση στις αρχικές,πράγματι ικανοποιούν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση