ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{x+ y = 3 \cdot (- 2)^2}$ και $\displaystyle{y - w = {{\left[ {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{4}} \right]}^{6}}\cdot {{\left[ {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{6}} \right]}^{-4}}}$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης : $\displaystyle{ A = 7x + 10 y -3w - 87}$ .

2. Να βρείτε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό, αν γνωρίζετε ότι ισχύουν όλα τα παρακάτω:
α. Το ψηφίο των μονάδων του είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{4}$ ,
β. Το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων του,
γ. Το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι διαιρέτης του $\displaystyle{5}$ ,
δ. Το ψηφίο των χιλιάδων του είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων του μειωμένο κατά $\displaystyle{1}$ .

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}= 120^o}$ .
Στο εσωτερικό της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ φέρουμε ημιευθείες $\displaystyle{Ax}$ και $\displaystyle{Ay}$ κάθετες στις πλευρές $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ ,
αντίστοιχα που τέμνουν την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ , αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{\widehat{A \Delta B}= 120^o,\widehat{AE\Delta}= 60^o}$ και το ύψος $\displaystyle{AH}$ έχει μήκος $\displaystyle{2\sqrt{3}}$ μονάδες μήκους, τότε:
α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta E}$ είναι ισόπλευρο.
β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.
γ. Να βρείτε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta E}$ .

4. Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ έχει πλευρά $\displaystyle{2\rho}$ .
Ονομάζουμε $\displaystyle{X_1}$ το χωρίο που αποτελείται από τα τέσσερα κυκλικά τμήματα του κύκλου $\displaystyle{C(O,OA)}$ που ορίζονται από τις χορδές $\displaystyle{AB, B\Gamma ,\Gamma \Delta}$ και $\displaystyle{\Delta A}$ .
Επίσης ονομάζουμε $\displaystyle{X_2}$ το χωρίο που βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου $\displaystyle{C (O, \rho)}$ και εσωτερικά του τετραγώνου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ .

α. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου $\displaystyle{\Delta (O,\rho, OA)}$ που ορίζεται από τους κύκλους $\displaystyle{C (O, \rho)}$ και $\displaystyle{C(O,OA)}$ .

β. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά $\displaystyle{E(X_1)}$ και $\displaystyle{E(X_2)}$ των χωρίων $\displaystyle{X_1}$ και $\displaystyle{X_2}$ , αντίστοιχα, έχουν λόγο $\displaystyle{\frac{E(X_1)}{ E(X_2)}}$ μεγαλύτερο του $\displaystyle{\frac{13}{5}}$ .

γ. Να προσδιορίσετε την ακτίνα $\displaystyle{x}$ του κύκλου $\displaystyle{C (O, x)}$ που χωρίζει τον κυκλικό δακτύλιο $\displaystyle{\Delta (O,\rho, OA)}$ σε δύο κυκλικούς δακτυλίους ίσου εμβαδού.

: 8alis 2010 4o gg.png (54.15 KiB) Προβλήθηκε 1673 φορές

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{x+ y = 3 \cdot (- 2)^2}$ και $\displaystyle{y - w = {{\left[ {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{4}} \right]}^{6}}\cdot {{\left[ {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{6}} \right]}^{-4}}}$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης : $\displaystyle{ A = 7x + 10 y -3w - 87}$ .

$\displaystyle{x+ y = 3 \cdot (- 2)^2=3 \cdot 4=12}$

$\displaystyle{y - w = {{\left[ {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{4}} \right]}^{6}}\cdot {{\left[ {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{6}} \right]}^{-4}}=\left( -\frac{3}{5} \right)}^{4\cdot 6}}\cdot {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{6\cdot (-4)}}}$ $\displaystyle{ =\left( -\frac{3}{5} \right)}^{24}}\cdot {{\left( -\frac{3}{5} \right)}^{-24}}= \left( -\frac{3}{5} \right)}^{24-24}}= \left( -\frac{3}{5} \right)}^{0}}=1}$

$\displaystyle{ A = 7x + 7y+3 y -3w - 87}$

$\displaystyle{ A = 7(x + y)+3( y -w) - 87}$

$\displaystyle{ A = 7\cdot 12+3\cdot 1- 87}$

$\displaystyle{ A = 84+3- 87}$

$\displaystyle{ A = 87- 87}$

$\displaystyle{ A = 0}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 3.Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}= 120^o}$ .
Στο εσωτερικό της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ φέρουμε ημιευθείες $\displaystyle{Ax}$ και $\displaystyle{Ay}$ κάθετες στις πλευρές $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ ,
αντίστοιχα που τέμνουν την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ , αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{\widehat{A \Delta B}= 120^o,\widehat{AE\Delta}= 60^o}$ και το ύψος $\displaystyle{AH}$ έχει μήκος $\displaystyle{2\sqrt{3}}$ μονάδες μήκους, τότε:
α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta E}$ είναι ισόπλευρο.
β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.
γ. Να βρείτε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta E}$ .

: 2010.png (27.6 KiB) Προβλήθηκε 1625 φορές

α. Έχουμε $\displaystyle{\widehat {BA\Gamma } = {120^0}}$ και $\displaystyle{{\rm A}x \bot {\rm A}\Gamma }$ οπότε $\displaystyle{\widehat {\Delta A{\rm B}} = {30^0}}$ . Επίσης η $\displaystyle{{\rm A}y \bot {\rm A}B}$ οπότε $\displaystyle{\widehat {EA\Gamma } = {30^0}}$ .

Επειδή $\displaystyle{\widehat {\Gamma {\rm E}{\rm A}} = {120^0}}$ έχουμε ότι για την παραπληρωματικής της $\displaystyle{\widehat {\Delta {\rm E}{\rm A}} = {60^0}}$ . Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm E}}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat {{\rm A}\Delta {\rm E}} = \widehat {{\rm A}{\rm E}\Delta } = {60^0}}$ οπότε και $\displaystyle{\widehat {\Delta {\rm A}{\rm E}} = {60^0}}$ . Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm E}}$ είναι ισόπλευρο.

β. Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}\Gamma }$ έχουμε $\displaystyle{\widehat {{\rm A}{\rm E}\Gamma } + \widehat {{\rm E}{\rm A}\Gamma } + \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm E}} = {180^0}}$ οπότε $\displaystyle{\widehat {{\rm A}\Gamma {\rm E}} = {30^0}}$

Όμοια στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}B\Delta }$ έχουμε ότι $\displaystyle{\widehat {\Delta {\rm B}{\rm A}} = {30^0}}$ . Επομένως στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}B\Gamma }$ έχουμε $\displaystyle{\widehat {{\rm A}{\rm B}\Gamma } = \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm B}} = {30^0}}$ , οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}B\Gamma }$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{{\rm A}B = {\rm A}\Gamma }$

γ. Γνωρίζουμε ότι το ύψος του ισόπλευρου τριγώνο είναι και διάμεσος. Οπότε αν $\displaystyle{2x}$ η πλευρά του ισοπλευρου τριγώνου $\displaystyle{A\Delta {\rm E}}$ , τότε έχουμε ότι $\displaystyle{{\rm H}{\rm E} = \Delta {\rm H} = x}$ . Με χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο $\displaystyle{A{\rm H}{\rm E}}$ έχουμε $\displaystyle{A{E^2} = A{H^2} + H{E^2}}$ δηλαδή $\displaystyle{{\left( {2x} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2}$

Οπότε η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου $\displaystyle{A\Delta {\rm E}}$ είναι $\displaystyle{2x = 4}$ και η περιμετρός του ισόπλευρου τριγώνου $\displaystyle{A\Delta {\rm E}}$ είναι $\displaystyle{12}$ .

Στο τρίγωνο $\displaystyle{A{\rm H}B}$ έχουμε $\displaystyle{\eta \mu {30^0} = \frac{{{\rm A}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Rightarrow {\rm A}{\rm B} = 4\sqrt 3 = {\rm A}\Gamma }$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {30^0} = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{4\sqrt 3 }} \Rightarrow {\rm B}{\rm H} = 6}$ , επομένως $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 2{\rm B}{\rm H} = 12}$

και η περίμετρος του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}B\Gamma }$ είναι $\displaystyle{12 + 8\sqrt 3 = 4\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)}$ . Επομένως $\displaystyle{\frac{{\pi \varepsilon \rho \dot \iota \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma }}{{\pi \varepsilon \rho \dot \iota\mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,{\rm A}\Delta {\rm E}}} = \frac{{4\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{12}} = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:2. Να βρείτε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό, αν γνωρίζετε ότι ισχύουν όλα τα παρακάτω:
α. Το ψηφίο των μονάδων του είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{4}$ ,
β. Το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων του,
γ. Το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι διαιρέτης του $\displaystyle{5}$ ,
δ. Το ψηφίο των χιλιάδων του είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων του μειωμένο κατά $\displaystyle{1}$ .

α. Μονοψήφια πολλαπλάσια του $\displaystyle{4}$ είναι το $\displaystyle{4}$ και το 8, άρα το ψηφίο των δεκάδων είναι ή το $\displaystyle{4}$ ή το $\displaystyle{8}$
β. Αν το ψηφίο των μονάδων είναι $\displaystyle{4}$ , το ψηφίο των δεκάδων θα είναι το μισό του $\displaystyle{4}$ άρα $\displaystyle{2}$ .
Αν το ψηφίο των μονάδων είναι $\displaystyle{8}$ , το ψηφίο των δεκάδων θα είναι το μισό του $\displaystyle{8}$ άρα $\displaystyle{4}$ .
γ. Θετικοί διαιρέτες του πρώτου $\displaystyle{5}$ είναι το $\displaystyle{1}$ και το $\displaystyle{5}$ , , άρα το ψηφίο των εκατοντάδων είναι ή το $\displaystyle{1}$ ή το $\displaystyle{5}$
δ. Αν το ψηφίο των εκατοντάδων είναι $\displaystyle{1}$ , το ψηφίο των χιλιάδων θα είναι $\displaystyle{1-1=0}$ , αλλά τότε ο αριθμός θα ήταν τριψήφιος.
Άρα δεν μπορεί το ψηφίο των εκατοντάδων να είναι το $\displaystyle{1}$ .
Άρα το ψηφίο των εκατοντάδων είναι $\displaystyle{5}$ και το ψηφίο των χιλιάδων θα είναι $\displaystyle{5-1=4}$ .

Συνοψίζοντας οι τετράψηφιοι αριθμοί που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις της εκφώνησης είναι οι $\displaystyle{4548}$ και $\displaystyle{4524}$ .

pito · #5

4. Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ έχει πλευρά $\displaystyle{2\rho}$ .
Ονομάζουμε $\displaystyle{X_1}$ το χωρίο που αποτελείται από τα τέσσερα κυκλικά τμήματα του κύκλου $\displaystyle{C(O,OA)}$ που ορίζονται από τις χορδές $\displaystyle{AB, B\Gamma ,\Gamma \Delta}$ και $\displaystyle{\Delta A}$ .
Επίσης ονομάζουμε $\displaystyle{X_2}$ το χωρίο που βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου $\displaystyle{C (O, \rho)}$ και εσωτερικά του τετραγώνου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ .

α. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου $\displaystyle{\Delta (O,\rho, OA)}$ που ορίζεται από τους κύκλους $\displaystyle{C (O, \rho)}$ και $\displaystyle{C(O,OA)}$ .

β. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά $\displaystyle{E(X_1)}$ και $\displaystyle{E(X_2)}$ των χωρίων $\displaystyle{X_1}$ και $\displaystyle{X_2}$ , αντίστοιχα, έχουν λόγο $\displaystyle{\frac{E(X_1)}{ E(X_2)}}$ μεγαλύτερο του $\displaystyle{\frac{13}{5}}$ .

γ. Να προσδιορίσετε την ακτίνα $\displaystyle{x}$ του κύκλου $\displaystyle{C (O, x)}$ που χωρίζει τον κυκλικό δακτύλιο $\displaystyle{\Delta (O,\rho, OA)}$ σε δύο κυκλικούς δακτυλίους ίσου εμβαδού.

α) Το τρίγωνο AOB

είναι ισοσκελές αφού AO=OB

ως ακτίνες του μεγάλου κύκλου. Έτσι το

είναι ύψος προς τη βάση του AOB

θα είναι και διάμεσος με $AE=EB=\rho$ .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο AOE

από πυθαγόρειο είναι $AO^{2}=2\rho ^{2}\Leftrightarrow AO=\rho \sqrt{2}$

Είναι λοιπόν $\Delta (O,\rho ,OA)=\pi OA^{2}-\pi \rho ^{2}=\pi \rho ^{2}$

Β) Είναι $E(X_{1})=\pi OA^{2}-(AB\Gamma \Delta )=2\pi \rho ^{2}-4\rho ^{2}, E(X_{2})=(AB\Gamma \Delta )-\pi \rho ^{2}=4\rho ^{2}-\pi \rho ^{2}$
Έτσι $\frac{E(X_{1})}{E(X_{2})}>\frac{13}{5}\Leftrightarrow \frac{2(\pi -2)}{(4-\pi )}>\frac{13}{5}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \pi >\frac{72}{23}\Leftrightarrow \pi >3,13$ , που ισχύει.

γ) Πρέπει $\rho <x<\rho \sqrt{2}$ και $\pi (\rho \sqrt{2})^{2}-\pi x^{2}=\pi x^{2}-\pi \rho ^{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 3\rho ^{2}=2x^{2}\Leftrightarrow x=\frac{\rho \sqrt{6}}{2}$ , αφού x>0

, που είναι και δεκτή γιατί
$\rho <\frac{\rho \sqrt{6}}{2}<\rho \sqrt{2}\Leftrightarrow 4\rho ^{2}<6\rho ^{2}<8\rho ^{2}$ , που ισχύει

parmenides51 · #6

pito έγραψε:...

σ' ευχαριστώ Μυρτώ για την θετική σου ανταπόκριση στο κάλεσμα μου να βοηθήσεις στα θέματα Γεωμετρίας των διαγωνισμών των μικρών τάξεων

νομίζω πως προσφέρουμε περισσότερα στους άλλους λύνοντας αυτές που θεωρούμε ενδεχομένως πολύ απλές να ασχοληθεί κάποιος μαζί τους
αλλά το ενδεχόμενο να βοηθηθεί έστω κι ένα άτομο διαβάζοντας την δοθείσα λύση είναι κέρδος
άλλωστε κάποιος θα έπρεπε να τις λύσει κι αυτές για λόγους πληρότητας, επίσης

τα σχήματα της Γεωμετρίας που λείπουν στους διαγωνισμούς της ΕΜΕ θα τα ετοιμάσω όλα όπως προανέφερα και θα τα ανεβάσω εν καιρώ

ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση