ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση $\displaystyle{( |x| -1)^2 = 2x +\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .

2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα : $\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=8\\ x^2+y^2+z^2={\color{red}26} \\ {\color{red}x}y+xz=(y{\color{red}z}+1)^2 \end{cases}}$

3. Αν οι $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma } = \frac{1}{{\alpha \beta \gamma }}}$ , να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{1 \le \frac{{\left( {{\alpha ^3} + {\beta ^3}} \right)\gamma }}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + \frac{{\left( {{\beta ^3} + {\gamma ^3}} \right)\alpha }}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2}}} + \frac{{\left( {{\gamma ^3} + {\alpha ^3}} \right)\beta }}{{{\gamma ^2} + {\alpha ^2}}} < 2}$ . Πότε ισχύει η ισότητα ;

4. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (με $\displaystyle{AB <A \Gamma}$ ) εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(c )}$ με κέντρο $\displaystyle{O}$ και ακτίνα $\displaystyle{R}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο $\displaystyle{(c_1 ) }$ , που έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{O}$ και ακτίνα $\displaystyle{r = OM}$ ( $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{B\Gamma}$ ). Η μία εφαπτόμενη εφάπτεται στο κύκλο $\displaystyle{(c_1 ) }$ στο σημείο $\displaystyle{T}$ , τέμνει την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ και το κύκλο $\displaystyle{(c)}$ στο σημείο $\displaystyle{N_1}$ (θεωρούμε $\displaystyle{BN<BM}$ ). Η άλλη εφαπτόμενη εφάπτεται στο κύκλο $\displaystyle{(c_1 ) }$ στο σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ , τέμνει την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{K}$ και το κύκλο $\displaystyle{(c )}$ στο σημείο $\displaystyle{K_1}$ (θεωρούμε $\displaystyle{\Gamma K< \Gamma M}$ ).
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{BN_1,\Gamma K_1}$ και $\displaystyle{AM}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (συντρέχουν).

edit's
Διορθώθηκαν οι μεταβλητές κι ένας αριθμός στο 2ο, ευχαριστώ τον Ηλία (Καμπέλη) και Δημήτρη (Ιωάννου) που το πρόσεξαν αντίστοιχα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma } = \frac{1}{{\alpha \beta \gamma }}}$ , να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{1 \le \frac{{\left( {{\alpha ^3} + {\beta ^3}} \right)\gamma }}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + \frac{{\left( {{\beta ^3} + {\gamma ^3}} \right)\alpha }}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2}}} + \frac{{\left( {{\gamma ^3} + {\alpha ^3}} \right)\beta }}{{{\gamma ^2} + {\alpha ^2}}} < 2}$ . Πότε ισχύει η ισότητα ;

η μισή (αριστερή) εδώ και ολόκληρη εδώ (SOS method =Sum of Squares method)

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (με $\displaystyle{AB <A \Gamma}$ ) εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(c )}$ με κέντρο $\displaystyle{O}$ και ακτίνα $\displaystyle{R}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο $\displaystyle{(c_1 ) }$ , που έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{O}$ και ακτίνα $\displaystyle{r = OM}$ ( $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{B\Gamma}$ ). Η μία εφαπτόμενη εφάπτεται στο κύκλο $\displaystyle{(c_1 ) }$ στο σημείο $\displaystyle{T}$ , τέμνει την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ και το κύκλο $\displaystyle{(c)}$ στο σημείο $\displaystyle{N_1}$ (θεωρούμε $\displaystyle{BN<BM}$ ). Η άλλη εφαπτόμενη εφάπτεται στο κύκλο $\displaystyle{(c_1 ) }$ στο σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ , τέμνει την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{K}$ και το κύκλο $\displaystyle{(c )}$ στο σημείο $\displaystyle{K_1}$ (θεωρούμε $\displaystyle{\Gamma K< \Gamma M}$ ).
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{BN_1,\Gamma K_1}$ και $\displaystyle{AM}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (συντρέχουν).

