Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1989

parmenides51 · #1

1. 'Έστω $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ ενός παραλληλογράμμου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ και έστω $\displaystyle{O}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{AZ}$ και $\displaystyle{\Delta E}$ .
Να υπολογιστούν οι αριθμοί $\displaystyle{ \kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ που ορίζονται από τις σχέσεις $\displaystyle{\overrightarrow{\Delta O}=\kappa \overrightarrow{\Delta E}}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{AO }=\lambda \overrightarrow{AZ}}$ .

2. Έστω * μια διμελής πράξη ορισμένη στο σύνολο $\displaystyle{\mathbb{Z}}$ των ακεραίων αριθμών και τέτοια ώστε
για κάθε $\displaystyle{\alpha\in \mathbb{Z}}$ υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle{x*y=\alpha}$ .
Ν' αποδειχτεί οτι η πράξη * δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα τις ακόλουθες ιδιότητες:
(i) $\displaystyle{\alpha *\beta =-(\beta *\alpha)}$ και (ii) $\displaystyle{\alpha *(\beta * \gamma) =(\alpha *\beta) * \gamma}$ (για κάθε $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{Z}}$ )

3. Σ' ένα μαθηματικό διαγωνισμό λαβαίνουν μέρος συνολικά $\displaystyle{1989}$ μαθητές από τις τάξεις Γ' Γυμνασίου, Α' Λυκείου, Β' Λυκείου και Γ' Λυκείου και από κάθε τάξη υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{490}$ μαθητές. Πόσες είναι οι δυνατές συνθέσεις κατά τάξη του συνόλου των μαθητών που λαβαίνουν μέρος στο διαγωνισμό;
(πχ. μια δυνατή σύνθεση είναι η εξής : $\displaystyle{519}$ από Γ' Γυμνασίου και $\displaystyle{490}$ μαθητές από κάθε τάξη του Λυκείου)

4. Έστω $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ πραγματικοί αριθμοί.
Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες επί των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ ούτως ώστε για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ ,
αν $\displaystyle{\alpha x+\beta [x]=\alpha y+\beta [y]}$ , τότε $\displaystyle{x=y}$ . ( $\displaystyle{[x]}$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x}$ )

#2

2. Έστω * μια διμελής πράξη ορισμένη στο σύνολο $\displaystyle{\mathbb{Z}}$ των ακεραίων αριθμών και τέτοια ώστε
για κάθε $\displaystyle{\alpha\in \mathbb{Z}}$ υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle{x*y=\alpha}$ .
Ν' αποδειχτεί οτι η πράξη * δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα τις ακόλουθες ιδιότητες:
(i) $\displaystyle{\alpha *\beta =-(\beta *\alpha)}$ και (ii) $\displaystyle{\alpha *(\beta * \gamma) =(\alpha *\beta) * \gamma}$ (για κάθε $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{Z}}$ )

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια πράξη. Τότε για κάθε $x,y,z\in\mathbb Z$

(x*y)*z=x*(y*z)=-(y*z)*x=-y*(z*x)=(z*x)*y=z*(x*y)

Έστω τώρα $a,b\in\mathbb Z$ . Θα υπάρχουν $x,y\in\mathbb Z$ με x*y=a.

Άρα

Όμως

.

Επομένως a*b=0

για κάθε $a,b\in\mathbb Z$ , άτοπο αφού για κάθε $\displaystyle{\alpha\in \mathbb{Z}}$ υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle{x*y=\alpha}$ .

sokratis lyras · #3

parmenides51 έγραψε:
3. Σ' ένα μαθηματικό διαγωνισμό λαβαίνουν μέρος συνολικά $\displaystyle{1989}$ μαθητές από τις τάξεις Γ' Γυμνασίου, Α' Λυκείου, Β' Λυκείου και Γ' Λυκείου και από κάθε τάξη υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{490}$ μαθητές. Πόσες είναι οι δυνατές συνθέσεις κατά τάξη του συνόλου των μαθητών που λαβαίνουν μέρος στο διαγωνισμό;
(πχ. μια δυνατή σύνθεση είναι η εξής : $\displaystyle{519}$ από Γ' Γυμνασίου και $\displaystyle{490}$ μαθητές από κάθε τάξη του Λυκείου)

Με κάποιες επιφυλάξεις:

Ουσιαστικά ζητάμε το πλήθος των μη αρνητικών ακεραίων λύσεων της εξίσωσης x_1+x_2+x_3+x_4=29

που ισούται φυσικά με $\displaystyle\binom{29+4-1}{3}=\binom{32}{3}=\binom{32}{29}=5\cdot 32\cdot 31$

#4

parmenides51 έγραψε:1. 'Έστω $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ ενός παραλληλογράμμου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ και έστω $\displaystyle{O}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{AZ}$ και $\displaystyle{\Delta E}$ .
Να υπολογιστούν οι αριθμοί $\displaystyle{ \kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ που ορίζονται από τις σχέσεις $\displaystyle{\overrightarrow{\Delta O}=\kappa \overrightarrow{\Delta E}}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{AO }=\lambda \overrightarrow{AZ}}$ .

Έχουμε: $\displaystyle{\overrightarrow{\Delta O}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A\Delta}=\overrightarrow{0}\Rightarrow}$

$\displaystyle{k.\overrightarrow{\Delta E}-\lambda.\overrightarrow{AZ}+\overrightarrow{B\Gamma}=\overrightarrow{0}\Rightarrow}$

$\displaystyle{k(\overrightarrow{\Delta A}+\overrightarrow{AE})-\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BZ})+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{0}\Rightarrow}$

$\displaystyle{(\frac{k}{2}-\lambda)\overrightarrow{AB}+(1-\frac{\lambda}{2}-k)\overrightarrow{B\Gamma}=\overrightarrow{0}}$

Kαι αφού τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow{AB}}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{B\Gamma}}$ δεν είναι παράλληλα, συμπεραίνουμε

ότι: $\displaystyle{\frac{k}{2}-\lambda =0}$ και $\displaystyle{1-\frac{\lambda}{2}-k=0}$ και από το σύστημα αυτό, προκύπτει ότι:

$\displaystyle{k=\frac{4}{5} , \lambda =\frac{2}{5}}$

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1989

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1989

Μέλη σε σύνδεση