Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91
Ημερομηνία Διεξαγωγής: 16 Δεκεμβρίου 1990.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.
1.
(α) Η ακολουθία χωρίζεται σε ομάδες ως εξής: . Να δείξετε ότι το άθροισμα των όρων κάθε ομάδας είναι τέλειο τετράγωνο περιττού αριθμού.
(β) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
να δείξετε ότι μια γωνία του είναι ή .
2.
(α) Να δείξετε ότι
(i)
(ii)
φυσικός αριθμός.
(β) Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί με και .
3. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου αν η μία κορυφή του είναι το σημείο και οι εξισώσεις δυο διαμέσων του είναι και .
4. Δίνεται το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ (). Έστω Γ το σημείο της ΑΔ ώστε οι να αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Να αποδείξετε ότι
(α) και
(β)
5. Έστω Ρ εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ. Από το Ρ φέρουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου που χωρίζουν τούτο σε τρία τρίγωνα και τρία παραλληλόγραμμα. Αν τα εμβαδά των τριών τριγώνων, τα εμβαδά των τριών παραλληλογράμμων και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε ότι
(α) και
(β) .
Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού στο τρίτο θέμα. (Στον ορισμό της .)
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.
1.
(α) Η ακολουθία χωρίζεται σε ομάδες ως εξής: . Να δείξετε ότι το άθροισμα των όρων κάθε ομάδας είναι τέλειο τετράγωνο περιττού αριθμού.
(β) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
να δείξετε ότι μια γωνία του είναι ή .
2.
(α) Να δείξετε ότι
(i)
(ii)
φυσικός αριθμός.
(β) Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί με και .
3. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου αν η μία κορυφή του είναι το σημείο και οι εξισώσεις δυο διαμέσων του είναι και .
4. Δίνεται το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ (). Έστω Γ το σημείο της ΑΔ ώστε οι να αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Να αποδείξετε ότι
(α) και
(β)
5. Έστω Ρ εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ. Από το Ρ φέρουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου που χωρίζουν τούτο σε τρία τρίγωνα και τρία παραλληλόγραμμα. Αν τα εμβαδά των τριών τριγώνων, τα εμβαδά των τριών παραλληλογράμμων και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε ότι
(α) και
(β) .
Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού στο τρίτο θέμα. (Στον ορισμό της .)
Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91
.Demetres έγραψε:
(α) Να δείξετε ότι
(i)
(ii)
φυσικός αριθμός.
Θα αποδείξουμε γενικά ότι για κάθε είναι .
Απόδειξη.
Έστω .
Τότε,για κάθε ισχύει,
.
Συνεπώς,για κάθε έχουμε
,δηλαδή
ή
.
Επειδή,
έχουμε και
Συνεπώς, από την άλγεβρα των ορίων είναι,
Μένει να αποδείξουμε την που είναι η ανισότητα Bernoulli.
.
Απόδειξη.
Έστω
Για έχουμε .
Υποθέτουμε ότι η αποδεικτέα ισχύει για και θα αποδείξουμε την ισχύ της και για το .
Πράγματι,
Επαγωγικά λοιπόν, έχουμε το ζητούμενο.
(α)ii.
.
Μένει να αποδείξουμε ότι για .
Για τον σκοπό αυτό, έστω .
Τότε,
για κάποιο .
Έτσι,
με
Άρα,
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91
Λίγο συντομότερα για το
Το είναι φανερό.
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα
Το ζητούμενο έπεται.
Το είναι φανερό.
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα
Το ζητούμενο έπεται.
Μάγκος Θάνος
Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λευκωσίας 1990-91
Για το 2 β)
Ο γράφεται σαν και η ποσότητα έτσι έχουμε τα εξής
και η και συνεπώς , ,
Ο γράφεται σαν και η ποσότητα έτσι έχουμε τα εξής
και η και συνεπώς , ,
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες