Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91

#1

Ημερομηνία Διεξαγωγής: 16 Δεκεμβρίου 1990.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.

1.

(α) Η ακολουθία $1,2,3,4,5,6,7,\ldots$ χωρίζεται σε ομάδες ως εξής: $(1),(2,3,4),(3,4,5,6,7),\ldots$ . Να δείξετε ότι το άθροισμα των όρων κάθε ομάδας είναι τέλειο τετράγωνο περιττού αριθμού.

(β) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση

$\displaystyle{ 2\left[ \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{5A}{2} \right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{5B}{2} \right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{5\Gamma}{2} \right)\right] = 3}$

να δείξετε ότι μια γωνία του είναι $\pi/5$ ή $3\pi/5$ .

2.

(α) Να δείξετε ότι

(i) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1}$
(ii) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 4^n + 5^n} = 5,}$

φυσικός αριθμός.

(β) Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί a,b,c,d

με $a\leqslant 5,b\leqslant 5,c\leqslant 5$ και a+4b+24c+120d = 826

.

3. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου αν η μία κορυφή του είναι το σημείο (1,3)

και οι εξισώσεις δυο διαμέσων του είναι $(\varepsilon_1): y-1=0$ και $(\varepsilon_2): x-2y+1=0$ .

4. Δίνεται το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ ( $\hat{B} = 90^{\circ}$ ). Έστω Γ το σημείο της ΑΔ ώστε οι $\tan{A},\tan{B},\tan{\Gamma}$ να αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Να αποδείξετε ότι

(α) $\displaystyle{ \Gamma \Delta = \frac{A \Delta}{3}}$ και

(β) $\displaystyle{ E(AB\Gamma) = \beta^2 - \alpha^2 = \frac{\gamma^2}{3}.}$

5. Έστω Ρ εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ. Από το Ρ φέρουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου που χωρίζουν τούτο σε τρία τρίγωνα και τρία παραλληλόγραμμα. Αν E_1,E_2,E_3

τα εμβαδά των τριών τριγώνων, Z_1,Z_2,Z_3

τα εμβαδά των τριών παραλληλογράμμων και

το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε ότι

(α) $\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2} + \sqrt{E_3} = \sqrt{E}$ και

(β) 8E_1E_2E_3 = Z_1Z_2Z_3

.

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού στο τρίτο θέμα. (Στον ορισμό της $\varepsilon_2$ .)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BAGGP93 · #2

Demetres έγραψε:

(α) Να δείξετε ότι

(i) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1}$
(ii) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 4^n + 5^n} = 5,}$

φυσικός αριθμός.

.

Θα αποδείξουμε γενικά ότι για κάθε $\displaystyle{a>1}$ είναι $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1}$ .

Απόδειξη.

Έστω $\displaystyle{a>1}$ .

Τότε,για κάθε $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ ισχύει,

$\displaystyle{\sqrt[n]{a}>1}$ .

Συνεπώς,για κάθε $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ έχουμε

$\displaystyle{\sqrt[n]{a}=1+k_{n},k_{n}>0}$ ,δηλαδή

$\displaystyle{a=(1+k_{n})^n\stackrel{(\ast)}{\geq} 1+nk_{n}$

ή

$\displaystyle{k_n\leq \frac{a-1}{n}$ .

Επειδή,

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\frac{a-1}{n}=0}$

έχουμε και

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}k_{n}=0}$

Συνεπώς, από την άλγεβρα των ορίων είναι,

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=\lim_{n\to \infty}(1+k_{n})=1}$

Μένει να αποδείξουμε την $\displaystyle{(\ast)}$ που είναι η ανισότητα Bernoulli.

$\displaystyle{(b+1)^n\geq 1+nb\ \forall n\in\mathbb{N},\forall b>-1}$ .

Απόδειξη.

Έστω $\displaystyle{b>-1}$

Για $\displaystyle{n=1}$ έχουμε $\displaystyle{(b+1)^n=b+1=1+1\cdot b}$ .

Υποθέτουμε ότι η αποδεικτέα ισχύει για $\displaystyle{n\in\mathbb{N}$ και θα αποδείξουμε την ισχύ της και για το $\displaystyle{n+1}$ .

Πράγματι,

$\displaystyle{(b+1)^{n+1}=(b+1)^n\cdot (b+1)\geq (1+nb)(b+1)=b+1+nb^2+nb=nb^2+1+(n+1)b\geq 1+(n+1)b}$

Επαγωγικά λοιπόν, έχουμε το ζητούμενο.

(α)ii.

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+4^n+5^n=}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{5^n\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n+1\right)}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to \infty}5\sqrt[n]{\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n+1\right)}$

$\displaystyle{=5\cdot \sqrt[n]{0+0+1}}$

$\displaystyle{=5}$ .

Μένει να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}a^n=0}$ για $\displaystle{0<a<1}$ .

Για τον σκοπό αυτό, έστω $\displaystyle{a\in\left(0,1\right)}$ .

Τότε,

$\displaystyle{a=\frac{1}{m}}$ για κάποιο $\displaystyle{m>1}$ .

Έτσι,

$\displaystyle{a^n=\frac{1}{m^n}}$

με

$\displaystyle{m^n=[1+(m-1)]^n\geq 1+n(m-1)\to \infty}$

Άρα,

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}a^n=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{m^n}=0}$

#3

Λίγο συντομότερα για το

$\displaystyle{\rm \lim \sqrt[n]{3}=1.}$

Το $\displaystyle{\rm \sqrt[n]{3}>1}$ είναι φανερό.

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{\rm \frac{\underbrace{1+1+\cdots 1}_{(n-1)-\textnormal{\gr προσθετέοι}}+3}{n}>\sqrt[n]{3}\implies }$

$\displaystyle{\boxed{\rm \sqrt[n]{3}<1+\frac{2}{n}}}$

Άρα

$\displaystyle{1<\sqrt[n]{3}<1+\frac{2}{n}.}$

Το ζητούμενο έπεται.

Atemlos · #4

Για το 2 β)

Ο 826

γράφεται σαν 826=4*206+2

και η ποσότητα a+4*(b+6c+30d)

έτσι έχουμε τα εξής

a=2

και

η

και συνεπώς b=2

,

Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91

Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91

Μέλη σε σύνδεση