ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{a, b, c, d}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{a^3+b^3+3ab=c+d=1}$

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3+\left(b+\frac{1}{b}\right)^3+\left(c+\frac{1}{c}\right)^3+\left(d+\frac{1}{d}\right)^3\ge 40}$

2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα $\displaystyle{\begin{matrix} x^2 + y^2- z(x + y) = 2 \\ y^2 + z^2 - x(y + z) = 4 \\ z^2 + x^2 - y(z + x) = 8 \end{matrix}}$ .

3. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{C}$ κέντρου $\displaystyle{K}$ και ακτίνας $\displaystyle{r}$ , σημείο $\displaystyle{A}$ πάνω στον κύκλο και σημείο $\displaystyle{P}$ στο εξωτερικό του κύκλου $\displaystyle{C}$ .
Από το σημείο $\displaystyle{P}$ θεωρούμε μεταβλητή ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ η οποία τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{C}$ στα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .
Αν $\displaystyle{H}$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο $\displaystyle{T}$ του επιπέδου του κύκλου $\displaystyle{C}$
τέτοιο ώστε το άθροισμα $\displaystyle{HA^2 + HT^2}$ να είναι σταθερό (ανεξάρτητο από τη θέση της ευθείας $\displaystyle{\varepsilon}$ ).

4. Στο σύνολο $\displaystyle{\Sigma}$ των σημείων του επιπέδου $\displaystyle{\Pi}$ ορίζουμε μια πράξη $\displaystyle{*}$ , δηλαδή μια απεικόνιση της μορφής $\displaystyle{* : \Sigma x \Sigma \to \Sigma}$
η οποία απεικονίζει κάθε διατεταγμένο ζεύγος σημείων $\displaystyle{(X , Y)}$ στο σημείο $\displaystyle{X * Y = Z}$ , που είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{X}$ ως προς κέντρο συμμετρίας το $\displaystyle{Y}$ .
Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ στο επίπεδο $\displaystyle{\Pi}$ .
Είναι δυνατόν με διαδοχικές εφαρμογές της πράξης $\displaystyle{*}$ στο σύνολο των τριών κορυφών $\displaystyle{\{A, B, \Gamma \}}$ να λάβουμε την τέταρτη κορυφή $\displaystyle{\Delta}$ ;
Δεν εξετάζονται οι πράξεις με σημεία που δεν ανήκουν στους άξονες $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Στο σύνολο $\displaystyle{\Sigma}$ των σημείων του επιπέδου $\displaystyle{\Pi}$ ορίζουμε μια πράξη $\displaystyle{*}$ , δηλαδή μια απεικόνιση της μορφής $\displaystyle{* : \Sigma x \Sigma \to \Sigma}$
η οποία απεικονίζει κάθε διατεταγμένο ζεύγος σημείων $\displaystyle{(X , Y)}$ στο σημείο $\displaystyle{X * Y = Z}$ , που είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{X}$ ως προς κέντρο συμμετρίας το $\displaystyle{Y}$ .
Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ στο επίπεδο $\displaystyle{\Pi}$ .
Είναι δυνατόν με διαδοχικές εφαρμογές της πράξης $\displaystyle{*}$ στο σύνολο των τριών κορυφών $\displaystyle{\{A, B, \Gamma \}}$ να λάβουμε την τέταρτη κορυφή $\displaystyle{\Delta}$ ;
Δεν εξετάζονται οι πράξεις με σημεία που δεν ανήκουν στους άξονες $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .

εδώ

parmenides51 · #3

'Άλλες λύσεις του Ροδόλφου (Μπόρη) στο 1ο και 3ο θέμα από εδώ

#4

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{a, b, c, d}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{a^3+b^3+3ab=c+d=1}$

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3+\left(b+\frac{1}{b}\right)^3+\left(c+\frac{1}{c}\right)^3+\left(d+\frac{1}{d}\right)^3\ge 40}$

Μια λίγο διαφορετική λύση από εκείνη του Ροδόλφου:

Λόγω της $a^3+b^3+3ab=1 \Leftrightarrow a^3+b^3+(-1)^3=3ab(-1)$ , από την ταυτότητα Euler έχουμε a+b+(-1)=0

ή

(αδύνατο)

Άρα a+b=1

Επίσης λόγω της γνωστής ανισότητας $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ που ισχύει για μη αρνητικούς αριθμούς x,y

έχουμε:

$\displaystyle{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^3\geq \left(a+\dfrac{1}{a}\right)\left(b+\dfrac{1}{b}\right)\left(a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}\right)\geq 2\cdot 2\cdot \left(1+\dfrac{1}{ab}\right) \ \ (1)}$

Από την ανισότητα AM-ΓΜ έχουμε $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ άρα $ab\leq\dfrac{1}{4}$ οπότε τελικά $\dfrac{1}{ab}\geq 4$ άρα η (1)

γίνεται:

$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^3\geq 20 \ \ (2)$

Όμοια έχουμε:

$\left(c+\dfrac{1}{c}\right)^3+\left(d+\dfrac{1}{d}\right)^3\geq 20 \ \ (3)$

Προσθέτοντας τις (2),(3)

έχουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#5

parmenides51 έγραψε:2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα $\displaystyle{\begin{matrix} x^2 + y^2- z(x + y) = 2 \\ y^2 + z^2 - x(y + z) = 4 \\ z^2 + x^2 - y(z + x) = 8 \end{matrix}}$ .

Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις μεταξύ τους παίρνουμε τελικά ότι $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=14 \ \ (1)$

Αφαιρώντας ανα δύο τις εξισώσεις παίρνουμε:

(x-y)(x+y+z)=4

οπότε $\dfrac{x-y}{4}=\dfrac{y-z}{-6}=\dfrac{z-x}{2}=\dfrac{1}{x+y+z}=k \ \ (2)$

οπότε από την (1)

έχουμε

δηλαδή $k=\pm\dfrac{1}{2}$

Αν $k=\dfrac{1}{2}$ τότε από την (2)

παίρνουμε τελικά τη λύση (x,y,z)=(1,-1,2)

.

Αν $k=\dfrac{1}{2}$ τότε από την (2)

παίρνουμε τελικά τη λύση (x,y,z)=(-1,1,-2)

.

Αλέξανδρος

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{a, b, c, d}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{a^3+b^3+3ab=c+d=1}$

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3+\left(b+\frac{1}{b}\right)^3+\left(c+\frac{1}{c}\right)^3+\left(d+\frac{1}{d}\right)^3\ge 40}$

άλλες λύσεις εδώ (aops)

miltosk · #7

Για το 2ο θέμα:
(Ξεθάβοντας το θέμα) απλά θα προτείνω μια λίγο διαφορετική προσέγγιση.
Προσθέτοντας κατά μέλη τις δοσμένες παίρνω:
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^5=14, (1)

Φτιάχνω το σύστημα ως εξής:
x^3 + xy^2- xz(x + y) = 2x

Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη:
x^3+y^3+z^3-3xyz=2x+4y+8z, (2)

Με τη βοήθεια της (1)

και της ταυτότητας των κύβων Euler αφού κάνω τις πράξεις στη (2)

λαμβάνω:

Αντικαθιστώντας το

στην

και στην

και απαλοίφοντας τους αριθμούς αφαιρώντας κατά μέλη φτάνω στο τριώνυμο(ως προς

):

Άρα

είναι μία περίπτωση απ'όπου έυκολα λαμβάνω μέσω της x^2 + y^2- z(x + y) = 2

ότι

Για την άλλη ρίζα η οποία είναι $x=\frac{-4y}{11} \Rightarrow z=\frac{13y}{11}$ αντικαθιστώντας τα x,z

συναρτήσει του

, λαμβάνω διαφορετικές τιμές του

που αποτελούν ρίζες των (δεν υπάρχει δηλαδή

που τις ικανοποιεί ταυτόχρονα):
x^2 + y^2- z(x + y) = 2

και άρα η περίπτωση απορρίπτεται.
Τελικά: (x,y,z)=(1,-1,2),(-1,1,-2)

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση