ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(E)}$ : $\displaystyle{x + 2x + 3x + ... +100x = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 101}$ .

2. Δίνονται τα κλάσματα: $\displaystyle{K= \frac{33.333.333.331}{33.333.333.334}}$ και $\displaystyle{\Lambda = \frac{22.222.222.221}{22.222.222.223}}$ .
Ποιο είναι μεγαλύτερο και γιατί;

3. Δίνεται τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , όπου $\displaystyle{A\Delta = \alpha, B\Gamma= \beta, AB = \alpha + \beta}$ και η πλευρά $\displaystyle{AB}$ είναι κάθετος προς τις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta}$ .
Να υπολογιστεί η απόσταση της κορυφής $\displaystyle{A}$ από το μέσον της πλευράς $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta,\gamma,\delta}$ και $\displaystyle{\varepsilon}$ είναι διαφορετικοί και καθένας παίρνει μια από τις τιμές $\displaystyle{1, 2, 3, 4}$ και $\displaystyle{5}$ , είναι δυνατόν να έχουμε τη σχέση
$\displaystyle{(\alpha + \beta) (\beta + \gamma) (\gamma+ \delta) (\delta +\varepsilon) (\varepsilon + \alpha) = (\alpha + \gamma) (\gamma + \varepsilon) (\varepsilon + \beta) (\beta + \delta) (\delta + \alpha)}$ ;

perpant · #2

parmenides51 έγραψε:
2. Δίνονται τα κλάσματα: $\displaystyle{K= \frac{33.333.333.331}{33.333.333.334}}$ και $\displaystyle{\Lambda = \frac{22.222.222.221}{22.222.222.223}}$ .
Ποιο είναι μεγαλύτερο και γιατί;

Έχουμε
$\displaystyle{ K = \frac{{33333333331}}{{33333333334}} = \frac{{33333333334 - 3}}{{33333333334}} = 1 - \frac{3}{{33333333334}} }$

$\displaystyle{ \Lambda = \frac{{22222222221}}{{22222222223}} = \frac{{22222222223 - 2}}{{22222222223}} = 1 - \frac{2}{{22222222223}} }$

Έστω $\displaystyle{ {\rm K} \ge \Lambda \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{33333333334}} \ge 1 - \frac{2}{{22222222223}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{3}{{33333333334}} \le \frac{2}{{22222222223}} \Leftrightarrow \displaystyle{66666666669} \le 66666666668 }$

Άτοπο, άρα $\displaystyle{{\rm K} < \Lambda }$

EDIT: Άλλαξα το τελευταίο εννιάρι στο $\displaystyle{66666666669}$ , το είχα 6 και μου έβγαινε αλλίως η διάταξη

perpant · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(E)}$ : $\displaystyle{x + 2x + 3x + ... +100x = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 101}$ .

$\displaystyle{\begin{array}{l} x + 2x + 3x + ... + 100x = {2^2}{5^3}101 \Leftrightarrow \\ x\left( {1 + 2 + 3 + ... + 100} \right) = {2^2}{5^3}101 \Leftrightarrow \\ x\frac{{100\left( {1 + 100} \right)}}{2} = {2^2}{5^3}101 \Leftrightarrow x50 \cdot 101 = {2^2}{5^3}101 \Leftrightarrow x = \frac{{{2^2}{5^3}}}{{50}} = 10 \end{array}}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta,\gamma,\delta}$ και $\displaystyle{\varepsilon}$ είναι διαφορετικοί και καθένας παίρνει μια από τις τιμές $\displaystyle{1, 2, 3, 4}$ και $\displaystyle{5}$ , είναι δυνατόν να έχουμε τη σχέση
$\displaystyle{(\alpha + \beta) (\beta + \gamma) (\gamma+ \delta) (\delta +\varepsilon) (\varepsilon + \alpha) = (\alpha + \gamma) (\gamma + \varepsilon) (\varepsilon + \beta) (\beta + \delta) (\delta + \alpha)}$ ;

Υπολογίζουμε όλα τα αθροίσματα δυο διαφορετικών αριθμών από το $\displaystyle{1}$ έως και το $\displaystyle{5}$ και τα αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

$\displaystyle{1+2=3}$
$\displaystyle{1+3=4=2^2}$
$\displaystyle{1+4=5}$
$\displaystyle{1+5=6=2\cdot 3}$
$\displaystyle{2+3=5}$
$\displaystyle{2+4=6=2\cdot 3}$
$\displaystyle{2+5=7}$
$\displaystyle{3+4=7}$
$\displaystyle{3+5=8=2^3}$
$\displaystyle{4+5=9=3^2}$ .

Ας υποθέσουμε πως υπάρχουν αριθμοί με τις προϋποθέσεις της εκφώνησης τέτοιοι ώστε $\displaystyle{(\alpha + \beta) (\beta + \gamma) (\gamma+ \delta) (\delta +\varepsilon) (\varepsilon + \alpha) = (\alpha + \gamma) (\gamma + \varepsilon) (\varepsilon + \beta) (\beta + \delta) (\delta + \alpha)}$ .

Αφού στην παραπάνω σχέση περιέχονται όλα τα γινόμενα από τα παραπάνω δέκα αθροίσματα,θα έχουμε πως $\displaystyle{3^cx= 3^d y}$ όπου $\displaystyle{x,y}$ ακέραιοι (ως άθροισμα ακεραίων) που δεν διαιρούνται με το $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{c,d}$ φυσικοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{c+d=5}$ .

Επειδή τα δυο μέλη της $\displaystyle{3^cx= 3^d y}$ είναι ο ίδιος αριθμός, και κάθε αριθμός έχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, θα πρέπει $\displaystyle{c=d}$ , οπότε $\displaystyle{c+d=5\Rightarrow c+c=5\Rightarrow 2c=5\Rightarrow c=\frac{5}{2}}$ που δεν είναι φυσικός αριθμός, άτοπο.

Άρα δεν υπάρχουν αριθμοί με τις προϋποθέσεις της εκφώνησης.

pito · #5

3. Δίνεται τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , όπου $\displaystyle{A\Delta = \alpha, B\Gamma= \beta, AB = \alpha + \beta}$ και η πλευρά $\displaystyle{AB}$ είναι κάθετος προς τις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta}$ .
Να υπολογιστεί η απόσταση της κορυφής $\displaystyle{A}$ από το μέσον της πλευράς $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

Έστω $M,\Lambda$ τα μέσα των πλευρών $\Delta \Gamma ,AB$ αντίστοιχα.
Η $M\Lambda$ είναι διάμεσος του τραπεζίου , άρα θα είναι παράλληλη στις βάσεις του . Συνεπώς θα είναι κάθετη στην

και ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων δηλαδή $M\Lambda =\frac{a+\beta }{2}$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $A\Lambda M$ από πυθαγόρειο
$AM^{2}=\frac{(a+\beta )^{2}}{4}+\frac{(a+\beta )^{2}}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{(a+\beta )\sqrt{2}}{2}$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση