ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος $\displaystyle{\alpha_{\nu}, \nu=1,2,3,...}$ που έχει πρώτο όρο $\displaystyle{\alpha_1 =\alpha \ne 0}$ , διαφορά $\displaystyle{\omega \ne 0}$ και είναι τέτοια ώστε ο λόγος του αθροίσματος $\displaystyle{\alpha_1+...+\alpha_{\nu}}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της προς το άθροισμα $\displaystyle{\alpha_{\nu+1} +...+\alpha_{3\nu}}$ των επόμενων $\displaystyle{2\nu}$ το πλήθος όρων της είναι σταθερός, δηλαδή ανεξάρτητος του $\displaystyle{\nu}$ .

2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα : $\displaystyle{x^2=\frac{8z^4}{16+z^4}\,\,,\,\,y^2=\frac{8x^4}{16+x^4}\,\,,\,\, z^2=\frac{8y^4}{16+y^4}}$

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ . Τα ύψη του $\displaystyle{A\Delta ,BE,\Gamma Z}$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{O\Delta,OE,OZ}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2,\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

4. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{4x^2 - ax +b }}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ρητοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{a^2 <16b}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα : $\displaystyle{x^2=\frac{8z^4}{16+z^4}\,\,,\,\,y^2=\frac{8x^4}{16+x^4}\,\,,\,\, z^2=\frac{8y^4}{16+y^4}}$

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{4x^2 - ax +b }}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ρητοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{a^2 <16b}$ .

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:
3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ . Τα ύψη του $\displaystyle{A\Delta ,BE,\Gamma Z}$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{O\Delta,OE,OZ}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2,\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

: 1.png (34.67 KiB) Προβλήθηκε 1825 φορές

Ας είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και $K \equiv {A_1}{A_2} \cap OH$ . Είναι γνωστό ότι το ${A_1}$ είναι το συμμετρικό του ως προς το (και ως προς την ).

Στο τρίγωνο $\vartriangle HOD$ από το Θεώρημα του Μενελάου με διατέμνουσα την ${A_1}{A_2}K$ έχουμε: $\displaystyle\frac{{{A_1}D}}{{{A_1}H}} \cdot \displaystyle\frac{{KH}}{{KO}} \cdot \displaystyle\frac{{{A_2}O}}{{{A_2}D}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{{A_1}H = 2{A_1}D,{A_2}O = {A_2}D} \ldots \boxed{\displaystyle\frac{{KH}}{{KO}} = 2}$ δηλαδή

η ${A_1}{A_2}$ χωρίζει το σταθερό τμήμα σε λόγο , άρα διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι και οι ${B_1}{B_2},{C_1}{C_2}$ διέρχονται από το , δηλαδή οι ${A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2}$ συγκλίνουν στο βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#4

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος $\displaystyle{\alpha_{\nu}, \nu=1,2,3,...}$ που έχει πρώτο όρο $\displaystyle{\alpha_1 =\alpha \ne 0}$ , διαφορά $\displaystyle{\omega \ne 0}$ και είναι τέτοια ώστε ο λόγος του αθροίσματος $\displaystyle{\alpha_1+...+\alpha_{\nu}}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της προς το άθροισμα $\displaystyle{\alpha_{\nu+1} +...+\alpha_{3\nu}}$ των επόμενων $\displaystyle{2\nu}$ το πλήθος όρων της είναι σταθερός, δηλαδή ανεξάρτητος του $\displaystyle{\nu}$

$a_1+a_2+\dots+a_n=\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)w),$ $a_{n+1}+a_{n+2}+\dots+a_{3n}=n(2a_{n+1}+(2n-1)w$

$\dfrac{a_1+a_2+\dots +a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}+\dots+a_{3n}}=c\iff \dfrac{2a_1+(n-1)w}{4(a_1+nw)+2(2n-1)w}=c \iff$

n(w-8wc)=4a_1c-2wc-2a_1+w

ο λόγος είναι σταθερός (ανεξάρτητος του

) ,άρα πρέπει

$c=\dfrac{1}{8}$ και $4a_1c-2wc-2a_1+w=0\Rightarrow w=2a_1\Rightarrow w=2a$

επομένως $a_n=a(2n-1),n=1,2,\dots$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα : $\displaystyle{x^2=\frac{8z^4}{16+z^4}\,\,,\,\,y^2=\frac{8x^4}{16+x^4}\,\,,\,\, z^2=\frac{8y^4}{16+y^4}}$

διαφορετικά εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ . Τα ύψη του $\displaystyle{A\Delta ,BE,\Gamma Z}$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{O\Delta,OE,OZ}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2,\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

υπόδειξη: εδώ

Νίκος Αϊνστάιν · #6

Εδώ υπήρχε μια λάθος λύση.

#7

Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{4x^2 - ax +b }}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ρητοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{a^2 <16b}$ .
Μπορεί να ελέγξει κάποιος την λύση μου;
Παρατηρούμε ότι το υπόριζο είναι τριώνυμο. Κάθε τριώνυμο παραγοντοποιήτε στην μορφή και για την εύρεσή των πρέπει να βρούμε της λύσεις της διακρινούσας της δευτεροβάθμιας εξίσωσης του τριωνύμου. Όμως, εμείς ζητάμε το τριώνυμο να είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα, πρέπει να παραγοντοποιήτε στην μορφή
. Άρα, έχει μια διπλή λύση. Άρα, πρέπει η διακρινούσα να είναι μηδενική.
Επομένως, έχουμε: $\Delta = 0 \Leftrightarrow b^2 - 4ac = 0 \Leftrightarrow b^2 = 4ac \Leftrightarrow a^2 = 16b$ , άτοπο, λόγο του περιορισμού
. Επομένως, το τριώνυμο δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Σημείωση: η λύση μου είναι λάθος. Υπάρχει τρόπος βελτίωσης;