ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2007 - ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

1. Έστω $x,y\in(0, 1)$ μεταβλητοί πραγματικοί αριθμοί και θεωρούμε τους αριθμούς $a=x +y\,m$ και $b=y+x\,m$ όπου

,

θετικοί ακέραιοι.
Αν όλα τα ζεύγη ακεραίων που προκύπτουν καθώς τα

,

μεταβάλλονται είναι 119

, να βρεθεί ο

.

2. Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση $x^8+2^{\displaystyle 2^{x}+2}= p$ , όπου

είναι πρώτος αριθμός.

3. Έστω $\rm{H}$ το ορθόκεντρο τριγώνου $\rm{AB}\Gamma$ που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $\rm{K}$ και ακτίνα R=1

.
Αν $\Sigma$ είναι η τομή των ευθειών που ορίζουν τα τμήματα $\rm{HK}$ και $\rm{B\Gamma}$ και επιπλέον ισχύει ${\rm{K\Sigma}}\cdot{\rm{KH}}= 1$ ,
να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου $\rm{ABH\Gamma{A}}$ .

4. Αν $\alpha_1,\,\alpha_2,\ldots,\,\alpha_{n}$ είναι θετικοί ακέραιοι και

,

είναι ο ελάχιστος και ο μέγιστος από αυτούς αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι
$\biggl({\dfrac{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{n}^2}{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{n}}}\biggr)^{\displaystyle \frac{t\,n}{k}}\geq \alpha_1\cdot \alpha_2\cdot \ldots\cdot \alpha_{n}$

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $x,y\in(0, 1)$ μεταβλητοί πραγματικοί αριθμοί και θεωρούμε τους αριθμούς $a=x +y\,m$ και $b=y+x\,m$ όπου , , θετικοί ακέραιοι.
Αν όλα τα ζεύγη ακεραίων που προκύπτουν καθώς τα , μεταβάλλονται είναι , να βρεθεί ο .

εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Έστω $\rm{H}$ το ορθόκεντρο τριγώνου $\rm{AB}\Gamma$ που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $\rm{K}$ και ακτίνα .
Αν $\Sigma$ είναι η τομή των ευθειών που ορίζουν τα τμήματα $\rm{HK}$ και $\rm{B\Gamma}$ και επιπλέον ισχύει ${\rm{K\Sigma}}\cdot{\rm{KH}}= 1$ ,
να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου $\rm{ABH\Gamma{A}}$ .

εδώ (aops)
και από εδώ

yetti έγραψε: $\displaystyle{R = 1}$ is the triangle circumradius, the orthocenter $\displaystyle{H}$ lies on the reflection $\displaystyle{(K_a)}$ of the circumcircle $\displaystyle{(K)}$ in $\displaystyle{BC}$ . $\displaystyle{\overline{SK} \cdot (\overline{SK} - \overline{SH}) = R^2 \Longrightarrow \overline{SK} \cdot \overline{HK} = \overline{KS} \cdot \overline {KH} = R^2 \Longrightarrow S}$ is image of $\displaystyle{H}$ in inversion with center $\displaystyle{K}$ and power $\displaystyle{R^2\Longrightarrow H}$ lies on the circumcircle of the \triangle $\displaystyle{ KBC \Longrightarrow}$ either $\displaystyle{ \angle A = 60^\circ}$ , or $\displaystyle{ \angle A = 120^\circ}$ , or $\displaystyle{ H \equiv S \equiv B}$ , or $\displaystyle{ H \equiv S \equiv C}$ . The last two cases are not acceptable, because then either $\displaystyle{ \angle B = 90^\circ}$ , or $\displaystyle{ \angle C = 90^\circ}$ are not acute.
$\displaystyle{ |S(ABHCA)| = |S(\triangle ABC) - S(\triangle HBC)| = \frac {_1}{^2}\ |BC| \cdot |AH| = \frac {_1}{^2} \cdot \sqrt 3 \cdot R^2}$ ...

parmenides51 έγραψε:4. Αν $\alpha_1,\,\alpha_2,\ldots,\,\alpha_{n}$ είναι θετικοί ακέραιοι και , είναι ο ελάχιστος και ο μέγιστος από αυτούς αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι
$\biggl({\dfrac{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{n}^2}{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{n}}}\biggr)^{\displaystyle \frac{t\,n}{k}}\geq \alpha_1\cdot \alpha_2\cdot \ldots\cdot \alpha_{n}$

από εδώ

r_boris έγραψε: $\displaystyle{k\le a_1 \le t ... k\le a_n \le t}$ τότε $\displaystyle{nk \le nt}$ άρα $\displaystyle{n \le \frac {nt}{k}}$

άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{ \frac{{a_1}^2+...+{a_1}^2}{a_1+...+a_n}\ge \sqrt[n]{a_1...a_n}}$

ή $\displaystyle{\frac{{a_1}^2+...+{a_1}^2}{a_1+...+a_n}\ge \frac{a_1+...+a_n}{n}}$ λόγω Cauchy που είναι η BCS για τους $\displaystyle{a_1,...,a_n}$ και τους $\displaystyle{1,...,1}$

(Ισχύει $\displaystyle{\frac{a_1+...+a_n}{n} \ge 1}$ )

από εδώ

Orfikoss έγραψε:Πρέπει: $\displaystyle{\left(\frac {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{a_1 + a_2 + ... + a_n}\right)^\frac {tn}{k} \ge a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$

Apo B-C-S $\displaystyle{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2\ge\frac {(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2}{n}}$ οπότε είναι:

$\displaystyle{\left(\frac {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{a_1 + a_2 + ... + a_n}\right)^\frac {tn}{k} \ge \left(\frac {a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\right)^\frac {tn}{k}$

και από Αριθμητικό-Γεωμετρικό μέσο προκύπτει:

$\displaystyle{\left(\frac {a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\right)^\frac {tn}{k} \ge\right(\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}\right)^\f...}$ και επειδή $\displaystyle{t \ge k}$ ισχύει

$\displaystyle{\left(a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n\right)^\frac {t}{k} \ge a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$

Το " $\displaystyle{=}$ " ισχύει όταν $\displaystyle{a_1 = a_2 = ... = a_n}$

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση $x^8+2^{\displaystyle 2^{x}+2}= p$ , όπου είναι πρώτος αριθμός.

Για $x \geqslant 2$ θέτουμε $a = x^2,b=2^{2^{x-2}}$ που δίνει $\displaystyle{ p = a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 - 2ab + 2b^2).}$ Αυτό είναι αδύνατο αφού και οι δύο παράγοντες είναι μεγαλύτεροι του

και άρα το γινόμενο τους δεν μπορεί να είναι πρώτος. [Για τον δεύτερο παράγοντα έχουμε $a^2 + 2b^2 - 2ab \geqslant (2\sqrt{2}-2)ab > 1$ αφού είναι επίσης $a = x^2 \geqslant 4$ .]

Μένει να ελεγχθεί η περίπτωση x=1

που δίνει $x^8 + 2^{2^x+2} = 17$ ο οποίος είναι πρώτος. Άρα η x=1,p=17

είναι η μοναδική λύση του συστήματος.

nickthegreek · #4

Για το 1ο υπάρχει και "γεωμετρική" αντιμετώπιση.......προσπαθήστε να τη βρείτε

Καλή χρονιά στους φίλους του mathematica!

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2007 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2007 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2007 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2007 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2007 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση