Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

parmenides51 · #1

1. Ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AΒ\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{ \Delta, E}$ αντίστοιχα και την προέκταση της $\displaystyle{{{\color{red}B}\Gamma}$ στο $\displaystyle{Z}$ .

Αν $\displaystyle{\frac{A\Delta}{\Delta B}=\kappa, \,\,\, \frac{\Gamma E}{EA}=\lambda}$ , να υπολογίσετε τον λόγο $\displaystyle{\frac{Z\Gamma}{ZB}}$ .

2. Έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+24-10\sqrt{x-1}}}$ .
Να βρεις το μέγιστο πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ και τα διαστήματα στα οποία η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.

3. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x^4+4x^3-8x=\alpha}$ με $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ .

4. Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα που το αριστερό του άκρο το έχουμε συμβολίσει με $\displaystyle{0}$ και το δεξί του με $\displaystyle{1}$ .
Χωρίζουμε με σημεία το τμήμα σε μικρότερα τμήματα και συμβολίζουμε τα σημεία με τυχαίο τρόπο με τους αριθμούς $\displaystyle{0,1}$ .
Καθένα από τα μικρά τμήματα που τα άκρα του έχουν αριθμούς $\displaystyle{0,1}$ τα ονομάζουμε <<καλά>>, ενώ όσα έχουν αριθμούς $\displaystyle{0,0}$ είτε $\displaystyle{1,1}$ <<κακά>>.
Να δείξετε οτι όπως και να τοποθετήσουμε τους αριθμούς $\displaystyle{0,1}$ στα άκρα των μικρών τμημάτων, το πλήθος των <<καλών>> τμημάτων είναι περιττό.

(Στη μνήμη του μεγάλου γερμανοαμερικάνου μαθηματικού E.Sperner (1905-1980) για την συμπλήρωση 10 χρόνων από τον θάνατό του.)

edit
Συμπλήρωση γράμματος στο 1ο

#2

3. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x^4+4x^3-8x=\alpha}$ με $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ .

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

x^4+4x^3+4x^2-4x^2-8x-4=a-4

$\left[\left(x+1 \right)^2-1 \right]^2-4(x+1)^2=a-4$

$\left(x+1 \right)^4-6(x+1)^2+9=a+4$

$\left[\left(x+1 \right)^2-3 \right]^2=a+4$

$\bullet$ Αν a<-4

η εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς.

$\bullet$ Αν $a\geq -4$ τότε $\left(x+1 \right)^2=3\pm \sqrt{a+4}$

Για a>5

έχουμε δύο πραγματικές λύσεις, τις $x=-1\pm \sqrt{\sqrt{a+4}+3}$ .

Για $-4\leq a\leq 5$ έχουμε άλλες δύο, τις $x=-1\pm \sqrt{3-\sqrt{a+4}}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+24-10\sqrt{x-1}}}$ .
Να βρεις το μέγιστο πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ και τα διαστήματα στα οποία η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.

Είναι $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {\left( {x - 1} \right) - 10\sqrt {x - 1} + 25}$ , έτσι με $x \ge 1$ η συνάρτηση γίνεται:

$f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 5} \right)}^2}}$ και αφού ${\left( {\sqrt {x - 1} - 5} \right)^2} \ge 0$ για κάθε $x \ge 1$ το πεδίο ορισμού της είναι $A = \left[ {1, + \infty } \right)$ .

Με $x \ge 1$ η

γίνεται: $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \left| {\sqrt {x - 1} - 5} \right|$

Έτσι με $\sqrt {x - 1} - 5 > 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} > 5 \Leftrightarrow x > 26$ είναι $f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 1} - 5$

Με $\sqrt {x - 1} - 5 \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \le 5 \Leftrightarrow x \le 26$ είναι $f\left( x \right) = 5$ σταθερή.

Δηλαδή η

είναι σταθερή αν $x \in \left[ {1,26} \right]$

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα που το αριστερό του άκρο το έχουμε συμβολίσει με $\displaystyle{0}$ και το δεξί του με $\displaystyle{1}$ .
Χωρίζουμε με σημεία το τμήμα σε μικρότερα τμήματα και συμβολίζουμε τα σημεία με τυχαίο τρόπο με τους αριθμούς $\displaystyle{0,1}$ .
Καθένα από τα μικρά τμήματα που τα άκρα του έχουν αριθμούς $\displaystyle{0,1}$ τα ονομάζουμε <<καλά>>, ενώ όσα έχουν αριθμούς $\displaystyle{0,0}$ είτε $\displaystyle{1,1}$ <<κακά>>.
Να δείξετε οτι όπως και να τοποθετήσουμε τους αριθμούς $\displaystyle{0,1}$ στα άκρα των μικρών τμημάτων, το πλήθος των <<καλών>> τμημάτων είναι περιττό.

(Στη μνήμη του μεγάλου γερμανοαμερικάνου μαθηματικού E.Sperner (1905-1980) για την συμπλήρωση 10 χρόνων από τον θάνατό του.)

Προφανές! Ας γράψουμε όμως λίγα παραπάνω λόγια:

Έστω $x_1,\ldots,x_n$ τα ενδιάμεσα σημεία με αυτήν την σειρά από τα αριστερά στα δεξιά. Έστω επίσης x_0

το αριστερό άκρο που βάλαμε τον αριθμό

και $x_{n+1}$ το δεξί άκρο που βάλαμε τον αριθμό

. Θα δείξουμε ότι για κάθε $m \in \{1,2,\ldots,n+1\}$ ο αριθμός των καλών τμημάτων $[x_{i-1},x_{i}]$ με $i \leqslant m$ είναι περιττός αν x_m = 1

και άρτιος αν x_m = 0

. (Εφαρμόζοντας τον ισχυρισμό για m=n+1

παίρνουμε το ζητούμενο.) Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό επαγωγικά. Για m=1

είναι άμεσο. Αν είναι γνωστό για m=k

τότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο και για m=k+1

. (Ελέγχουμε δύο περιπτώσεις: Αν $x_m = x_{m+1}$ δεν έχουμε άλλο καλό τμήμα. Οπότε ο αριθμός των καλών τμημάτων εξακολουθεί να είναι περιττός/άρτιος ανάλογα αν ο $x_{m+1}$ είναι

ή

αντίστοιχα. Αν $x_m \neq x_{m+1}$ έχουμε ακριβώς ένα επιπλέον καλό τμήμα. Οπότε ο αριθμός των καλών τμημάτων γίνεται από άρτιος περιττός αν $x_m=0,x_{m+1}=1$ και από περιττός άρτιος αν $x_m=1,x_{m+1}=0$ .)

Ας αναφέρουμε όμως και το θεώρημα του Sperner:

Το μονοδιάστατο είναι αυτό που αναφέρθηκε.

Στις δύο διαστάσεις ξεκινάμε με ένα τρίγωνο στο οποίο βάζουμε στις κορυφές τους αριθμούς 0,1

και

. Μετά το χωρίζουμε σε άλλα μικρά τρίγωνα με οποιονδήποτε τρόπο και βάζουμε στις κορυφές των τριγώνων τους αριθμούς 0,1

και

με οποιονδήποτε τρόπο αρκεί να ικανοποιειούνται τα πιο κάτω:
- Στην πλευρά του μεγάλου τριγώνου με κορυφές τα

και

όλα τα άλλα σημεία έχουν αριθμό έιτε

είτε

(αλλά όχι

)
- Στην πλευρά του μεγάλου τριγώνου με κορυφές τα

και

όλα τα άλλα σημεία έχουν αριθμό έιτε

είτε

- Στην πλευρά του μεγάλου τριγώνου με κορυφές τα

και

όλα τα άλλα σημεία έχουν αριθμό έιτε

είτε

Ονομάζουμε ένα μικρό τρίγωνο καλό αν στις τρεις κορυφές του μπορούμε να βρούμε και τα τρία χρώματα. Τότε υπάρχει περιττός αριθμός καλών τριγώνων.
[Διευκρίνηση κοιτάζουμε μόνο τα «μικρά» τρίγωνα όπως ακριβώς και στην μονοδιάστατη περίπτωση κοιτάζαμε μόνο τα «μικρά» τμήματα $[x_i,x_{i+1}]$ και όχι τα μεγαλύτερα π.χ. το [x_5,x_7]

που έχει ενδιάμεσα την κορυφή x_6

.]

Στις τρεις διαστάσεις ξεκινάμε από πυραμίδα, βάζουμε στις τέσσερις κορυφές τα 0,1,2,3

, την χωρίζουμε σε μικρές πυραμίδες με οποιονδήποτε τρόπο, βάζουμε στις κορυφές του τα 0,1,2,3

με οποιονδήποτε τρόπο αρκεί
- Στην πλευρά της πυραμίδας με κορυφές τα

και

όλα τα σημεία έχουν αριθμό είτε

είτε

.
- Στην έδρα της πυραμίδας με κορυφές τα i,j

και

όλα τα σημεία έχουν αριθμό είτε

είτε

.
Ονομάζουμε μια μικρή πυραμίδα καλή αν στις τέσσερις κορυφές της μπορούμε να βρούμε και τα τέσσερα χρώματα. Τότε υπάρχει περιττός αριθμός καλών πυραμίδων.

Κ.ο.κ. για μεγαλύτερες διαστάσεις.

Tolis97 · #5

parmenides51 έγραψε:1. Ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AΒ\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{ \Delta, E}$ αντίστοιχα και την προέκταση της $\displaystyle{{{\color{red}B}\Gamma}$ στο $\displaystyle{Z}$ .

Αν $\displaystyle{\frac{A\Delta}{\Delta B}=\kappa, \,\,\, \frac{\Gamma E}{EA}=\lambda}$ , να υπολογίσετε τον λόγο $\displaystyle{\frac{Z\Gamma}{ZB}}$ .

Από Θ.Μενελάου έχουμε: $\dfrac{A \Delta}{ \Delta B} \cdot \dfrac{BZ}{Z \Gamma} \cdot \dfrac{\Gamma E}{EA} = 1 \Rightarrow \fbox{\dfrac{BZ}{Z \Gamma} = \kappa \lambda}$

Antonis_Z · #6

Λίγο διαφορετικά για το 4ο.

Παρατηρώ πως αν από τη διάταξη των άσσων και των μηδενικών διαγράψω έναν άσσο(εκτός του δεξιού-δεξιού),τότε ο αριθμός των "καλών" τμημάτων μειώνεται κάτα άρτιο αριθμό(0 ή 2).Έτσι αν διαγράψω όλους τους άσσους(εκτός του δεξιού-δεξιού) θα έχω αφαιρέσει

(

θετικός ακέραιος) "καλά" τμήματα.Λαμβάνοντας υπόψιν και το ένα "καλό" τμήμα που έχει παραμείνει στη διάταξη(από τον ακραίο άσσο),έχω συνολικά 2k+1

καλά τμήματα(περιττός αριθμός).

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1990

Μέλη σε σύνδεση