ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2009 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

parmenides51 · #1

1. Να προσδιορίσετε το πλήθος των θετικών ακέραιων που δεν είναι δυνατόν να γραφούν στη μορφή $80\kappa+3\lambda$ , όπου $\kappa,\lambda \in\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$ .

2. Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ με πλευρές $AB=\alpha$ και $B\Gamma=\beta$ . Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του.
Προεκτείνουμε την πλευρά

προς το μέρος του

κατά τμήμα AE=AO

και την διαγώνιο $\Delta B$ προς το μέρος του

κατά τμήμα BZ=BO

.
Αν το τρίγωνο $EZ\Gamma$ είναι ισόπλευρο, τότε να αποδείξετε ότι:
(i) $\beta=\alpha\sqrt{3}$
(ii) AZ=EO

(iii) $EO\bot Z\Delta$

3. Αν a,b

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα

και οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y

και

έχουν γινόμενο

,
να αποδείξετε ότι : $(ax+b)(ay+b)(az+b)\geq 27$ . Για ποιες τιμές των x,y

και

αληθεύει η ισότητα;

4. Δίνονται τρεις παράλληλες ευθείες $\epsilon_1,\epsilon_2$ , και $\epsilon_3$ ενός επιπέδου, έτσι ώστε η ευθεία $\epsilon_2$ να έχει την ίδια απόσταση, έστω $\alpha$ , από τις $\epsilon_1$ και $\epsilon_3$ .
Τοποθετούμε

σημεία

και

πάνω στις ευθείες $\epsilon_1,\epsilon_2$ και $\epsilon_3$ , έτσι ώστε σε κάθε ευθεία να υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο.
Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό ισοσκελών τριγώνων που είναι δυνατό να σχηματιστούν με κορυφές τρία από τα σημεία M_1,M_2,M_3,M_4

και

με κατάλληλη τοποθέτηση πάνω στις ευθείες $\epsilon_1,\epsilon_2$ και $\epsilon_3$ , σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
(α) $M_1,M_2,M_3\in\epsilon_2$ , $M_4\in\epsilon_1$ και $M_5\in\epsilon_3$ .
(β) $M_1,M_2\in\epsilon_1$ , $M_3,M_4\in\epsilon_3$ και $M_5\in\epsilon_2$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ με πλευρές $AB=\alpha$ και $B\Gamma=\beta$ . Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του.
Προεκτείνουμε την πλευρά προς το μέρος του κατά τμήμα και την διαγώνιο $\Delta B$ προς το μέρος του κατά τμήμα .
Αν το τρίγωνο $EZ\Gamma$ είναι ισόπλευρο, τότε να αποδείξετε ότι:
(i) $\beta=\alpha\sqrt{3}$
(ii)
(iii) $EO\bot Z\Delta$

εδώ κι εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα και οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και έχουν γινόμενο ,
να αποδείξετε ότι : $(ax+b)(ay+b)(az+b)\geq 27$ . Για ποιες τιμές των και αληθεύει η ισότητα;

εδώ κι εδώ

gavrilos · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να προσδιορίσετε το πλήθος των θετικών ακέραιων που δεν είναι δυνατόν να γραφούν στη μορφή $80\kappa+3\lambda$ , όπου $\kappa,\lambda \in\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$ .

Για θετικούς ακεραίους μικρότερους του $\displaystyle{80}$ ισχύει σίγουρα ότι $\displaystyle{\kappa=0}$ άρα οι συγκεκριμένοι αριθμοί μπορούν να γραφούν στην παραπάνω μορφή μόνο αν γράφονται και στη μορφή $\displaystyle{3\lambda}$ δηλαδή αν είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ .Επομένως θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του $\displaystyle{80}$ που δεν είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ δεν μπορούν να γραφούν στην παραπάνω μορφή π.χ { $\displaystyle{1,2,4,5,7,...,76,77,79}$ }.

Για αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους του $\displaystyle{80}$ και μικρότερους του $\displaystyle{160}$ ο $\displaystyle{\kappa}$ μπορεί να είναι μέχρι και $\displaystyle{1}$ .Άρα από αυτούς τους φυσικούς οι μονοί που δεν γράφονται στην μορφή $80\kappa+3\lambda$ είναι αυτοί που ούτε είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ ούτε γράφονται στη μορφή $\displaystyle{80+3\lambda}$ .Κι επειδή οι αριθμοί που γράφονται στη μορφή $\displaystyle{80+3\lambda+1}$ είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ γιατί $\displaystyle{80+3\lambda+1=81+3\lambda=3(\lambda+27)}$ οι μόνοι αριθμοί που δεν γράφονται στη μορφή $80\kappa+3\lambda$ ανάμεσα στους φυσικούς μεταξύ του $\displaystyle{80}$ και του $\displaystyle{160}$ είναι αυτοί της μορφής $\displaystyle{80+3\lambda+2}$ .

Από τους φυσικούς μεγαλύτερους ή ίσους του $\displaystyle{160}$ δεν υπάρχει κάποιος που να μη γράφεται στην παραπάνω μορφή.Αυτό συμβαίνει επειδή αυτοί οι φυσικοί μπορούν να εκφραστούν με $\displaystyle{\kappa \leq 2}$ και έτσι μπορούν να γραφούν και στη μορφή $\displaystyle{160+3\lambda}$ .
Όμως οι φυσικοί που είναι της μορφής $\displaystyle{160+3\lambda+1}$ γράφονται και στη μορφή $\displaystyle{80+3\lambda}$ ενώ εκείνοι που είναι $\displaystyle{160+3\lambda+2}$ είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ .

Έτσι οι μόνοι φυσικοί που δε γράφονται στη μορφή $\displaystyle{80\kappa+3\lambda}$ όπου $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ είναι φυσικοί αριθμοί είναι :
1. Φυσικοί που είναι μικρότεροι του $\displaystyle{80}$ και δεν είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ ,

2. Φυσικοί που είναι ίσοι ή μεγαλύτεροι του $\displaystyle{80}$ και μικρότεροι του $\displaystyle{160}$ και είναι της μορφής $\displaystyle{80+3\lambda+2}$ .

Στην 1η κατηγορία ανήκουν 26 αριθμοι (3,6,9,12...78) ενω στη 2η ανηκουν 53 (26+27) συνολο 79 αριθμοι.

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Δίνονται τρεις παράλληλες ευθείες $\epsilon_1,\epsilon_2$ , και $\epsilon_3$ ενός επιπέδου, έτσι ώστε η ευθεία $\epsilon_2$ να έχει την ίδια απόσταση, έστω $\alpha$ , από τις $\epsilon_1$ και $\epsilon_3$ .
Τοποθετούμε σημεία και πάνω στις ευθείες $\epsilon_1,\epsilon_2$ και $\epsilon_3$ , έτσι ώστε σε κάθε ευθεία να υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο.
Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό ισοσκελών τριγώνων που είναι δυνατό να σχηματιστούν με κορυφές τρία από τα σημεία
και με κατάλληλη τοποθέτηση πάνω στις ευθείες $\epsilon_1,\epsilon_2$ και $\epsilon_3$ , σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
(α) $M_1,M_2,M_3\in\epsilon_2$ , $M_4\in\epsilon_1$ και $M_5\in\epsilon_3$ .
(β) $M_1,M_2\in\epsilon_1$ , $M_3,M_4\in\epsilon_3$ και $M_5\in\epsilon_2$ .

(a) Πάνω στην $(\epsilon _2 )$ , παίρνουμε τα σημεία M_1 , M_2 , M_3

, έτσι ώστε να είναι M_1 M_2 =M_2 M_3 =a

Aπό το σημείο M_2

, φέρνουμε ευθεία κάθετη στην $(\epsilon_2 )$ , η οποία τέμνει την $(\epsilon_1 )$ στο M_4

και την

$(\epsilon_3 )$ στο M_5

. Τότε το τετράπλευρο M_1 M_5 M_3 M_4

είναι τετράγωνο και σχηματίζονται

ισοσκελή

τρίγωνα.

(β) Πάνω στην $(\epsilon_1$ , παίρνουμε τα σημεία M_1 , M_2

, ώστε να είναι M_1 M_2 =2a

. Με πλευρά την M_1 M_2

κατασκευάζουμε το τετράγωνο M_1 M_2 M_4 M_3

, όπου τα σημεία M_3 , M_4

, ανήκουν πάνω στην ευθεία $(\epsilon_3 )$

Oι διαγώνιοι του τετραγώνου αυτού τέμνονται πάνω στον άξονα συμμετρίας $(\epsilon_2)$ , και το σημείο αυτό το ορίζουμε

ως το M_5

.

Έτσι σχηματίζονται και πάλι

ισοσκελή τρίγωνα (που έχουν κορυφές τρία από τα σημεία M_1 , M_2 , M_3 , M_4 , M_5

)

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2009 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2009 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2009 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2009 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2009 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέλη σε σύνδεση