ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{a \ne 0}$ για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{\frac{1}{2a+ax}-\frac{1}{2x-x^2}=\frac{2a+6}{x^3-4x}}$ έχει δύο πραγματικές ρίζες με διαφορά $\displaystyle{4}$ .

2. Αν $\displaystyle{y}$ ακέραιος και $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ , να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια $\displaystyle{(x, y)}$ που είναι λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\begin{Bmatrix} 1+y-\left|x^{2}-3x+1 \right|>0\\ y-2+\left|x-2 \right|<0 \end{Bmatrix}}$ .

Να παραστήσετε γραφικά στο Καρτεσιανό επίπεδο $\displaystyle{Oxy}$ , το σύνολο των σημείων $\displaystyle{M(x, y)}$ , όπου $\displaystyle{(x, y)}$ λύση του συστήματος $\displaystyle{(\Sigma)}$ .

3. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB< A\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{c_1 (M,AM)}$ τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{A\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\Gamma \Delta = AB}$ .

4. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{x^2 + ax + b}}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ρητοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{a^2 < 4b}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Αν $\displaystyle{y}$ ακέραιος και $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ , να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια $\displaystyle{(x, y)}$ που είναι λύσεις του συστήματος $\displaystyle{\begin{Bmatrix} 1+y-\left|x^{2}-3x+1 \right|>0\\ y-2+\left|x-2 \right|<0 \end{Bmatrix}}$ .

Να παραστήσετε γραφικά στο Καρτεσιανό επίπεδο $\displaystyle{Oxy}$ , το σύνολο των σημείων $\displaystyle{M(x, y)}$ , όπου $\displaystyle{(x, y)}$ λύση του συστήματος $\displaystyle{(\Sigma)}$ .

εδώ

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{a \ne 0}$ για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{\frac{1}{2a+ax}-\frac{1}{2x-x^2}=\frac{2a+6}{x^3-4x}}$ έχει δύο πραγματικές ρίζες με διαφορά $\displaystyle{4}$ .

Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: $\displaystyle\frac{1}{{\alpha \left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2\alpha + 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ (1)

Με $x \ne 0$ και $x \ne 2$ και $x \ne - 2$ η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$x\left( {x - 2} \right) + \alpha \left( {x + 2} \right) = \alpha \left( {2\alpha + 6} \right) \Leftrightarrow$

${x^2} - 2x + \alpha x + 2\alpha = 2{\alpha ^2} + 6\alpha \Leftrightarrow$

${x^2} + \left( {\alpha - 2} \right)x - 2{\alpha ^2} - 4\alpha = 0$ (1)

Για να έχει η παραπάνω εξίσωση δύο πραγματικές ρίζες πρέπει

$\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {\alpha - 2} \right)^2} - 4\left( { - 2{\alpha ^2} - 4\alpha } \right) > 0 \Leftrightarrow$

${\alpha ^2} - 4\alpha + 4 + 8{\alpha ^2} + 16\alpha > 0 \Leftrightarrow 9{\alpha ^2} + 12\alpha + 4 > 0 \Leftrightarrow$

${\left( {3\alpha + 2} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow \alpha \ne - \frac{2}{3}$

Έστω $\alpha \ne - \frac{2}{3}$ και ${x_1},{x_2}$ οι δύο ρίζες της εξίσωσης με ${x_1} > {x_2}$ , ${x_1} + {x_2} = 2 - \alpha$ και ${x_1}{x_2} = - 2{\alpha ^2} - 4\alpha$ (από Vieta), τότε πρέπει να ισχύει:

${x_1} - {x_2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 16 \Leftrightarrow$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 16 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2 - \alpha } \right)^2} - 4\left( { - 2{\alpha ^2} - 4\alpha } \right) - 16 = 0 \Leftrightarrow$

$3{\alpha ^2} + 4\alpha - 4 = 0 \Leftrightarrow \alpha = - 2\;\dot \eta \;\alpha = \frac{2}{3}$

Αν $\alpha = - 2$ η (1) δίνει: ${x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 4\;\dot \eta \;x = 0$ απορρίπτεται.

Αν $\alpha = \frac{2}{3}$ η (1) δίνει: ${x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{32}}{9} = 0 \Leftrightarrow 9{x^2} - 12x - 32 = 0$

η οποία δίνει λύσεις $\dislaystyle{x_1} = \frac{8}{3}$ και $\dislaystyle{x_2} = - \frac{4}{3}$

Άρα $\alpha = \frac{2}{3}$

#4

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB< A\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{c_1 (M,AM)}$ τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{A\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\Gamma \Delta = AB}$ .

προκύπτει από την ισότητα των τριγώνων $\vartriangle ABM,\vartriangle \Gamma M \Delta$

#5

parmenides51 έγραψε:4. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{x^2 + ax + b}}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ρητοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{a^2 < 4b}$ .

Η διακρίνουσα του τριωνύμου που είναι στην τετραγωνική ρίζα, ισούται με $\displaystyle{a^2 -4b <0}$ . Άρα $\displaystyle{x^2 +ax+b>0}$ , για κάθε

$\displaystyle{x \in R}$ . Aς υποθέσουμε τώρα ότι ο αριθμός $\displaystyle{y=\sqrt{x^2 +ax +b}}$ , είναι ρητός. Τότε (δεδομένου ότι και ο $\displaystyle{x}$

είναι επίσης ρητός,) θα υπάρχει $\displaystyle{q \in Q}$ , έτσι ώστε $\displaystyle{\sqrt{x^2 +ax +b}=x+q}$ . Mε την προϋπόθεση ότι $\displaystyle{x+q>0}$ ,

υψώνοντας στο τετράγωνο την προηγούμενη σχέση, ισοδύναμα έχουμε:

$\displaystyle{x^2 +ax +b=x^2 +2qx +q^2 \Leftrightarrow (a-2q)x=q^2 -b}$ , (1)

Αν $\displaystyle{a-2q=0\Leftrightarrow a=2q}$ , τότε από την σχέση $\displaystyle{a^2 <4b \Rightarrow 4q^2 <4b \Rightarrow q^2 <b\Rightarrow}$

$\displaystyle{q^2 -b <0}$ , οπότε η (1) θα γραφόταν: $\displaystyle{0x =q^2 -b <0}$ , που είναι άτοπο. Άρα $\displaystyle{a-2q \neq 0}$ , οπότε η (1) γράφεται:

$\displaystyle{x=\frac{q^2 -b}{a-2q}}$ . Πρέπει όμως να είναι $\displaystyle{x+q>0\Leftrightarrow \frac{q^2 -b}{a-2q} +q >0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\frac{q^2 -aq+b}{a-2q} <0}$ . Το τριώνυμο όμως $\displaystyle{q^2 -aq +b}$ , έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta =a^2 -4b<0}$ και άρα

$\displaystyle{q^2 -aq +b>0}$ , και συνεπώς πρέπει να είναι και $\displaystyle{a-2q <0}$ , δηλαδή $\displaystyle{q>\frac{a}{2}}$

Δηλαδή, πρέπει $\displaystyle{x=\frac{q^2 -b}{a-2q}}$ , όπου $\displaystyle{q}$ είναι ένας οποιοσδήποτε ρητός, μεγαλύτερος του $\displaystyle{\frac{a}{2}}$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση