ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\log_{150} 2 = x, \log_{150} 3 = y}$ τότε
να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A={{{50}^{\displaystyle\frac{{1 - x - y}}{{2\left( {1 - y} \right)}}}} }$

2. Δίνεται ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=x^{3}+\kappa x+\lambda}$ με $\displaystyle{\kappa, \lambda\in\mathbb{R}}$ έχει τις πραγματικές ρίζες $\displaystyle{x_{1}, x_{2}, x_{3}}$ που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
Να εκφράσετε την παράσταση $\displaystyle{A=(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})(1+x_{3}^{2})}$ συναρτήσει των $\displaystyle{\kappa, \lambda}$ .

3. Να λύσετε στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ την εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt[3]{{\frac{{3x - 1}}{2}}}=\frac{2x^3+1}{3}}$

4. Αν $\displaystyle{I}$ είναι το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{B\Gamma =2}$ και $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma} = 60^o}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{IA+ IB+ I\Gamma \le 2\sqrt3}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\log_{150} 2 = x, \log_{150} 3 = y}$ τότε
να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A={{{50}^{\displaystyle\frac{{1 - x - y}}{{2\left( {1 - y} \right)}}}} }$

εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Να λύσετε στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ την εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt[3]{{\frac{{3x - 1}}{2}}}=\frac{2x^3+1}{3}}$

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Αν $\displaystyle{I}$ είναι το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{B\Gamma =2}$ και $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma} = 60^o}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{IA+ IB+ I\Gamma \le 2\sqrt3}$ .

εδώ αποδεικνύοντας ότι $\displaystyle{IA+IB+IC\leq 3R}$
κι εδώ ανεξάρτητα, μερικά λήμματα αναφέρονται εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=x^{3}+\kappa x+\lambda}$ με $\displaystyle{\kappa, \lambda\in\mathbb{R}}$ έχει τις πραγματικές ρίζες $\displaystyle{x_{1}, x_{2}, x_{3}}$ που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
Να εκφράσετε την παράσταση $\displaystyle{A=(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})(1+x_{3}^{2})}$ συναρτήσει των $\displaystyle{\kappa, \lambda}$

$A=(1+x_1^2)(1+x_2^2)(1+x_3^2)\iff$

A=1+(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+(x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2)+(x_1x_2x_3)^2

ισχύουν:

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-\kappa~~(2)$

$x_1x_2x_3=-\lambda~~(3)$

----
$(1)\stackrel{(2)}\Longrightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=2\kappa$

$(2)\stackrel{(1)}\Longrightarrow x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2=\kappa^2$
---
$A=1+2\kappa+\kappa^2+\lambda^2\Rightarrow A=(\kappa+1)^2+\lambda^2$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2006 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση