ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Ένας μαθητής θέλει να αγοράσει δύο βιβλία. Το βιβλίο $\displaystyle{A}$ κοστίζει το $\displaystyle{60\%}$ των χρημάτων που έχει μαζί του, ενώ το βιβλίο $\displaystyle{B}$ κοστίζει το $\displaystyle{44\%}$ των χρημάτων που έχει μαζί του. Αν είχε $\displaystyle{0,80}$ € περισσότερα, τότε θα είχε ακριβώς τα χρήματα που κοστίζουν και τα δύο βιβλία μαζί. Να βρείτε πόσα χρήματα κοστίζει κάθε ένα από τα δύο βιβλία.

2.Έστω $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\gamma}$ είναι τα μήκη των καθέτων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $\displaystyle{\alpha}$ .
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\beta^4 + \beta^2\gamma ^2 + \gamma ^4 \ge \frac{3}{4} \alpha^4}$ .

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ ) και $\displaystyle{A\Delta}$ το ύψος του. Στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ παίρνουμε κάθετα τμήματα $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{BE= \Gamma Z = \frac{1}{2} A\Delta }$ και τα $\displaystyle{E, Z}$ να βρίσκονται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από το $\displaystyle{A}$ ως προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ .
α) Να δειχτεί ότι $\displaystyle{AE= AZ}$ .
β) Αν είναι $\displaystyle{E(AB\Gamma) = \kappa^2}$ , να προσδιορίσετε τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{AEZ}$ και $\displaystyle{AK\Lambda}$ , όπου $\displaystyle{K,\Lambda}$ είναι τα σημεία τομής των $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{AZ}$ με τη $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα.

4. Έστω $\displaystyle{A = 2(\lambda^2 + \mu^2) - (\lambda + \mu)^2 - 4}$ και $\displaystyle{B = \lambda^2 - \lambda \mu + \lambda +\mu - 2}$ , $\displaystyle{\lambda , \mu \in \mathbb{R}}$ . Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{(E)}$ : $\displaystyle{Ax = B}$ , ως προς $\displaystyle{x}$ , για τις διάφορες τιμές των πραγματικών παραμέτρων $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2.Έστω $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\gamma}$ είναι τα μήκη των καθέτων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $\displaystyle{\alpha}$ .
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\beta^4 + \beta^2\gamma ^2 + \gamma ^4 \ge \frac{3}{4} \alpha^4}$ .

εδώ

styt_geia · #3

parmenides51 έγραψε:1. Ένας μαθητής θέλει να αγοράσει δύο βιβλία. Το βιβλίο $\displaystyle{A}$ κοστίζει το $\displaystyle{60\%}$ των χρημάτων που έχει μαζί του, ενώ το βιβλίο $\displaystyle{B}$ κοστίζει το $\displaystyle{44\%}$ των χρημάτων που έχει μαζί του. Αν είχε $\displaystyle{0,80}$ € περισσότερα, τότε θα είχε ακριβώς τα χρήματα που κοστίζουν και τα δύο βιβλία μαζί. Να βρείτε πόσα χρήματα κοστίζει κάθε ένα από τα δύο βιβλία.

Τα βιβλία κοστίζουν το $60\%+44\%=104\%$ των χρημάτων του. Αυτό σημαίνει ότι τα 0,80

ευρώ είναι το επιπλέον $4\%$ οπότε τα χρήματά του ήταν $\frac{0,8}{0,04}=20$ ευρώ και τα βιβλία κόστιζαν $0,6 \cdot 20=12$ και $0,44 \cdot 20=\eur{8,8}$ ευρώ.

perpant · #4

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{A = 2(\lambda^2 + \mu^2) - (\lambda + \mu)^2 - 4}$ και $\displaystyle{B = \lambda^2 - \lambda \mu + \lambda +\mu - 2}$ , $\displaystyle{\lambda , \mu \in \mathbb{R}}$ . Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{(E)}$ : $\displaystyle{Ax = B}$ , ως προς $\displaystyle{x}$ , για τις διάφορες τιμές των πραγματικών παραμέτρων $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ .

Έχουμε $\displaystyle{{\rm A} = 2\left( {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} \right) - {\left( {\lambda + \mu } \right)^2} - 4 = 2{\lambda ^2} + 2{\mu ^2} - {\lambda ^2} - 2\lambda \mu - {\mu ^2} - 4 = }$ $\displaystyle{{\left( {\lambda - \mu } \right)^2} - 4 \Leftrightarrow {\rm A} = \left( {\lambda - \mu - 2} \right)\left( {\lambda - \mu + 2} \right)}$ και

$\displaystyle{{\rm B} = {\lambda ^2} - \left( {\mu - 1} \right)\lambda + \left( {\mu - 2} \right) \Leftrightarrow {\rm B} = \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - \mu + 2} \right)}$ .

Θέτοντας $\displaystyle{\lambda - \mu = \kappa }$ έχουμε

$\displaystyle{{\rm A} = \left( {\lambda - \mu - 2} \right)\left( {\lambda - \mu + 2} \right) = \left( {\kappa - 2} \right)\left( {\kappa + 2} \right)}$ και

$\displaystyle{{\rm B} = \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - \mu + 2} \right) = \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\kappa + 2} \right)}$ .

Οπότε για την εξίσωση $\displaystyle{{\rm A}x = {\rm B}}$ έχουμε: $\displaystyle{{\rm A}x = {\rm B} \Leftrightarrow \left( {\kappa - 2} \right)\left( {\kappa + 2} \right)x = \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\kappa + 2} \right)}$

• 1η περίπτωση Για $\displaystyle{\kappa \ne \pm 2}$

Η εξίσωση έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{x = \frac{{\left( {\lambda - 1} \right)\left( {\kappa + 2} \right)}}{{\left( {\kappa - 2} \right)\left( {\kappa + 2} \right)}} = \frac{{\lambda - 1}}{{\kappa - 2}} = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda - \mu - 2}}}$

• 2η περίπτωση Για $\displaystyle{\kappa = 2}$

Έχουμε $\displaystyle{{\rm A} = 0}$ και $\displaystyle{{\rm B} = 4\left( {\lambda - 1} \right)}$ . Οπότε για $\displaystyle{\lambda = 1}$ η εξίσωση είναι αόριστη, ενώ για $\displaystyle{\lambda \ne 1}$ η εξίσωση είναι αδύνατη

• 3η περίπτωση Για $\displaystyle{\kappa = - 2}$

Έχουμε $\displaystyle{{\rm A} = {\rm B} = 0}$ οπότε η εξίσωση είναι αόριστη

perpant · #5

parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ ) και $\displaystyle{A\Delta}$ το ύψος του. Στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ παίρνουμε κάθετα τμήματα $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{BE= \Gamma Z = \frac{1}{2} A\Delta }$ και τα $\displaystyle{E, Z}$ να βρίσκονται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από το $\displaystyle{A}$ ως προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ .
α) Να δειχτεί ότι $\displaystyle{AE= AZ}$ .
β) Αν είναι $\displaystyle{E(AB\Gamma) = \kappa^2}$ , να προσδιορίσετε τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{AEZ}$ και $\displaystyle{AK\Lambda}$ , όπου $\displaystyle{K,\Lambda}$ είναι τα σημεία τομής των $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{AZ}$ με τη $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα.

α) Τα τρίγωνα $\displaystyle{ABE}$ και $\displaystyle{A\Gamma {\rm Z}}$ είναι ίσα αφού:
$\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma }$
$\displaystyle{ {\rm B}{\rm E} = \Gamma {\rm Z} }$ από υπόθεση και
$\displaystyle{ {\rm A}\widehat{\rm B}{\rm E} = {\rm A}\widehat{\rm B}\Gamma + \Gamma \widehat{\rm B}{\rm E} = {\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} + {\rm B}\widehat\Gamma {\rm Z} = {\rm A}\widehat\Gamma {\rm Z} }$

Συνεπώς από το κριτήριο Π-Γ-Π είναι ίσα και άρα $\displaystyle{ {\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm Z} }$

β) $\displaystyle{ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \kappa ^2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}\Delta = \kappa ^2 }$
Τότε
$\displaystyle{ \left( {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} \right) = \frac{1}{2}{\rm E}{\rm Z} \cdot {\rm A}{\rm M} = \frac{1}{2}{\rm B}\Gamma \cdot \left( {{\rm A}\Delta + \Delta {\rm M}} \right) = }$
$\displaystyle{ \frac{1}{2}{\rm B}\Gamma \cdot \frac{3}{2} \cdot {\rm A}\Delta = \frac{3}{2}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{3}{2}\kappa ^2 }$

Επιπλέον τα $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}\Lambda }$ και $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}}$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\displaystyle{ \lambda = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm A}{\rm M}}} = \frac{2}{3}}$ . Άρα $\displaystyle{ \frac{{\left( {{\rm A}{\rm K}\Lambda } \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} \right)}} = \lambda ^2 \Leftrightarrow \left( {{\rm A}{\rm K}\Lambda } \right) = \left( {\frac{2}{3}} \right)^2 \left( {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} \right) = \frac{4}{9}\frac{3}{2}\kappa ^2 = \frac{2}{3}\kappa ^2 }$
EDIT: Έβαλα άλλο σχήμα
EDIT: Άλλαξα και πάλι το σχήμα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση