Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

parmenides51 · #1

1. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{\phi (x)=2x-1}$
i) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\phi (0)+\phi (-1)+\phi (1)+\phi (-x)=x}$
ii) Να υπολογιστεί ο αριθμός $\displaystyle{\lambda}$ όταν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\lambda\phi \left(\frac{1}{2}\right)-2\phi \left(\frac{\lambda}{2}\right)=3-\frac{\lambda}{2}}$

2. Σ'ενα τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ κι επί της $\displaystyle{\Gamma A}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\Gamma E=\Gamma \Delta }$ .
Φέρνουμε και το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{ \Delta E}$ . Αν $\displaystyle{\widehat{A}=50^o}$ , να υπλογιστούν οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{\Delta_2}, \widehat{\Delta_3}, \widehat{\Gamma_1}, \widehat{\Gamma_2}, \widehat{E_1},\widehat{E_2} }$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ (βλ. σχήμα).

: pmdm 87 gg 2o.png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 1178 φορές

3. (α) Αν $\displaystyle{\alpha={\color{red}2}\sqrt{4-\sqrt{15}}}$ και $\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}}$ να υπολογίσετε την διαφορά $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2}$ . Τι παρατηρείτε;
(β) Αν $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha\ne\beta}$ και $\displaystyle{\alpha (\beta^2+1)= \beta(\alpha ^2+1)}$ να υπολογίσετε το γινόμενο $\displaystyle{\alpha\cdot \beta}$ .

4. Από τις παρακάτω προτάσεις μία είναι ψευδής και οι υπόλοιπες αληθείς.
(1) Ο Αντώνης είναι μεγαλύτερος από τον Βασίλη.
(2) Ο Βασίλης είναι μεγαλύτερος από τη Γεωργία.
(3) Η Γεωργία είναι μεγαλύτερη από τον Αντώνη.
(4) Η ηλικία του Βασίλη προστιθέμενη στην ηλικία της Γεωργίας ισούται με το διπλάσιο της ηλικίας του Αντώνη.

(α) Να βρείτε ποια είναι η ψευδής πρόταση.
(β) Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος;

edit
Συμπλήρωση στο 3α ενός αριθμού, ευχαριστώ τον Κώστα που το πρόσεξε

#2

Για το (4ο)

Οι προτάσεις διατυπώνονται συμβολικά:

$\displaystyle \begin{array}{l} \left( 1 \right):\;\;{\rm A} > {\rm B} \\ \left( 2 \right):\;\;{\rm B} > \Gamma \\ \left( 3 \right):\;\;\Gamma > {\rm A} \\ \left( 4 \right):\;\,{\rm B} + \Gamma = 2{\rm A} \\ \end{array}$

Οι (1), (2) έρχονται σε αντίφαση με την (3) και την (4),
άρα δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθείς.

Έστω (1) ψευδής, οπότε $\displaystyle {\rm B} > {\rm A}$ (5)

Τότε, από (3) και (5) θα είναι $\displaystyle {\rm B} + \Gamma > 2{\rm A}$ που έρχεται σε αντίθεση με την (4), άτοπον.

Οπότε (2) ψευδής, οπότε $\displaystyle \Gamma > {\rm B}$

Τότε $\displaystyle \Gamma > {\rm A} > {\rm B}$

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{\phi (x)=2x-1}$
i) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\phi (0)+\phi (-1)+\phi (1)+\phi (-x)=x}$
ii) Να υπολογιστεί ο αριθμός $\displaystyle{\lambda}$ όταν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\lambda\phi \left(\frac{1}{2}\right)-2\phi \left(\frac{\lambda}{2}\right)=3-\frac{\lambda}{2}}$

i) $\displaystyle{\phi (0)=2\cdot 0-1=0-1=-1}$
$\displaystyle{\phi (-1)=2\cdot (-1)-1=-2-1=-3}$
$\displaystyle{\phi (1)=2\cdot 1-1=2-1=1}$
$\displaystyle{\phi (-x)=2\cdot (-x)-1=-2x-1}$

οπότε $\displaystyle{\phi (0)+\phi (-1)+\phi (1)+\phi (-x)=x \Leftrightarrow -1-3+1-2x-1=x \Leftrightarrow -2x-x=3 -1\Leftrightarrow -3x=2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}}$

ii) $\displaystyle{\phi \left(\frac{1}{2}\right)=2\frac{1}{2}-1=1-1=0}$
$\displaystyle{\phi \left(\frac{\lambda}{2}\right)=2\frac{\lambda}{2}-1=\lambda-1}$

οπότε $\displaystyle{\lambda\phi \left(\frac{1}{2}\right)-2\phi \left(\frac{\lambda}{2}\right)=3-\frac{\lambda}{2}\Leftrightarrow \lambda \cdot 0 -2 (\lambda-1)=3-\frac{\lambda}{2}}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 0-2\lambda+2=3-\frac{\lambda}{2} \Leftrightarrow -2\cdot 2\lambda+2\cdot 2=2\cdot 3-2\cdot \frac{\lambda}{2} }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow -4\lambda+4=6-\lambda \Leftrightarrow -4\lambda+\lambda=6-4 \Leftrightarrow -3\lambda=2 \Leftrightarrow \lambda=-\frac{2}{3}}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:3. (β) Αν $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha\ne\beta}$ και $\displaystyle{\alpha (\beta^2+1)= \beta(\alpha ^2+1)}$ να υπολογίσετε το γινόμενο $\displaystyle{\alpha\cdot \beta}$ .

(β) $\displaystyle{\alpha (\beta^2+1)= \beta(\alpha ^2+1)\Leftrightarrow \alpha \beta^2+\alpha= \beta\alpha ^2+ \beta \Leftrightarrow \alpha \beta^2- \beta\alpha ^2+\alpha -\beta=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha \beta( \beta-\alpha )-1( \beta-\alpha )=0\Leftrightarrow (\alpha \beta -1)( \beta-\alpha )=0\Leftrightarrow \alpha \beta =1}$ διότι $\displaystyle{\alpha\ne\beta}$

parmenides51 έγραψε:3. (α) Αν $\displaystyle{\alpha=\sqrt{4-\sqrt{15}}}$ και $\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}}$ να υπολογίσετε την διαφορά $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2}$ . Τι παρατηρείτε;

(α) $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2=\sqrt{4-\sqrt{15}}^2-(\sqrt{6}-\sqrt{10})^2=4-\sqrt{15} -(\sqrt{6}^2-2\sqrt{6}\sqrt{10}+\sqrt{10}^2)}$
$\displaystyle{=4-\sqrt{15} -6+2\sqrt{60}-10=4-6-10-\sqrt{15} +2\sqrt{4}\sqrt{15}=-12-\sqrt{15} +4\sqrt{15}}$
$\displaystyle{=-12 +3\sqrt{15}=3(\sqrt{15} -4)=3(\sqrt{15} -\sqrt{16})<0}$ διότι $\displaystyle{\sqrt{15} <\sqrt{16}}$

Οπότε $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2<0 \Leftrightarrow \alpha^2<\beta^2 \Leftrightarrow |\alpha|<|\beta| }$

$\displaystyle{\alpha=\sqrt{4-\sqrt{15}}>0}$
$\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}<0}$ διότι $\displaystyle{\sqrt{6} <\sqrt{10}}$

Είναι λίγο ασαφές το ''τι παρατηρείτε''

kwpap · #5

parmenides51 έγραψε: 2. Σ'ενα τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ κι επί της $\displaystyle{\Gamma A}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\Gamma E=\Gamma \Delta }$ .
Φέρνουμε και το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{ \Delta E}$ . Αν $\displaystyle{\widehat{A}=50^o}$ , να υπλογιστούν οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{\Delta_2}, \widehat{\Delta_3}, \widehat{\Gamma_1}, \widehat{\Gamma_2}, \widehat{E_1},\widehat{E_2} }$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ (βλ. σχήμα).

Αφού το $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με $\hat{A} =90$ έχουμε ότι $\hat{B} =\hat{\Gamma }=65$
Επίσης έχουμε πως $\Delta \hat{\Gamma} B=25$ επειδή η $\Gamma \Delta$ είναι κάθετη στην

αλλά και πως $\Delta \hat{\Gamma} A=40$
Το τρίγωνο $\Gamma \Delta E$ είναι επίσης ισοσκελές άρα $\Gamma \hat{\Delta} E=\Gamma \hat{E} \Delta =70$
Ακόμη $E\hat{\Delta} A=20$ αφού είναι συμπληρωματική με την $\Gamma \hat{\Delta} E$ .
Τέλος η $A\hat{E}\Delta=110$ ως παραπληρωματική της $\Delta \hat{E}\Gamma$

Άρα: $\Delta _2=70$
$\Delta _3=20$
$\Gamma _1=25$
$\Gamma _2=40$
E_1=70

kostas_zervos · #6

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. (α) Αν $\displaystyle{\color{red}\alpha=\sqrt{4-\sqrt{15}}}$ και $\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}}$ να υπολογίσετε την διαφορά $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2}$ . Τι παρατηρείτε;
(α) $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2=\sqrt{4-\sqrt{15}}^2-(\sqrt{6}-\sqrt{10})^2=4-\sqrt{15} -(\sqrt{6}^2-2\sqrt{6}\sqrt{10}+\sqrt{10}^2)}$
$\displaystyle{=4-\sqrt{15} -6+2\sqrt{60}-10=4-6-10-\sqrt{15} +2\sqrt{4}\sqrt{15}=-12-\sqrt{15} +4\sqrt{15}}$
$\displaystyle{=-12 +3\sqrt{15}=3(\sqrt{15} -4)=3(\sqrt{15} -\sqrt{16})<0}$ διότι $\displaystyle{\sqrt{15} <\sqrt{16}}$

Οπότε $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2<0 \Leftrightarrow \alpha^2<\beta^2 \Leftrightarrow |\alpha|<|\beta| }$

$\displaystyle{\alpha=\sqrt{4-\sqrt{15}}>0}$
$\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}<0}$ διότι $\displaystyle{\sqrt{6} <\sqrt{10}}$

Είναι λίγο ασαφές το ''τι παρατηρείτε''

Το σωστό είναι $\alpha=\color{red}2\color{black}\sqrt{4-\sqrt{15}}$ (έχει τυπογραφικό λάθος το τεύχος του Ευκλείδη Β , αλλά μετά δίνει τη σωστή απάντηση.

parmenides51 · #7

kostas_zervos έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. (α) Αν $\displaystyle{\color{red}\alpha=\sqrt{4-\sqrt{15}}}$ και $\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}}$ να υπολογίσετε την διαφορά $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2}$ . Τι παρατηρείτε;

Το σωστό είναι $\alpha=\color{red}2\color{black}\sqrt{4-\sqrt{15}}$ (έχει τυπογραφικό λάθος το τεύχος του Ευκλείδη Β , αλλά μετά δίνει τη σωστή απάντηση.

με την νέα εκφώνηση

parmenides51 έγραψε:3. (α) Αν $\displaystyle{\alpha={\color{red}2}\sqrt{4-\sqrt{15}}}$ και $\displaystyle{\beta=\sqrt{6}-\sqrt{10}}$ να υπολογίσετε την διαφορά $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2}$ . Τι παρατηρείτε;

(α) $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2=2^2\sqrt{4-\sqrt{15}}^2-(\sqrt{6}-\sqrt{10})^2=4(4-\sqrt{15}) -(\sqrt{6}^2-2\sqrt{6}\sqrt{10}+\sqrt{10}^2)}$
$\displaystyle{=16-4\sqrt{15} -6+2\sqrt{60}-10=16-6-10-4\sqrt{15} +2\sqrt{4}\sqrt{15}=-4\sqrt{15} +4\sqrt{15}=0}$

οπότε $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2=0 \Leftrightarrow \alpha^2=\beta^2 \Leftrightarrow |\alpha|=|\beta| \Rightarrow \alpha=-\beta}$

επειδή $\displaystyle{\alpha>0,\beta<0}$ (αφού $\displaystyle{6<10 \Rightarrow \sqrt{6}<\sqrt{10} \Rightarrow \sqrt{6}-\sqrt{10}<0 \Rightarrow \beta<0}$ )

παρατηρούμε οτι οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι αντίθετοι

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1987

Μέλη σε σύνδεση