Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{4\,x\,4}$ πίνακας με στοιχεία ακεραίους αριθμούς.
Να αποδειχτεί οτι αν η ορίζουσα $\displaystyle{D}$ του πίνακα $\displaystyle{A}$ είναι περιττός αριθμός, τότε μεταξύ των ακεραίων υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{3}$ άρτιοι αριθμοί.

2. Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} n^{-n}(1+2^2+3^3+...+n^n)}$ .

3. Στο επίπεδο δίνονται $\displaystyle{6}$ διαφορετικά σημεία $\displaystyle{A_1, A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}$ .
Θεωρούμε τις ευθείες που ορίζονται από το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{A_iA_jA_k}$
και το βαρύκεντρο του τριγώνου που σχηματίζεται από τα υπόλοιπα σημεία ( $\displaystyle{\{i,j,k\}\subset \{1,2,3,4,5,6\}}$ ).
Αν τα δυο βαρύκεντρα συμπίπτουν, θεωρούμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το κοινό βαρύκεντρο.
Να αποδειχτεί οτι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

4. Να αποδειχτεί οτι για οποιαδήποτε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}_+, y \in \mathbb{R}_+}$ ισχύει $\displaystyle{[2x]+[2y]\ge [x]+[y]+[x+y]}$ .
( $\displaystyle{[x]}$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x}$ )

#2

parmenides51 έγραψε: 2. Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} n^{-n}(1+2^2+3^3+...+n^n)}$ .

Ας είναι

$\displaystyle{\rm a_n=\frac{1+2^2+3^3+\cdots +n^n}{n^n},~n\geq 1.}$

Είναι φανερό ότι

$\displaystyle{a_n\geq 1,~\forall n\geq 1.}$

Επίσης είναι

$\displaystyle{\rm a_n<\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{n^n}=\frac{n\frac{n^n-1}{n-1}}{n^n}=\frac{1-\frac{1}{n^n}}{1-\frac{1}{n}}\to 1.}$

Επομένως είναι $\displaystyle{\rm \lim a_n=1.}$

#3

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{4\,x\,4}$ πίνακας με στοιχεία ακεραίους αριθμούς.
Να αποδειχτεί οτι αν η ορίζουσα $\displaystyle{D}$ του πίνακα $\displaystyle{A}$ είναι περιττός αριθμός, τότε μεταξύ των ακεραίων υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{3}$ άρτιοι αριθμοί.

Αν υπήρχαν δύο ή λιγότεροι άρτιοι αριθμοί τότε θα υπήρχαν δυο στήλες του

, έστω η πρώτη και η δεύτερη οι οποίες θα είχαν μόνο περιττούς αριθμούς. Έστω

ο πίνακας που παίρνουμε από τον

αν αφαιρέσουμε την δεύτερη στήλη από την πρώτη. Τότε $\det(B) = \det(A)$ . Όμως η πρώτη στήλη του

έχει μόνο άρτιους αριθμούς και επομένως η ορίζουσα του

και άρα και του

είναι άρτια, άτοπο.

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Στο επίπεδο δίνονται $\displaystyle{6}$ διαφορετικά σημεία $\displaystyle{A_1, A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}$ .
Θεωρούμε τις ευθείες που ορίζονται από το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{A_iA_jA_k}$
και το βαρύκεντρο του τριγώνου που σχηματίζεται από τα υπόλοιπα σημεία ( $\displaystyle{\{i,j,k\}\subset \{1,2,3,4,5,6\}}$ ).
Αν τα δυο βαρύκεντρα συμπίπτουν, θεωρούμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το κοινό βαρύκεντρο.
Να αποδειχτεί οτι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το μέσο των δύο βαρυκέντρων (είτε είναι κοινό είτε όχι) είναι το βαρύκεντρο του εξαγώνου. (Απόδειξη;) Οπότε όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το βαρύκεντρο του εξαγώνου.

#5

parmenides51 έγραψε:
4. Να αποδειχτεί οτι για οποιαδήποτε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}_+, y \in \mathbb{R}_+}$ ισχύει $\displaystyle{[2x]+[2y]\ge [x]+[y]+[x+y]}$ .
( $\displaystyle{[x]}$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x}$ )

Είναι απλή αν εξετάσουμε τις δύο περιπτώσεις $\displaystyle{ m\le x < m + \frac {1}{2}, m+ \frac {1}{2} \le x < m + 1}$ , σε συνδυασμό με τις $\displaystyle{ n\le y < n + \frac {1}{2}, n+ \frac {1}{2} \le y < n + 1}$ .

Π.χ. η $\displaystyle{ m\le x < m + \frac {1}{2}, n\le y < n + \frac {1}{2} }$ δίνει

$\displaystyle{ 2m\le 2x < 2m + 1, \,\, 2n\le 2y < 2n +1 , \, \, m+ n \le x+y < m+n+1 }$ και το αποτέλεσμα άμεσο με αντικατάσταση των ακεραίων μερών.

Όμοια π.χ. η $\displaystyle{ m + \frac {1}{2} \le x <m+1, n\le y < n + \frac {1}{2} }$ δίνει

$\displaystyle{ 2m + 1 \le x< 2m+1, \, \, 2n\le 2y < n + 1, \, \, m+n \le x+y < m+n +\frac {3}{2} }$ , άρα $\displaystyle{[x+y] \le m+n+1}$ και λοιπά.

Μ.

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1988

Μέλη σε σύνδεση