ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1.Να βρείτε το υποσύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο συναληθεύουν οι ανισώσεις:
$\displaystyle{\frac{{{x}^{2}}}{4}+ \frac{\left| x \right|-1}{3}{\le\frac{\left| x \right|+{{x}^{2}}}{4}}$ και $\displaystyle{\frac{x+1}{2} + \frac{x(x+1)}{4} > \frac{{{(x+2)}^{2}}}{4}}$

2. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\frac{x+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}}\cdot \frac{{{(1+\alpha x)}^{2}}-{{(\alpha +x)}^{2}}}{1-{{\alpha }^{2}}} = \frac{\alpha b}{{{(\alpha -b)}^{2}}}}$
για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών $\displaystyle{a, b}$ με $\displaystyle{ab(a -b)(1 - a^2) \ne 0}$ .

3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{B} = 90^o}$ και $\displaystyle{\widehat{A} < 45^o}$ . Θεωρούμε τα μέσα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ , αντίστοιχα, και σημείο $\displaystyle{M}$ διαφορετικό από το $\displaystyle{A}$ στο ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AE}$ . Αν η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{BM}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{\Delta E}$ στο $\displaystyle{Z}$ και την ευθεία $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Theta}$ , να αποδείξετε ότι:
(α) $\displaystyle{\widehat{BMZ}=\widehat{A}}$
(β) Η ευθεία $\displaystyle{BZ}$ διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{\widehat{\Theta BE}}$ .

4. Αν υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x, y, a}$ που επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{yx^2 + ( y^2 − a^2) x + y (y − a)^2 = 0}$ ,
να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{xy}$ είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{B} = 90^o}$ και $\displaystyle{\widehat{A} < 45^o}$ . Θεωρούμε τα μέσα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ , αντίστοιχα, και σημείο $\displaystyle{M}$ διαφορετικό από το $\displaystyle{A}$ στο ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AE}$ . Αν η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{BM}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{\Delta E}$ στο $\displaystyle{Z}$ και την ευθεία $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Theta}$ , να αποδείξετε ότι:
(α) $\displaystyle{\widehat{BMZ}=\widehat{A}}$
(β) Η ευθεία $\displaystyle{BZ}$ διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{\widehat{\Theta BE}}$ .

λύση εδώ, σχήμα - λύση εδώ, υπόδειξη εδώ, ισχυρή υπόδειξη εδώ

perpant · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\frac{x+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}}\cdot \frac{{{(1+\alpha x)}^{2}}-{{(\alpha +x)}^{2}}}{1-{{\alpha }^{2}}} = \frac{\alpha b}{{{(\alpha -b)}^{2}}}}$
για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών $\displaystyle{a, b}$ με $\displaystyle{ab(a -b)(1 - a^2) \ne 0}$ .

Για $\displaystyle{x \ne \pm 1}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{x + {x^2}}}{{1 - {x^2}}}\frac{{{{\left( {1 + \alpha x} \right)}^2} - {{\left( {\alpha + x} \right)}^2}}}{{1 - {\alpha ^2}}} = \frac{{\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\frac{{x\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\frac{{\left( {1 + \alpha x + \alpha + x} \right)\left( {1 + \alpha x - \alpha - x} \right)}}{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 + \alpha } \right)}} = \frac{{\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{x}{{1 - x}}\frac{{\left( {\alpha + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 + \alpha } \right)}} = \frac{{\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{x\left( {1 + x} \right) = \frac{{\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x^2} + x - \frac{{\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} = 0}$

$\displaystyle{\Delta = 1 + 4\frac{{\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2} + 4\alpha b}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {\alpha + b} \right)}^2}}}{{{{\left( {\alpha - b} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{{\alpha + b}}{{\alpha - b}}} \right)^2} \ge 0}$

$\displaystyle{{x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{\alpha + b}}{{\alpha - b}}} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{ - 1 \pm \frac{{\alpha + b}}{{\alpha - b}}}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{ - 1 + \frac{{\alpha + b}}{{\alpha - b}}}}{2}\\ {x_2} = \frac{{ - 1 - \frac{{\alpha + b}}{{\alpha - b}}}}{2} \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{b}{{\alpha - b}}\\ {x_2} = \frac{{ - \alpha }}{{\alpha - b}} \end{array} \right.}$

Επιπλέον έχουμε $\displaystyle{x \ne \pm 1}$ .

Η $\displaystyle{{x_1}}$ παίρνει την τιμή $\displaystyle{1}$ για $\displaystyle{\alpha = 2b}$ , ενώ δεν παίρνει ποτέ την τιμή $\displaystyle{ - 1}$ .

Η $\displaystyle{{x_2}}$ παίρνει την τιμή $\displaystyle{1}$ για $\displaystyle{b = 2\alpha }$ , ενώ δεν παίρνει ποτέ την τιμή $\displaystyle{ - 1}$ .

Συνολικά, η αρχική εξίσωση έχει ρίζες $\displaystyle{{x_1} = \frac{b}{{\alpha - b}}}$ για $\displaystyle{\alpha \ne 2b}$ και $\displaystyle{{x_2} = \frac{{ - \alpha }}{{\alpha - b}}}$ για $\displaystyle{b \ne 2\alpha }$ .

Karanus · #4

parmenides51 έγραψε:
4. Αν υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x, y, a}$ που επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{yx^2 + ( y^2 − a^2) x + y (y − a)^2 = 0}$ ,
να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{xy}$ είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

Μετά από πράξεις φέρνω την δοθείσα σε μορφή τριωνύμου ως πρός $\alpha$ .
$\left(\psi -\chi \right)\alpha^{2}-2\psi^{2}\alpha +\psi \left(\chi^{2}+\chi \psi +\psi^{2} \right)=0$
Η εξίσωση αυτή έχει ακέραιες λύσεις για τον $\alpha$ και ακέραιους συντελεστές.
Επομένως η διακρίνουσα της , είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.Έστω

$\Delta =\lambda^{2}\Rightarrow 4\psi^{4}-4\psi \left(\psi -\chi \right)\left(\chi^{2}+\chi \psi +\psi^{2} \right)=\lambda^{2}\Rightarrow 4\psi \left(\psi^{3}-\left(\psi^{3}-\chi^{3} \right) \right)=\lambda^{2}\Rightarrow$
$4\psi \chi^{3}=\lambda^{2} \Rightarrow \chi \psi =\left( \frac{\lambda }{2\chi }\right)^{2}$ δηλ. τετράγωνο του ρητού $\frac{\lambda }{2\chi }$ όπου $\lambda \in Z$ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση