Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

#1

Ημερομηνία Διεξαγωγής: 16 Δεκεμβρίου 1990.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή A(1,3)

. Οι εξισώσεις δύο διαμέσων του τριγώνου είναι x-2y+1=0

και

. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του τριγώνου.

2.

(α) Να βρεθούν τα ζεύγη (x,y)

από ακέραιες και θετικές τιμές των

και

που επαληθεύουν το σύστημα ανισώσεων

$\displaystyle{ |x^2 - 2x| < 3}$ και $\displaystyle{ |1-4x^2| \leqslant 4-y^2}$

(β) Αν $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ και a^2 = b^2 + c^2

να αποδειχτεί πως ισχύει ότι a < b+c

.

3. Δίνεται ότι $\displaystyle{2\cos{x} = a + \frac{1}{a} }$ όπου $a \neq 0$ . Να αποδειχτούν

(α) $\displaystyle{ 2\cos{3x} = a^3 + \frac{1}{a^3}}$

(β) $\displaystyle{ a + a^2 + a^3 + a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} = 2(\cos{x} + \cos{2x} + \cos{3x})}$

(γ) $\displaystyle{ 2\cos(3^n x) = a^{3^n} + \frac{1}{a^{3^n}}}$ για κάθε φυσικό αριθμό

.

4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Στο εξωτερικό του τριγώνου και πάνω στις πλευρές του κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα Α'ΒΓ, Β'ΑΓ και Γ'ΑΒ.

(α) Να αποδειχθεί πως τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ', ΒΒ' και ΓΓ' είναι ίσα μεταξύ τους.

(β) Αν οι ευθείες ΒΒ' και ΓΓ' τέμνονται σε σημείο Σ να αποδειχτεί πως η γωνία ΑΣΒ ισούται με $120^{\circ}$ .

(γ) Να αποδειχτεί πως και η ευθεία ΑΑ' περνά από το Σ.

5. Πέντε δρομείς οι Ανδρέας, Γιώργος, Βασίλης, Δημήτρης και Έκτορας έτρεξαν ένα αγώνα δρόμου. Όταν αργότερα ρωτήθηκαν για το αποτέλεσμα της κούρσας έδωσαν τις ακόλουθες απαντήσεις

Ανδρέας: Ο Δημήτρης ήρθε 2ος και εγώ 3ος.
Βασίλης: Εγώ ήρθα 1ος και ο Γιώργος 2ος.
Γιώργος: Εγώ ήρθα 3ος και ο Βασίλης 5ος.
Δημήτρης: Εγώ ήρθα 2ος και ο Έκτορας 4ος.
Έκτορας: Εγώ ήρθα 4ος και ο Ανδρέας 1ος.

Αν είναι γνωστό πως ο κάθε αθλητής έδωσε ένα σωστό και ένα λανθασμένο αποτέλεσμα να βρεθεί η σωστή σειρά.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kleovoulos · #2

X x X AKYPH AΠΑΝΤΗΣΗ Χ χ Χ

#3

kleovoulos έγραψε:
ΑΡΑ : 1ος - Ανδρέας
2ος - Δημήτρης
3ος - Γιώργος
4ος - Έκτορας
5ος - Βασίλης

Πολύ εύκολη μου φάνηκε.. Για τι τάξη ήτανε;

Κλεόβουλε, η απάντηση είναι λανθασμένη. Π.χ. αν ήταν αυτή η σειρά τότε ο Βασίλης έδωσε δύο λανθασμένα αποτελέσματα και όχι ένα σωστό και ένα λάθος όπως λέει η εκφώνηση.

Ο διαγωνισμός είναι για τις τάξεις Β' και Γ' Λυκείου μαζί και είναι ο πρώτος διαγωνισμός που γίνεται. Είναι δηλαδή σαν τον Θαλή περίπου με την διαφορά ότι είναι και οι δυο τάξεις μαζί και ότι κάθε επαρχία έχει τον δικό της.

#4

Με οδήγηση σε άτοπο:

Έστω ότι ο Ανδρέας λέει αλήθεια ότι ο Δημήτρης ήρθε 2ος.
Οπότε ο Δημήτρης λέει ψέμα ότι ο Έκτορας ήρθε 4ος.
Άρα ο Έκτορας λέει αλήθεια ότι ο Ανδρέας ήρθε 1ος.
Οπότε είναι ψέμα η δήλωση του Βασίλη ότι ήρθε πρώτος, άρα είναι σωστή η δήλωσή του ότι ο Γιώργος ήρθε 2ος. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την πρώτη παραδοχή (Δημήτρης 2ος).

Οπότε ο Ανδρέας ήρθε 3ος και λέει ψέματα ότι ο Δημήτρης ήρθε 2ος.

Ο Έκτορας ήρθε 4ος και λέει ψέματα ότι ο Ανδρέας ήρθε 4ος.

Ο Δημήτρης λέει αλήθεια ότι ο Έκτορας ήρθε 4ος και ψέμα ότι ήρθε 2ος.

Ο Γιώργος λέει ψέμα ότι ήρθε 3ος και αλήθεια ότι ο Βασίλης ήρθε 5ος.

Ο Βασίλης λέει ψέμα ότι ήρθε 1ος και αλήθεια ότι ο Γιώργος ήρθε 2ος.

Οπότε ο Δημήτρης ήρθε 1ος.

edit: Μήπως ο μικρός τότε Δημήτρης, ήταν θεματοδότης;

gavrilos · #5

Demetres έγραψε:Ημερομηνία Διεξαγωγής: 16 Δεκεμβρίου 1990.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.

2.

(α) Να βρεθούν τα ζεύγη από ακέραιες και θετικές τιμές των και που επαληθεύουν το σύστημα ανισώσεων

$\displaystyle{ |x^2 - 2x| < 3}$ και $\displaystyle{ |1-4x^2| \leqslant 4-y^2}$

(β) Αν $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ και να αποδειχτεί πως ισχύει ότι .

α)Η πρώτη ανίσωση γίνεται $\displaystyle{-3<x(x-2)<3$ .Λύνοντας τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που προκύπτουν βρίσκουμε πως οι μόνες θετικές ακέραιες τιμές που

επαληθεύουν την ανίσωση είναι οι $\displaystyle{1,2}$ .

Η τιμή $\displaystyle{2}$ δεν επαληθεύει την δεύτερη ανίσωση αφού θα έπρεπε $\displaystyle{|1-16|\leq 4-y^{2}\Leftrightarrow y^{2}+11\leq 0}$ το οποίο είναι προφανώς άτοπο.

Για $\displaystyle{x=1}$ η δεύτερη ανίσωση γίνεται $\displaystyle{y^{2}-4\leq -3\leq 4-y^{2}\Leftrightarrow y^{2}-1\leq 0\leq 7-y^{2}}$ .

Για το αριστερό μέρος πρέπει να είναι $\displaystyle{y\in (-1,1)}$ .Συνεπώς η μόνη θετική ακέραια τιμή που επαληθεύει το αριστερό μέλος είναι η τιμή $\displaystyle{1}$ η οποία επαληθεύει και το

δεξί μέλος.

Έτσι το μόνο ζεύγος θετικών ακεραίων που επαληθεύει το σύστημα είναι το ζεύγος $\displaystyle{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)}$ .

β)Εφόσον μιλάμε μόνο για θετικούς αριθμούς έχουμε $\displaystyle{a^{2}<b^{2}+2bc+c^{2}=(b+c)^{2}\Leftrightarrow a<b+c}$ .

Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λεμεσού 1990-91

Μέλη σε σύνδεση