ισχυρή υπόδειξη εδώ και αξιοποίηση της υπόδειξης εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση $\displaystyle{( |x| -1)^2 = 2x +\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\geq 0}$ . Tότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 -4x+1-a=0}$ και έχει διακρίνουσα:

$\displaystyle{\Delta =4(3+a)}$ . Aν είναι $\displaystyle{a<-3}$ , η εξίσωση δεν έχει λύση. Aν $\displaystyle{a=-3}$ , έχει την λύση $\displaystyle{x=2}$ . Aν $\displaystyle{a>-3}$ , έχουμε

$\displaystyle{x_1 =2+\sqrt{a+3} , x_2 =2-\sqrt{a+3}}$ . H $\displaystyle{x_1}$ , είναι δεκτή, αφού $\displaystyle{x_1 \geq 0}$ . Για να είναι δεκτή και η $\displaystyle{x_2}$ ,

πρέπει $\displaystyle{2-\sqrt{a+3}\geq 0 \Leftrightarrow a\leq 1}$ , δηλαδή για να είναι δεκτές και οι δύο ρίζες, πρέπει

$\displaystyle{a\in [-3 , 1]}$ .

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x<0}$ . Τότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 =a-1}$ και άρα πρέπει $\displaystyle{a\geq 1}$ . Τότε

$\displaystyle{x=-\sqrt{a-1}}$

Συμπέρασμα: Αν a<-3

, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν a=-3

, η εξίσωση έχει μια λύση την x=2

Aν $-3<a \leq 1$ , τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες, τις

$x_1 =2-\sqrt{a+3} , x_2 =2+\sqrt{a+3}$

Aν a>1

, η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις $x_1 =2+\sqrt{a+3} , x_2 =-\sqrt{a-1}$

#4

parmenides51 έγραψε:2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα : $\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=8\\ x^2+y^2+z^2=26 \\ {\color{red}x}y+xz=(y{\color{red}z}+1)^2 \end{cases}}$

Έχουμε:

$\displaystyle{y+z=8-x}$

$\displaystyle{(y+z)^2 -2yz=26-x^2}$

$\displaystyle{x(y+z)=(yz+1)^2}$

Άρα:

$\displaystyle{y+z=8-x}$

$\displaystyle{(8-x)^2 -2yz=26-x^2}$

$\displaystyle{x(8-x)=(yz+1)^2}$

Άρα:

$\displaystyle{y+z=8-x}$

$\displaystyle{yz=x^2-8x+19}$

$\displaystyle{x(8-x)=(x^2 -8x+20)^2}$

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του πιο πάνω συστήματος, βλέπουμε ότι τα $\displaystyle{x,y}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης:

$\displaystyle{t^2 -(8-x)t+x^2-8x+19=0}$ , (1)

H τρίτη τώρα εξίσωση του πιο πάνω συστήματος, γράφεται: $\displaystyle{x^4 -16x^3 +105x^2 -328x +400=0}$ , και με το σχήμα του

HORNER, έχουμε $\displaystyle{(x-4)^2 (x^2 -8x+25)=0\Leftrightarrow x=4}$

Τότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{t^2 -4t+3=0}$ και έχει ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{3}$ .

Άρα $\displaystyle{y=1 , z=3}$ , ή $\displaystyle{y=3 , z=1}$

Συνεπώς το σύστημα έχει δύο λύσεις τις $\displaystyle{(x,y,z)=(4,1,3)}$ και $\displaystyle{(x,y,z)=(4,3,1)}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Τροποποίησα την αρχική λύση, μετά την διόρθωση του τυπογραφικού που υπήρχε στην εκφώνηση

Νίκος Αϊνστάιν · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση $\displaystyle{( |x| -1)^2 = 2x +\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\geq 0}$ . Tότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 -4x+1-a=0}$ και έχει διακρίνουσα:

$\displaystyle{\Delta =4(3+a)}$ . Aν είναι $\displaystyle{a<-3}$ , η εξίσωση δεν έχει λύση. Aν $\displaystyle{a=-3}$ , έχει την λύση $\displaystyle{x=2}$ . Aν $\displaystyle{a>-3}$ , έχουμε

$\displaystyle{x_1 =2+\sqrt{a+3} , x_2 =2-\sqrt{a+3}}$ . H $\displaystyle{x_1}$ , είναι δεκτή, αφού $\displaystyle{x_1 \geq 0}$ . Για να είναι δεκτή και η $\displaystyle{x_2}$ ,

πρέπει $\displaystyle{2-\sqrt{a+3}\geq 0 \Leftrightarrow a\leq 1}$ , δηλαδή για να είναι δεκτές και οι δύο ρίζες, πρέπει

$\displaystyle{a\in [-3 , 1]}$ .

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x<0}$ . Τότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 =a-1}$ και άρα πρέπει $\displaystyle{a\geq 1}$ . Τότε

$\displaystyle{x=-\sqrt{a-1}}$

Συμπέρασμα: Αν , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν , η εξίσωση έχει μια λύση την

Aν $-3<a \leq 1$ , τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες, τις

$x_1 =2-\sqrt{a+3} , x_2 =2+\sqrt{a+3}$

Aν , η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις $x_1 =2+\sqrt{a+3} , x_2 =-\sqrt{a-1}$

Έχω μια απορία.
Στην 2η περίπτωση, νομίζω ότι πρέπει να γράψουμε $x=\pm \sqrt{a - 1}$

#6

Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση $\displaystyle{( |x| -1)^2 = 2x +\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\geq 0}$ . Tότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 -4x+1-a=0}$ και έχει διακρίνουσα:

$\displaystyle{\Delta =4(3+a)}$ . Aν είναι $\displaystyle{a<-3}$ , η εξίσωση δεν έχει λύση. Aν $\displaystyle{a=-3}$ , έχει την λύση $\displaystyle{x=2}$ . Aν $\displaystyle{a>-3}$ , έχουμε

$\displaystyle{x_1 =2+\sqrt{a+3} , x_2 =2-\sqrt{a+3}}$ . H $\displaystyle{x_1}$ , είναι δεκτή, αφού $\displaystyle{x_1 \geq 0}$ . Για να είναι δεκτή και η $\displaystyle{x_2}$ ,

πρέπει $\displaystyle{2-\sqrt{a+3}\geq 0 \Leftrightarrow a\leq 1}$ , δηλαδή για να είναι δεκτές και οι δύο ρίζες, πρέπει

$\displaystyle{a\in [-3 , 1]}$ .

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x<0}$ . Τότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 =a-1}$ και άρα πρέπει $\displaystyle{a\geq 1}$ . Τότε

$\displaystyle{x=-\sqrt{a-1}}$
Έχω μια απορία.
Στην 2η περίπτωση, νομίζω ότι πρέπει να γράψουμε $x=\pm \sqrt{a - 1}$

Καλό μήνα Νίκο.

Λίγο πιο πάνω από αυτό που ρωτάς, έχω γράψει ότι x<0

, (η δεύτερη περίπτωση), και για αυτό δεχθήκαμε μόνο την αρνητική τιμή του

vassilisg98 · #7

Καλησπέρα σας ! Για το πρόβλημα 2 : Υψώνοντας στο τετράγωνο την πρώτη σχέση και αφαιρώντας τη δεύτερη έχουμε :
xy+yz+zx=19

.Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην τρίτη σχέση το xy+xz=19-yz

και παίρνουμε : $19-yz=y^2z^2+2yz+1\Rightarrow y^2z^2+3yz-18=0$ Άρα yz=3

ή

Για

Από την πρώτη σχέση : $(y+z)^2+z^2=26+2yz\Rightarrow (y+z)^2+z^2=32$ Θέτω y+z=a

Οπότε λαμβάνουμε :
a^2+x^2=32

Λύνοντας το σύστημα προκύπτουν οι λύσεις (a,x)=(4,4)

Άρα

Επίσης :

Οπότε προκύπτουν οι λύσεις (y,z)=(1,3),(3,1)

Άρα λοιπόν για yz=3

Προκύπτουν οι λύσεις (x,y,z)=(4,1,3),(4,3,1)

Κάνοντας την ίδια διαδικασία για yz=-6

παρατηρούμε ότι δεν προκύπτουν λύσεις.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - B ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση