ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A = 2^{92} \cdot 5^{90} \cdot 3^4 \cdot 7^2}$ . Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο $\displaystyle{A}$ και ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του.

2. Να προσδιοριστούν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle{\frac{\alpha}{3} = \frac{ \beta}{4} =\frac{6}{ \gamma}}$ .

3. Έστω $\displaystyle{M}$ σημείο της βάσης $\displaystyle{B\Gamma}$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB = 6}$ . Αν είναι $\displaystyle{MK\perp AB , M\Lambda\perp A\Gamma }$ και $\displaystyle{K_1 \Lambda _1}$ είναι η προβολή του $\displaystyle{K\Lambda}$ στη $\displaystyle{B\Gamma}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου $\displaystyle{KK_1\Lambda _1 \Lambda}$ .

4. Οι $\displaystyle{15}$ μαθητές μιας τάξης έχουν συνολικά στις τσάντες τους $\displaystyle{115}$ τετράδια. Αν κάθε μαθητής έχει ένα τουλάχιστον τετράδιο, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων.

perpant · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Οι $\displaystyle{15}$ μαθητές μιας τάξης έχουν συνολικά στις τσάντες τους $\displaystyle{115}$ τετράδια. Αν κάθε μαθητής έχει ένα τουλάχιστον τετράδιο, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων.

Έστω ότι όλοι οι μαθητές έχουν διαφορετικό αριθμό τετραδίων. Τότε $\displaystyle{1 + 2 + 3 + ... + 15 = \frac{{15}}{2}\left( {1 + 15} \right) = 120 > 115}$ .

Οπότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο μαθητές με ίδιο αριθμό τετραδίων.

Υ.Γ. Έγινε χρήση του τύπου του αθροίσματος των $\displaystyle{\nu }$ πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου, $\displaystyle{\,\,\,S_\nu = \frac{\nu }{2}\left( {\alpha _1 + \alpha _\nu } \right)}$ . Οι μαθητές του Γυμνασίου, αθροίζουν κανονικά τους αριθμούς. Εκτός από τους μικρούς $\displaystyle{Gauss}$ φυσικά!

perpant · #3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A = 2^{92} \cdot 5^{90} \cdot 3^4 \cdot 7^2}$ . Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο $\displaystyle{A}$ και ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του.

Έχουμε
$\displaystyle{ 2^{92} 5^{90} 3^4 7^2 = 2^{90} 5^{90} 2^2 9^2 7^2 = 10^{90} \left( {2 \cdot 9 \cdot 7} \right)^2 = 10^{90} 126^2 }$

Άρα ο αριθμός λήγει σε $\displaystyle{90}$ μηδενικά και το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του είναι το $\displaystyle{6}$

Karanus · #4

parmenides51 έγραψε: 2. Να προσδιοριστούν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle{\frac{\alpha}{3} = \frac{ \beta}{4} =\frac{6}{ \gamma}}$ .

Από την δοθείσα έχω: $\alpha \gamma =18$ (1) και $\beta \gamma =24$ (2)
Από την (1) $\gamma \mid 18$ και από την (2) $\gamma \mid 24$
Άρα ο $\gamma$ παίρνει τις τιμές $\left\{1,2,3,6 \right\}$
Οπότε από τις (1) και (2) αντικαθιστώντας βρίσκω τα $\alpha$ και $\beta$
$\left(\alpha ,\beta ,\gamma \right)=\left(3,4,6 \right),\left(6,8,3 \right),\left(9,12,2 \right),\left(18,24,1 \right)$

Ιστοσελίδα · #5

parmenides51 έγραψε:3. Έστω $\displaystyle{M}$ σημείο της βάσης $\displaystyle{B\Gamma}$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB = 6}$ . Αν είναι $\displaystyle{MK\perp AB , M\Lambda\perp A\Gamma }$ και $\displaystyle{K_1 \Lambda _1}$ είναι η προβολή του $\displaystyle{K\Lambda}$ στη $\displaystyle{B\Gamma}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου $\displaystyle{KK_1\Lambda _1 \Lambda}$ .

Αν $\upsilon$ είναι το ύψος του ισόπλευρου τριγώνου πλευράς a=6

τότε με Πυθαγόρειο θεώρημα ή με τριγωνομετρία
βρίσκουμε ότι $\upsilon=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} .$

$E_{ABM}+E_{AM\varGamma}=E_{AB\varGamma}$ ή $\dfrac{a\cdot MK}{2}+\dfrac{a\cdot M\varLambda}{2}=\dfrac{a\cdot \upsilon}{2}$ ή

$\dfrac{a(MK+ M\varLambda)}{2}=\dfrac{a\cdot \upsilon}{2}$ ή $MK+ M\varLambda=\upsilon= 3\sqrt{3} .$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο KK_1M

η γωνία $K\widehat{M}K_1=30^{\circ}$ και $\sin 30^{\circ}=\dfrac{KK_1}{KM}$ ή $KK_1=KM\sin 30^{\circ}=\dfrac{KM}{2}$

Ακόμα $\cos 30^{\circ}=\dfrac{K_1M}{KM}$ ή $K_1M=KM\cos 30^{\circ}=\dfrac{KM\sqrt{3}}{2}$

Όμοια στο ορθογώνιο τρίγωνο $M\varLambda\varGamma$ είναι $\varLambda\varLambda_1=\varLambda M\sin 30^{\circ}=\dfrac{\varLambda M}{2}$ και

$M\varLambda_1=\varLambda M\cos 30^{\circ}=\dfrac{\varLambda M\sqrt{3}}{2}$

Επομένως, $K_1\varLambda_1=K_1M+M\varLambda_1=\dfrac{KM\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\varLambda M\sqrt{3}}{2}=\dfrac{(KM+\varLambda M)\sqrt{3}}{2}=$ $\dfrac{3\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9}{2} .$

Είναι $KK_1+\varLambda\varLambda_1=\dfrac{KM+M\varLambda}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Το εμβαδόν του τραπεζίου $KK_1\varLambda_1\varLambda$ είναι: $E=\dfrac{(KK_1+\varLambda\varLambda_1)K_1\varLambda_1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{9}{2}=\dfrac{27\sqrt{3}}{8} .$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση