Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

parmenides51 · #1

1. Θεωρούμε τμήμα $\displaystyle{AB}$ και σημείο του $\displaystyle{\Gamma}$ . Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma M}$ ( $\displaystyle{\widehat{M}=90^o}$ ).
Έστω $\displaystyle{O}$ το σημείο που το τμήμα $\displaystyle{AM}$ τέμνεται από την ευθεία που περνά από το $\displaystyle{\Gamma}$ και είναι παράλληλη στην $\displaystyle{BM}$ .
Να δείξετε οτι το σημείο $\displaystyle{O}$ ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα.

2. Θεωρούμε $\displaystyle{5}$ -γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός.
Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς.

3. Για ποίες τιμές του $\displaystyle{\gamma}$ υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ , ώστε για κάθε τιμή του $\displaystyle{\beta}$ το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha x+ 3y=2\beta^2\\ 3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2 \end{matrix}\right}}$ να έχει λύση;

4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2= \nu (\nu -1)}$ όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός, $\displaystyle{\nu \ge 2}$ .

KARKAR · #2

parmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε τμήμα $\displaystyle{AB}$ και σημείο του $\displaystyle{\Gamma}$ . Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma M}$ ( $\displaystyle{\widehat{M}=90^o}$ ).
Έστω $\displaystyle{O}$ το σημείο που το τμήμα $\displaystyle{AM}$ τέμνεται από την ευθεία που περνά από το $\displaystyle{\Gamma}$ και είναι παράλληλη στην $\displaystyle{BM}$ .
Να δείξετε οτι το σημείο $\displaystyle{O}$ ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα.

: 1986.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές

Προφανώς το

κινείται σε κύκλο , διαμέτρου

και κέντρου

(το μέσο της

) .
Φέρω τμήμα OL//MK

. Είναι : $\displaystyle\frac{AC}{AB}=\frac{AO}{AM}=\frac{OL}{MK}=k\Leftrightarrow OL=k\cdot MK=k\frac{CB}{2}$ .

(Κύκλος (ολόκληρος) με κέντρο

και ακτίνα $\displaystyle k\frac{CB}{2}$ )

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2= \nu (\nu -1)}$ όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός, $\displaystyle{\nu \ge 2}$ .

εδώ

΄
Υ.Γ. Άλλες άλυτες εδώ

kostas_zervos · #4

Για να μην μένουν άλυτες...
Για το 2.

parmenides51 έγραψε:Θεωρούμε \displaystyle{5}-γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός.
Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς.

: ask23.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Αν $a\;,\;b\;,\;c\;.\;,\;d\;,\;e\in Z$ τα μήκη των πλευρών του και $a_1\;,\;1_2\;,\;b_1\;,\;b_2\;,\;c_1\;,\;c_2\;.\;,\;d_1\;,\;d_2\;,\;e_1\;,\;e_2$ τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής αντίστοιχα (όπως στο σχήμα) , τότε $a_1=e_2\;,\;a_2=b_1\;,\;b_2=c_1\;,\;c_2=d_1\;,\;d_2=e_1$ (1).

Είναι a+b+c+d+e=2k

, όπου $k\in Z$ , άρα , λόγω της (1) , $2a_1+2b_1+2c_1+2d_1+2e_1=2k \Leftrightarrow a_1+b_1+c_1+d_1+e_1=k$ (2).

Αλλά a_1+b_1=a_1+a_2=a

και

, επομένως $e_1=k-a-c\in Z$ . Όμοια και τα υπόλοιπα.

#5

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 29, 2012 6:47 pm
3. Για ποίες τιμές του $\displaystyle{\gamma}$ υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ , ώστε για κάθε τιμή του $\displaystyle{\beta}$ το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha x+ 3y=2\beta^2\\ 3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2 \end{matrix}\right}}$ να έχει λύση;

Επαναφορά!

#6

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2024 11:17 pm

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 29, 2012 6:47 pm
3. Για ποίες τιμές του $\displaystyle{\gamma}$ υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ , ώστε για κάθε τιμή του $\displaystyle{\beta}$ το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha x+ 3y=2\beta^2\\ 3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2 \end{matrix}\right}}$ να έχει λύση;
Επαναφορά!

Ίσως χάνω κάτι ή το θέμα δεν έχει διατυπωθεί σωστά ή δεν έχει αποδοθεί σωστά: Αν πάρουμε $\alpha$ τέτοιο ώστε η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, π.χ. $\alpha =1$ , τότε το $\alpha$ αυτό κάνει για ΟΛΑ τα $\gamma$ , και όλα τα $\beta$ .

Με άλλα λόγια, για οποιοδήποτε $\gamma$ υπάρχει $\alpha$ , το $\alpha = 1$ κάνει για όλα, τέτοιο ώστε το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+ 3y=2\beta^2\\ 3 x+ y=\beta\gamma+2 \end{matrix}\right}}$

έχει λύση για κάθε $\displaystyle{\beta}$ .

Απόδειξη; Προφανής. Μπορώ άλλωστε να γράψω την λύση συναρτήσει των $\beta, \gamma$ . Είναι (λύνω) η

$x= \dfrac {-2\beta ^2 +3\beta \gamma +6}{8}, \, y= \dfrac {6\beta ^2 -\beta \gamma -2 }{8}$

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Μέλη σε σύνδεση