Παγκύπριος Διαγωνισμός Γ' Λυκείου 2012-2013

#1

[Δεν είναι της ΕΜΕ αλλά νομίζω ταιριάζει καλύτερα σε αυτόν τον φάκελο. Πηγή: Εδώ]

Ημερομηνία Διεξαγωγής: 8 Δεκεμβρίου 2012.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.

1. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ . Αν ισχύει ότι

$\displaystyle{ f(3x^2 + 5x+1) < f(4x^2 - 5x - 6)}$

να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή $x \in \mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

2. Αν η εξίσωση x^2+ax+b=0

έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και η εξίσωση

$\displaystyle{ (x^2-2cx+d)^2 + a(x^2-2cx+d) + b = 0}$

δεν έχει πραγματικές ρίζες να δειχθεί ότι d^2 + ad + b > c^4

.

3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Η το σημείο τομής των υψών του ΓΕ και ΒΔ. Αν ο κύκλος με διάμετρο το ΔΕ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Θ και Ζ αντίστοιχα, Κ το σημείο τομής ΘΖ και ΑΗ και Ρ το σημείο τομής της ΑΗ με την ΒΓ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{B\Delta \cdot A \Gamma \cdot AK}{\Gamma E \cdot A \Theta \cdot AP} = 1.}$

4. Τέσσερις πόλεις είναι κορυφές ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ. Να βρείτε ένα σύστημα αυτοκινητοδρόμων που συνδέει αυτές τις τέσσερις πόλεις έτσι ώστε το συνολικό μήκος των δρόμων να είναι ελάχιστο.

---------------------
Αν κάποιος έχει χρόνο ας περάσει και τους άλλους διαγωνισμούς που υπάρχουν στην σελίδα της ΚΥ.Μ.Ε. εδώ. Έχω αρκετά παλια τεύχη του «Μαθηματικού Βήματος» που περιέχουν παλιούς διαγωνισμούς. Θα αρχίσω σιγά σιγά να τα περνάω. (Πρέπει όμως να βρω που τα έχω φυλάξει. Προς το παρόν έχω βρει μόνο αυτά του 1991 και του 1992 οπότε θα αρχίσω με αυτά.)

parmenides51 · #2

Demetres έγραψε:[Δεν είναι της ΕΜΕ αλλά νομίζω ταιριάζει καλύτερα σε αυτόν τον φάκελο. Πηγή: Εδώ]
---------------------
Αν κάποιος έχει χρόνο ας περάσει και τους άλλους διαγωνισμούς που υπάρχουν στην σελίδα της ΚΥ.Μ.Ε. εδώ. Έχω αρκετά παλια τεύχη του «Μαθηματικού Βήματος» που περιέχουν παλιούς διαγωνισμούς. Θα αρχίσω σιγά σιγά να τα περνάω. (Πρέπει όμως να βρω που τα έχω φυλάξει. Προς το παρόν έχω βρει μόνο αυτά του 1991 και του 1992 οπότε θα αρχίσω με αυτά.)

θα πρότεινα να ετοιμαστεί ένας νέος φάκελος, στην κατηγορία '' ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ'' με την εύλογη ονομασία ''Θέματα διαγωνισμών της ΚΥΜΕ'' στον οποίο θα αναρτώνται όλα τα θέματα του εν λόγω διαγωνισμού με καρφιτσωμένη την δημοσίευση ''Αρχείο διαγωνισμών της ΚΥΜΕ'', θα ήταν πιο λειτουργικό έτσι

συμφωνώ πως θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο να συγκεντρωθούν στο

, τα θέματα της ΚΥΜΕ, όλοι έχουμε να κερδίσουμε από αυτό

θα συνεισφέρω κι εγώ στο μέλλον

BAGGP93 · #3

Demetres έγραψε:1. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ . Αν ισχύει ότι

$\displaystyle{ f(3x^2 + 5x+1) < f(4x^2 - 5x - 6)}$

να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή $x \in \mathbb{R}$ .

Καλημέρα.

Αρκεί να βρούμε τις τιμές της μεταβλητής $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ για τις οποίες ισχύουν τα ακόλουθα.

1) $\displaystyle{3x^2+5x+1>0}$

2) $\displaystyle{4x^2-5x-6>0}$

3) $\displaystyle{3x^2+5x+1>4x^2-5x-6}$

Για το 1)

$\displaystyle{3x^2+5x+1>0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2+\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}>0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x+\frac{5}{6}\right)^2>\frac{13}{36}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x+\frac{5}{6}>\frac{\sqrt{13}}{6}\ \lor x+\frac{5}{6}<-\frac{\sqrt{13}{6}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x\in\left(-\infty,\frac{-5-\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{13}-5}{6},+\infty\right)}$

Για το 2)

$\displaystyle{4x^2-5x-6>0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2-\frac{5}{4}x-\frac{3}{2}>0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{8}\right)^2>\frac{121}{64}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x-\frac{5}{8}>\frac{11}{8}\ \lor x-\frac{5}{8}<-\frac{11}{8}}$

$\displaystyle{x\in\left(-\infty,-\frac{3}{4}\right)\cup\left(2,+\infty\right)}$

Είναι,

$\displaystyle{\frac{-5-\sqrt{13}}{6}+\frac{3}{4}=\frac{-2\sqrt{13}-1}{12}<0}$ και $\displaystyle{\frac{\sqrt{13}-5}{6}-2=\frac{\sqrt{13}-17}{6}<0}$

και επιπλέον

$\displaystyle{\frac{\sqrt{13}-5}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2\sqrt{13}-1}{12}>0}$

Συνεπώς,από τα 1),2) είναι,

$\displaystyle{x\in\left(-\infty,\frac{-5-\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(2,+\infty\right)}$

Μένει να λύσουμε την ανίσωση 3)

$\displaystyle{3x^2+5x+1>4x^2-5x-6\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2-10x<7}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (x-5)^2<32=(4\sqrt{2})^2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -4\sqrt{2}<x-5<4\sqrt{2}}$

$\displaystyle{x\in\left(5-4\sqrt{2},5+4\sqrt{2}\right)}$

Συναληθεύοντας με τα πιο πάνω βρίσκουμε τελικά $\displaystyle{x\in\left(2,5+4\sqrt{2}\right)}$

Παγκύπριος Διαγωνισμός Γ' Λυκείου 2012-2013

Παγκύπριος Διαγωνισμός Γ' Λυκείου 2012-2013

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γ' Λυκείου 2012-2013

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γ' Λυκείου 2012-2013

Μέλη σε σύνδεση