ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ και εγγεγραμμένο σε αυτό τετράπλευρο $\displaystyle{ K\Lambda MN}$ με $\displaystyle{K\in AB, \Lambda \in B\Gamma , M \in \Gamma \Delta , N \in \Delta A}$ .
Αν από τα τετράπλευρα $\displaystyle{ K\Lambda MN}$ υπάρχει ένα με ελάχιστη περίμετρο, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{(AB)(\Gamma \Delta )+(B\Gamma )(A\Delta )=(A\Gamma )(B\Delta )}$ .

2. Αν $\displaystyle{\nu \ge 1994}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left(1-\frac{1}{1995^3}\right)\left(1-\frac{1}{1996^3}\right)\cdot ... \cdot \left(1-\frac{1}{\nu^3}\right)>\frac{1994}{1995}}$ .

3. Να προσδιορίσετε τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{x,y}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{x^{x+1}+ y^{y+1}}$ είναι πρώτος.

4. Γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι είναι τοποθετημένοι $\displaystyle{25}$ μαθητές. Σε κάθε μαθητή έχουν δοθεί $\displaystyle{2}$ κάρτες.
Σε κάθε μια από τις $\displaystyle{50}$ κάρτες είναι γραμμένος ένας από τους αριθμούς $\displaystyle{1,2,3,...,25}$ ώστε κάθε αριθμός να είναι γραμμένος σε δυο κάρτες.
Μόλις κτυπάει ένα κουδούνι, κάθε μαθητής δίνει στον μαθητή που κάθεται δεξιά του,
εκείνη από τις δυο κάρτες που έχει γραμμένο τον μικρότερο αριθμό, από τους $\displaystyle{1,2,3,...,25}$ .
Αν κάποιος μαθητής έχει δυο κάρτες με τον ίδιο αριθμό η διαδικασία σταματά.
Να αποδείξετε οτι αργά ή γρήγορα η διαδικασία θα σταματήσει.

#2

parmenides51 έγραψε:2. Αν $\displaystyle{\nu \ge 1994}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left(1-\frac{1}{1995^3}\right)\left(1-\frac{1}{1996^3}\right)\cdot ... \cdot \left(1-\frac{1}{\nu^3}\right)>\frac{1994}{1995}}$ .

Κάθε όρος του γινομένου είναι της μορφής $1-\dfrac{1}{k^3}=\left(1-\dfrac{1}{k}\right)\left(1+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k^2}\right)>\left(1-\dfrac{1}{k}\right)\left(1+\dfrac{1}{k}\right)$

Άρα

$\begin{aligned}\left(1-\dfrac{1}{1995^3}\right)\left(1-\dfrac{1}{1996^3}\right)\cdots \left(1-\dfrac{1}{n^3}\right) &> \left(1-\dfrac{1}{1995}\right)\left(1-\dfrac{1}{1996}\right)\cdots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{1995}\right)\left(1+\dfrac{1}{1995}\right)\cdots \left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\ &= \dfrac{1994}{1995}\cdot\dfrac{1995}{1996}\cdot\dfrac{1996}{1997}\cdots \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{1996}{1995}\cdot \dfrac{1997}{1996}\cdots \dfrac{n+1}{n} \\ &= \dfrac{1994(n+1)}{1995n}>\dfrac{1994}{1995}\end{aligned}$

#3

parmenides51 έγραψε:3. Να προσδιορίσετε τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{x,y}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{x^{x+1}+ y^{y+1}}$ είναι πρώτος.

Αν οι

ήταν και οι δύο περιττοί ή και οι δύο άρτιοι τότε ο αριθμός $x^{x+1}+ y^{y+1}$ θα ήταν άρτιος πρώτος και μεγαλύτερος του 2, άτοπο.

Άρα ένας από τους x,y

είναι άρτιος πρώτος δηλαδή είναι το 2.

Έστω x=2

(και

περιττός). Τότε ο αριθμός $2^3+y^{y+1}$ θα ήταν πρώτος.

Αν ήταν $y\equiv \pm1 \pmod{3}$ τότε επειδή ο y+1

είναι άρτιος, άρα $y^{y+1}\equiv 1\pmod{3}$ κι έτσι $8+y^{y+1}\equiv 9\equiv 0\pmod{3}$ , άτοπο διότι αφενός ο αριθμός $8+y^{y+1}$ είναι πρώτος και είναι μεγαλύτερος του 3 άρα δε μπορεί να διαιρείται από το 3.

Άρα $y\equiv 0\pmod{3}$ κι επειδή ο

είναι πρώτος είναι y=3

. Πράγματι ο αριθμός 2^3+3^4=89

είναι πρώτος. Άρα έχουμε τη λύση (x,y)=(2,3)

και λόγω συμμετρίας έχουμε και την (x,y)=(3,2)

.

Αλέξανδρος

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι είναι τοποθετημένοι $\displaystyle{25}$ μαθητές. Σε κάθε μαθητή έχουν δοθεί $\displaystyle{2}$ κάρτες.
Σε κάθε μια από τις $\displaystyle{50}$ κάρτες είναι γραμμένος ένας από τους αριθμούς $\displaystyle{1,2,3,...,25}$ ώστε κάθε αριθμός να είναι γραμμένος σε δυο κάρτες.
Μόλις κτυπάει ένα κουδούνι, κάθε μαθητής δίνει στον μαθητή που κάθεται δεξιά του,
εκείνη από τις δυο κάρτες που έχει γραμμένο τον μικρότερο αριθμό, από τους $\displaystyle{1,2,3,...,25}$ .
Αν κάποιος μαθητής έχει δυο κάρτες με τον ίδιο αριθμό η διαδικασία σταματά.
Να αποδείξετε οτι αργά ή γρήγορα η διαδικασία θα σταματήσει.

Έστω

ο μέγιστος αριθμός ώστε σε κάποιο βήμα της διαδιακασίας να μετακινηθούν ταυτόχρονα όλες οι κάρτες που έχουν γραμμένο αριθμό μικρότερο ή ίσο από το

. Αναγκαστικά σε αυτό το βήμα κάθε μία από αυτές τις

κάρτες θα ανήκει σε διαφορετικό άτομο. Μπορώ να υποθέσω ότι αυτή είναι και η αρχική διάταξη των καρτών

Αφού αυτές οι

κάρτες ανήκουν σε διαφορετικά άτομα, στο επόμενο βήμα θα ανήκουν πάλι σε διαφορετικά άτομα που αναγκαστικά η άλλη τους κάρτα θα έχει γραμμένο ένα μεγαλύτερο αριθμό. Άρα σε κάθε βήμα αυτές οι

κάρτες θα μετακινούνται. Θα δείξω τώρα ότι υπάρχει βήμα όπου μια από τις κάρτες με αριθμό k+1

θα μετακινηθεί. Έστω μια από αυτές τις κάρτες και έστω ότι δεν μετακινείται ποτέ. Ανήκει λοιπόν πάντοτε στο ίδιο άτομο. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε βήμα αυτό το άτομο είτε θα κρατά την άλλη κάρτα με αριθμό k+1

οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε, είτε θα κρατά πάντα μια από τις

κάρτες με αριθμό μικρότερο του k+1

. Έχουμε όμως ήδη δει ότι αυτές οι κάρτες μετακινούνται συνέχεια μία θέση κάθε φορά και επειδή $2k \neq 25$ σε κάθε βήμα υπάρχουν άτομα που δεν έχουν καμία από αυτές τις κάρτες. Στο επόμενο βήμα όμως οι διπλανοί τους στα δεξιά δεν έχουν καμία από αυτές τις κάρτες. Οπότε αναγκαστικά σε κάποιο από τα βήματα αυτός που κατέχει την κάρτα με αριθμό k+1

δεν θα έχει καμία από αυτές τις κάρτες και άρα αναγκαστικά στο επόμενο βήμα θα την μετακινήσει.

Με την ίδια λογική όμως αυτή η κάρτα επίσης θα μετακινείται από κει και πέρα. Επομένως αναγκαστικά η άλλη κάρτα με αριθμό k+1

θα παραμένει ακίνητη (από τον ορισμό του

). Όμως η πρώτη κάρτα με αριθμό k+1

αλλάζει χέρι κάθε φορά πηγαίνοντας στον επόμενο μαθητή από δεξιά οπότε σε κάποιο βήμα θα υπάρχει μαθητής που θα πάρει στα χέρια του και τις δύο κάρτες με αριθμό k+1

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση