ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{A= \left(18- \frac{2}{5}\right):\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \left(\frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle 3+\frac{6}{11}}\right)}$

2. Αν ο $\displaystyle{\kappa}$ είναι πρώτος θετικός ακέραιος και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των ακεραίων $\displaystyle{12, 30}$ και $\displaystyle{54}$ ,
να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $\displaystyle{\kappa}$ και της παράστασης : $\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{\kappa}{2}}{\displaystyle\kappa-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{3-\kappa }{2}}{\kappa }$ .

3. Ένας ελαιοπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιού $\displaystyle{800}$ κιλά. Για την καλλιέργεια του ελαιώνα του ξόδεψε $\displaystyle{407}$ ευρώ και για τη συγκομιδή του καρπού από τις ελιές του ξόδεψε $\displaystyle{1050}$ ευρώ. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι $\displaystyle{2,5}$ ευρώ το κιλό και κατά την πώληση του λαδιού υπάρχουν κρατήσεις σε ποσοστό $\displaystyle{6\%}$ πάνω στην τιμή πώλησης.
(α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του.
(β) Αν επιπλέον το ελαιοτριβείο (εργοστάσιο που παράγεται το λάδι) κρατάει για την αμοιβή του το $\displaystyle{8\%}$ του παραγόμενου λαδιού, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στον παραγωγό μετά την πώληση λαδιού για την κάλυψη των εξόδων του.

4. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}=60^o}$ και $\displaystyle{A\Gamma =\frac{3}{2} \cdot AB}$ .
Παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ πάνω στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{AE = AB}$ .
Αν η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BE}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ ,
να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{\Delta E\Gamma}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{A= \left(18- \frac{2}{5}\right):\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \left(\frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle 3+\frac{6}{11}}\right)}$

$\displaystyle{A= \left(18- \frac{2}{5}\right):\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \left(\frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle 3+\frac{6}{11}}\right)}$

$\displaystyle{A= \left(\frac{18}{1}- \frac{2}{5}\right):\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \left(\frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle \frac{3}{1}+\frac{6}{11}}\right)}$

$\displaystyle{A= \left(\frac{18\cdot 5}{1\cdot 5}- \frac{2}{5}\right):\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \left(\frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle \frac{3 \cdot 11}{1\cdot 11}+\frac{6}{11}}\right)}$

$\displaystyle{A= \left(\frac{90}{5}- \frac{2}{5}\right):\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \left(\frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle \frac{33 }{11}+\frac{6}{11}}\right)}$

$\displaystyle{A= \frac{88}{5}:\frac{44}{5} -\frac{39}{5} \cdot \frac{\displaystyle\frac{5}{11}}{\displaystyle \frac{39 }{11}}$

$\displaystyle{A= \frac{88}{5}\cdot \frac{5}{44} -\frac{39}{5} \cdot \frac{5 \cdot 11}{39 \cdot 11}$

$\displaystyle{A= \frac{88}{44} -1}$

$\displaystyle{A=2-1}$

$\displaystyle{A=1}$

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:2. Αν ο $\displaystyle{\kappa}$ είναι πρώτος θετικός ακέραιος και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των ακεραίων $\displaystyle{12, 30}$ και $\displaystyle{54}$ ,
να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $\displaystyle{\kappa}$ και της παράστασης : $\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{\kappa}{2}}{\displaystyle\kappa-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{3-\kappa }{2}}{\kappa }$ .

Επειδή
$\displaystyle{12=2^2\cdot 3 }$
$\displaystyle{30=2\cdot 3\cdot 5 }$
$\displaystyle{54=2 \cdot 3^3}$

ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $\displaystyle{12,30,54}$ είναι το $\displaystyle{2\cdot 3= 6}$ .

Επειδή $\displaystyle{6=1\cdot 6=2\cdot 3}$ οι θετικοί διαιρέτες του $\displaystyle{6}$ είναι οι αριθμοί $\displaystyle{1,2,3,6}$ και από αυτούς πρώτοι είναι οι $\displaystyle{2,3}$

άρα $\displaystyle{\kappa=2}$ ή $\displaystyle{\kappa=3}$ .

Για $\displaystyle{ \kappa=2}$ :

$\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{\kappa}{2}}{\displaystyle\kappa-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{3-\kappa }{2}}{\kappa }$

$\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{2}{2}}{\displaystyle 2-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{3-2 }{2}}{2}$

$\displaystyle{B = \frac{2 -1}{\displaystyle \frac{2\cdot 2 }{1\cdot 2}-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{1 }{2}}{2}$

$\displaystyle{B = \frac{1}{\displaystyle \frac{4 }{2}-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{1 }{2}}{\displaystyle\frac{2 }{1}}$

$\displaystyle{B = \frac{1}{\displaystyle \frac{3 }{2}}:\frac{1 \cdot 1}{2\cdot 2}}}$

$\displaystyle{B = \frac{2}{3}:\frac{1}{4}}}$

$\displaystyle{B = \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{1}}}$

$\displaystyle{B = \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 1}}}$

$\displaystyle{B = \frac{8}{3}}}$

Για $\displaystyle{ \kappa=3}$ :

$\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{\kappa}{2}}{\displaystyle\kappa-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{3-\kappa }{2}}{\kappa }$

$\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{3}{2}}{\displaystyle 3-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{3-3 }{2}}{2}$

$\displaystyle{B = \frac{\displaystyle 2 -\frac{3}{2}}{\displaystyle 3-\frac{1 }{2}}:\frac{\displaystyle\frac{0 }{2}}{2}$

Σταματάμε γιατί παρατηρούμε ότι ο διαιρέτης $\displaystyle{\frac{\displaystyle\frac{3-\kappa }{2}}{\kappa }}$ μηδενίζεται για $\displaystyle{\kappa=3}$ ,

οπότε λέμε ότι δεν ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{B}$ για $\displaystyle{\kappa=3}$ (αφού δεν έχει νόημα η διαίρεση με το μηδέν).

pito · #4

4. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}=60^o}$ και $\displaystyle{A\Gamma =\frac{3}{2} \cdot AB}$ .
Παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ πάνω στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{AE = AB}$ .
Αν η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BE}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ ,
να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{\Delta E\Gamma}$ .[/quote]

To τρίγωνο ABE

είναι ισοσκελές με $\widehat{A}=60^{0}$ , άρα τελικά είναι ισόπλευρο και η διχοτόμος $A\Delta$ είναι και ύψος και διάμεσος.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $A\Delta E$ είναι $\widehat{AE\Delta }=90^{0}-30^{0}=60^{0}$ άρα και
$\widehat{\Delta E\Gamma }=180^{0}-60^{0}=120^{0}$

Ακόμη $E\Gamma =A\Gamma -AE=\frac{3}{2}AB-AB=\frac{AB}{2}=\frac{BE}{2}=\Delta E$ , έτσι το τρίγωνο $\Delta E\Gamma$ είναι ισοσκελές , οπότε και $\widehat{E\Delta \Gamma }=\widehat{E\Gamma \Delta }=\frac{180^{0}-120^{0}}{2}=30^{0}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Ένας ελαιοπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιού $\displaystyle{800}$ κιλά. Για την καλλιέργεια του ελαιώνα του ξόδεψε $\displaystyle{407}$ ευρώ και για τη συγκομιδή του καρπού από τις ελιές του ξόδεψε $\displaystyle{1050}$ ευρώ. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι $\displaystyle{2,5}$ ευρώ το κιλό και κατά την πώληση του λαδιού υπάρχουν κρατήσεις σε ποσοστό $\displaystyle{6\%}$ πάνω στην τιμή πώλησης.
(α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του.
(β) Αν επιπλέον το ελαιοτριβείο (εργοστάσιο που παράγεται το λάδι) κρατάει για την αμοιβή του το $\displaystyle{8\%}$ του παραγόμενου λαδιού, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στον παραγωγό μετά την πώληση λαδιού για την κάλυψη των εξόδων του.

(α) Για να καλύψει τα έξοδα του θα πρέπει να έχει έσοδα όσα έχει έξοδα, δηλαδή $\displaystyle{407+1050=1457}$ ευρώ.

Αν δεν είχε κρατήσεις θα κέρδιζε στο ενα κιλό λάδι $\displaystyle{2,5}$ ευρώ, με τις κρατήσεις χάνει το $\displaystyle{6\% \cdot 2,5= \frac{6}{100}\cdot 2,5= \frac{15}{100}=0,15 }$ ευρώ,

άρα του μένουν καθαρά $\displaystyle{2,5 -0,15=2,35 }$ ευρώ στο ένα κιλό λάδι.

Αφού πρέπει να πουλήσει λάδι αξίας $\displaystyle{1457}$ ευρώ και το ένα κιλό κοστίζει $\displaystyle{2,35}$ θα πρέπει να πουλήσει συνολικά $\displaystyle{\frac{1457}{2,35}=620}$ κιλά λάδι.

(β) Το ελαιοτριβείο θα κρατήσει σαν αμοιβή $\displaystyle{8\% \cdot 800= \frac{8}{100}\cdot 800= \frac{6400}{100}=64 }$ κιλά λάδι,

οπότε στον ελαιοπαραγωγό μετά την πώληση για να καλύψει τα έξοδα του θα μείνουν $\displaystyle{800-620-64=800-684=116}$ κιλά λάδι.

ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση