ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

Τα παρακάτω θέματα είναι κοινά για όλες τις τάξεις. Αποτελούνται από 10 πολλαπλής και 3 ανάπτυξης.

ΜΕΡΟΣ Α

1. Δύο ίσα τετράγωνα $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{EZH\Theta}$ πλευράς $\displaystyle{10}$ τοποθετούνται
έτσι ώστε η κορυφή $\displaystyle{E}$ να βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .
Το εμβαδό του μέρους του επιπέδου που καλύπτεται κατ' αυτόν τον τρόπο είναι

α) $\displaystyle{75}$ β) $\displaystyle{100}$ γ) $\displaystyle{125}$ δ) $\displaystyle{150}$ ε) $\displaystyle{175}$

2. Τρεις κύβοι με όγκο $\displaystyle{1, 8, 27}$ είναι κολλημένοι μεταξύ τους στις έδρες τους.
Η ελάχιστη δυνατή επιφάνεια του σχηματιζόμενου στερεού έχει εμβαδό

α) $\displaystyle{36}$ β) $\displaystyle{56}$ γ) $\displaystyle{70}$ δ) $\displaystyle{72}$ ε) $\displaystyle{74}$

3. Αν $\displaystyle{x, y}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, συμβολίζουμε με $\displaystyle{m(x,y)}$ τον μικρότερο από τους $\displaystyle{x, y}$
και αντίστοιχα με $\displaystyle{M(x,y)}$ τον μεγαλύτερο από τους $\displaystyle{x, y.}$
Αν $\displaystyle{a<b<c<d<e}$ τότε $\displaystyle{M(M(a,m(b,c)) ,m(d,m(a,e))}$ =

α) $\displaystyle{a$ β) $\displaystyle{b}$ γ) $\displaystyle{c}$ δ) $\displaystyle{d}$ ε) $\displaystyle{e}$

4. Σ' ένα σάκο υπάρχουν μπλε και κόκκινοι βόλοι.
Αν αφαιρέσουμε από τον σάκο ένα κόκκινο βόλο, τότε το ένα έβδομο των υπόλοιπων βόλων είναι κόκκινοι.
Αν, αντί του κόκκινου βόλου αφαιρέσουμε από τον σάκο δύο μπλε βόλους,
τότε το ένα πέμπτο των υπόλοιπων βόλων είναι κόκκινοι.
Πόσοι βόλοι υπήρχαν στο σάκο;

α) $\displaystyle{8}$ β) $\displaystyle{22}$ γ) $\displaystyle{36}$ δ) $\displaystyle{57}$ ε) $\displaystyle{71}$

5. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις $\displaystyle{8}$ επί $\displaystyle{2\sqrt 2}$ έχει το ίδιο κέντρο μ' ένα κύκλο ακτίνας $\displaystyle{2}$ .
Το κοινό εμβαδό των δύο γεωμετρικών σχημάτων είναι

α) $\displaystyle{2\pi}$ β) $\displaystyle{2\pi +2}$ γ) $\displaystyle{4\pi -4}$ δ) $\displaystyle{2\pi +4}$ ε) $\displaystyle{2\pi -2}$

6. Μέσα σ' ένα κουτί υπάρχουν:
μία σφαίρα σημαδεμένη με τον αριθμό $\displaystyle{1}$
δύο σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{2}$
τρεις σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{3}$
...
και πενήντα σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{50}$ .
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σφαιρών που πρέπει να τραβήξουμε τυχαία από το κουτί
για να είμαστε σίγουροι ότι θα υπάρχουν δέκα σφαίρες σημαδεμένες με τον ίδιο αριθμό;

α) $\displaystyle{10}$ β) $\displaystyle{51}$ γ) $\displaystyle{415}$ δ) $\displaystyle{451}$ ε) $\displaystyle{501}$

7. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y, z}$ αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{r \ne 1}$ και οι αριθμοί $\displaystyle{x, 2y, 3z}$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο,
τότε ο λόγος $\displaystyle{r}$ ισούται με

α) $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ β) $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ γ) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ δ) $\displaystyle{2}$ ε) $\displaystyle{4}$

8. Εννέα καρέκλες σε ευθεία γραμμή πρόκειται να καλυφθούν από $\displaystyle{6}$ μαθητές και $\displaystyle{3}$ καθηγητές $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ .
Οι καθηγητές φθάνουν πριν από τους μαθητές και αποφασίζουν να επιλέξουν τις καρέκλες τους έτσι,
ώστε κάθε καθηγητής να έχει αμέσως δεξιά του και αμέσως αριστερά του μαθητή.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι καθηγητές $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ να διαλέξουν τις καρέκλες τους;

α) $\displaystyle{12}$ β) $\displaystyle{36}$ γ) $\displaystyle{60}$ δ) $\displaystyle{84}$ ε) $\displaystyle{630}$

9. Αν $\displaystyle{x, y}$ είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{|x| y+ {\color{red}x}^3=0}$ και $\displaystyle{|x|+y=3}$ ,
τότε ο πλησιέστερος ακέραιος στον αριθμό $\displaystyle{x-y}$ είναι

α) $\displaystyle{-3}$ β) $\displaystyle{-1}$ γ) $\displaystyle{2}$ δ) $\displaystyle{3}$ ε) $\displaystyle{5}$

10. Αν ρίξουμε $\displaystyle{\nu}$ ζάρια, η πιθανότητα να πάρουμε άθροισμα $\displaystyle{1994}$ είναι θετική
και ισούται με την πιθανότητα να πάρουμε ως άθροισμα κάποιο αριθμό $\displaystyle{S}$ .
Η μικρότερη δυνατή τιμή του $\displaystyle{S}$ είναι

α) $\displaystyle{333}$ β) $\displaystyle{335}$ γ) $\displaystyle{337}$ δ) $\displaystyle{339}$ ε) $\displaystyle{341}$

ΜΕΡΟΣ Β

1. Έστω $\displaystyle{\beta>3}$ , $\displaystyle{\beta}$ ακέραιος, μία βάση την οποία χρησιμοποιούμε για την παράσταση αριθμών (στο δεκαδικό σύστημα $\displaystyle{\beta=10}$ ).
Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός που έχει παράσταση $\displaystyle{131}$ στη βάση $\displaystyle{\beta}$ δεν μπορεί να είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

2. Μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη δύο κύκλων τέμνει τις κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των κύκλων αυτών στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Delta}$ .
Η ευθεία $\displaystyle{A\Delta}$ συναντά τους κύκλους στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{AB=\Gamma \Delta}$ .

3. Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ τέτοιοι, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{A=[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+x]^\frac{1}{3}-[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}-x]^\frac{1}{3}}$
να είναι ακέραιος.

Παράκληση:
Καλύτερα για τα πολλαπλής ερωτήματα να δοθεί αναλυτική λύση, σαν να ήταν ανάπτυξης.

Υ.Γ. Μιας και είναι τελευταία εβδομάδα πρίν τον Ευκλείδη,
εντός των ημερών θα ανεβάσω και τα τελευταία θέματα Ευκλείδη 1991-92 και 1992-93,
τα οποία είχαν θέματα κοινά για όλες τις τάξεις κι ήταν 30 ερωτήματα όλα πολλαπλής επιλογής.

edit's
1. Διόρθωση μεταβλητής στο Α. 9ο
2. Διόρθωση γραφής σε $\displaystyle{\LaTeX}$ από 1 $\displaystyle{31}$ σε $\displaystyle{131}$ στο Β.1

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:Α. 6. Μέσα σ' ένα κουτί υπάρχουν:
μία σφαίρα σημαδεμένη με τον αριθμό $\displaystyle{1}$
δύο σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{2}$
τρεις σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{3}$
...
και πενήντα σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{50}$ .
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σφαιρών που πρέπει να τραβήξουμε τυχαία από το κουτί
για να είμαστε σίγουροι ότι θα υπάρχουν δέκα σφαίρες σημαδεμένες με τον ίδιο αριθμό;

α) $\displaystyle{10}$ β) $\displaystyle{51}$ γ) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{415}}}$ δ) $\displaystyle{451}$ ε) $\displaystyle{501}$

Θα πρέπει να τραβήξουμε μια παραπάνω από όσες σφαίρες υπάρχουν χωρίς να συμπληρωθεί δεκάδα του ίδιου αριθμού,

δηλαδή σαν να έχει τραβήξει όλες όσες είναι λιγότερες

μία σφαίρα σημαδεμένη με τον αριθμό $\displaystyle{1}$
δύο σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{2}$
τρεις σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{3}$
...
εννιά σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{9}$

και από τους υπόλοιπους σφαίρες ακριβώς $\displaystyle{9}$ μπάλες από κάθε νούμερο δηλαδή

εννιά σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{10}$
εννιά σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{11}$
εννιά σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{12}$
...
και εννιά σφαίρες σημαδεμένες με τον αριθμό $\displaystyle{50}$ .

οπότε θα τραβήξουμε

$\displaystyle{1+2+4+...+9 = \frac{9(9+1)}{2}=\frac{90}{2} = 45}$ σφαίρες με αριθμούς από $\displaystyle{1}$ εως και $\displaystyle{9}$ (ως άθροισμα $\displaystyle{9}$ διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $\displaystyle{1}$ και διαφορά $\displaystyle{1}$ )

συν $\displaystyle{9+9+9+...+9 = 41 \cdot 9=369}$ σφαίρες με αριθμούς από $\displaystyle{10}$ εως και $\displaystyle{50}$ (αφού από το $\displaystyle{1}$ εως το $\displaystyle{50}$ είναι $\displaystyle{50}$ αριθμοί και αν αφαιρέσουμε τα πρώτα $\displaystyle{9}$ , απο $\displaystyle{1}$ εως και $\displaystyle{9}$ θα μείνουν $\displaystyle{41}$ αριθμοί)

συν μια για να βγει δεκάδα

άρα $\displaystyle{45+369+1=415}$ είναι ο ελάχιστος αριθμός

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:Α. 7. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y, z}$ αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{r \ne 1}$ και οι αριθμοί $\displaystyle{x, 2y, 3z}$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο,
τότε ο λόγος $\displaystyle{r}$ ισούται με

α) $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ β) $\displaystyle{{\color{red} \frac{1}{3}}$ γ) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ δ) $\displaystyle{2}$ ε) $\displaystyle{4}$

Αφού οι αριθμοί $\displaystyle{x,y, z}$ αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{r \ne 1}$ μπορούν να γραφούν $\displaystyle{\frac{y}{r},y, yr}$ αντίστοιχα (1).

Αφού οι αριθμοί $\displaystyle{x, 2y, 3z}$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο τότε $\displaystyle{2 \cdot 2y = x+3z }$ οπότε λόγω (1) έχουμε

$\displaystyle{4y = \frac{y}{r}+3 yr}$ κι επειδή $\displaystyle{y \ne 0}$ , γιατί αποτελεί όρο γεωμετρικής προόδου έχουμε πως

$\displaystyle{4 = \frac{1}{r}+3 r \Leftrightarrow 4r=r\frac{1}{r}+r 3 r \Leftrightarrow 4r=1+3r^2 \Leftrightarrow 3r^2-4r+1=0}$

οπότε $\displaystyle{r=1}$ που απορρίπτεται γιατί $\displaystyle{r \ne 1}$ ή $\displaystyle{r =\frac{1}{3}}$ δεκτή.

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:A. 3. Αν $\displaystyle{x, y}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, συμβολίζουμε με $\displaystyle{m(x,y)}$ τον μικρότερο από τους $\displaystyle{x, y}$
και αντίστοιχα με $\displaystyle{M(x,y)}$ τον μεγαλύτερο από τους $\displaystyle{x, y.}$
Αν $\displaystyle{a<b<c<d<e}$ τότε $\displaystyle{M(M(a,m(b,c)) ,m(d,m(a,e))}$ =

α) $\displaystyle{a}$ β) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{b}}}$ γ) $\displaystyle{c}$ δ) $\displaystyle{d}$ ε) $\displaystyle{e}$

$\displaystyle{m(b,c) =b}$ διότι $\displaystyle{b<c}$
$\displaystyle{M(a,m(b,c) =M(a,b) = b}$ διότι $\displaystyle{b>a}$

$\displaystyle{m(a,e) = a}$ διότι $\displaystyle{a<e}$
$\displaystyle{m(d,m(a,e))=m(d,a)=a}$ διότι $\displaystyle{a<d}$

$\displaystyle{M(M(a,m(b,c)) ,m(d,m(a,e)) = M(b, a)=b}$ διότι $\displaystyle{b>a}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:Α. 4. Σ' ένα σάκο υπάρχουν μπλε και κόκκινοι βόλοι.
Αν αφαιρέσουμε από τον σάκο ένα κόκκινο βόλο, τότε το ένα έβδομο των υπόλοιπων βόλων είναι κόκκινοι.
Αν, αντί του κόκκινου βόλου αφαιρέσουμε από τον σάκο δύο μπλε βόλους,
τότε το ένα πέμπτο των υπόλοιπων βόλων είναι κόκκινοι.
Πόσοι βόλοι υπήρχαν στο σάκο;

α) $\displaystyle{8}$ β) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{22}}}$ γ) $\displaystyle{36}$ δ) $\displaystyle{57}$ ε) $\displaystyle{71}$

Έστω $\displaystyle{x }$ και $\displaystyle{y}$ το πλήθος των μπλε και κόκκινων βόλων αντίστοιχα. Συνολικά έχουμε $\displaystyle{x+y}$ βόλους.

Αν αφαιρέσουμε ένα κόκκινο βόλο μένουν $\displaystyle{x}$ μπλε και $\displaystyle{y-1}$ κόκκινοι, και συνολικά $\displaystyle{x+y-1}$ βόλοι,

οπότε οι κόκκινοι θα είναι το $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ του νέου συνόλου, δηλαδή $\displaystyle{\frac{y -1}{x+y-1}=\frac{1}{7} \Leftrightarrow 7y-7=x+y-1 \Leftrightarrow x-6y=-6}$ (1)

Αν αφαιρέσουμε δυο μπλε βόλους μένουν $\displaystyle{x-2}$ μπλέ και $\displaystyle{y}$ κόκκινοι, και συνολικά $\displaystyle{x+y-2}$ βόλοι,

οπότε οι κόκκινοι θα είναι το $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ του νέου συνόλου, δηλαδή $\displaystyle{\frac{y}{x+y-2}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow 5y=x+y-2 \Leftrightarrow x=4y+2}$ (2)

Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουμε

$\displaystyle{4y+2-6y=-6 \Leftrightarrow 4y-6y=-2-6 \Leftrightarrow -2y=-8 \Leftrightarrow y=4}$

Για $\displaystyle{y=4}$ από την (2) έχουμε $\displaystyle{x=4\cdot 4+2=16+2=18}$

οπότε εξαρχής συνολικά έχουμε $\displaystyle{18}$ μπλέ και $\displaystyle{4}$ κόκκινους βόλους, συνολικά $\displaystyle{18+4=22}$ βόλους.

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:A. 9. Αν $\displaystyle{x, y}$ είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{|x| y+ {\color{red}x}^3=0}$ και $\displaystyle{|x|+y=3}$ ,
τότε ο πλησιέστερος ακέραιος στον αριθμό $\displaystyle{x-y}$ είναι

α) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{-3}}}$ β) $\displaystyle{-1}$ γ) $\displaystyle{2}$ δ) $\displaystyle{3}$ ε) $\displaystyle{5}$

$\displaystyle{|x| y+ x^3=0 }$ (1)
$\displaystyle{|x|+y=3 \Leftrightarrow |x|=3-y }$ (2)

Ισχύει πως $\displaystyle{x,y \ne 0}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x>0}$ τότε $\displaystyle{|x|=x}$ οπότε από (1) έχουμε $\displaystyle{x y+ x^3=0 \Leftrightarrow x (y+ x^2)=0 \Leftrightarrow y+x^2 =0}$ αφού $\displaystyle{x \ne 0}$

οπότε $\displaystyle{y+|x|^2= 0}$ οπότε λόγω της (2) έχουμε

$\displaystyle{y+(3-y)^2=0 \Leftrightarrow y+9 -6y +y^2=0 \Leftrightarrow y^2-5y+9=0}$ ,

εξίσωση αδύνατη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x<0}$ (3) τότε $\displaystyle{|x|=-x}$ οπότε από (1) έχουμε $\displaystyle{-x y+ x^3=0 \Leftrightarrow x (-y+ x^2)=0 \Leftrightarrow -y+x^2 =0}$ αφού $\displaystyle{x \ne 0}$

οπότε $\displaystyle{y=x^2 \Leftrightarrow y=|x|^2}$ οπότε λόγω της (2) έχουμε

$\displaystyle{y=(3-y)^2 \Leftrightarrow y=9 -6y +y^2 \Leftrightarrow y^2-7y+9=0 \Leftrightarrow y_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{13}}{2}}$

οπότε για $\displaystyle{y=\frac{7+\sqrt{13}}{2}}}$ έχουμε από (2)

$\displaystyle{|x|=3-y =3-\frac{7+\sqrt{13}}{2}}=\frac{6}{2}-\frac{7+\sqrt{13}}{2}}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}}<0 }$ , εξίσωση αδύνατη γιατί $\displaystyle{|x|\ge 0}$

και για $\displaystyle{y=\frac{7-\sqrt{13}}{2}}}$ έχουμε από (2)

$\displaystyle{|x|=3-y =3-\frac{7-\sqrt{13}}{2}}=\frac{6}{2}-\frac{7-\sqrt{13}}{2}}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}>0 }$ κι επειδή $\displaystyle{x<0}$ λόγω (3) $\displaystyle{x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}}$

οπότε $\displaystyle{x-y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}-\frac{7+\sqrt{13}}{2}}=\frac{-6-2\sqrt{13}}{2}}=\frac{2(-3-\sqrt{13})}{2}}=-3-\sqrt{13}}$ $\displaystyle{<-3}$

τελικά ο πλησιέστερος ακέραιος στον αριθμό $\displaystyle{\displaystyle{x-y}}$ από τους $\displaystyle{-3,-2.2,3,5}$ είναι o $\displaystyle{- 3}$ .

freyia · #7

parmenides51 έγραψε:Α.5. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις $\displaystyle{8}$ επί $\displaystyle{2\sqrt 2}$ έχει το ίδιο κέντρο μ' ένα κύκλο ακτίνας $\displaystyle{2}$ .
Το κοινό εμβαδό των δύο γεωμετρικών σχημάτων είναι

α) $\displaystyle{2\pi}$ β) $\displaystyle{2\pi +2}$ γ) $\displaystyle{4\pi -4}$ δ) $\displaystyle{2\pi +4}$ ε) $\displaystyle{2\pi -2}$

Το κοινό εμβαδόν των δύο σχημάτων βρίσκεται, άμα από το εμβαδόν του κύκλου, αφαιρεθούνε τα δύο κυκλικά τμήματα τα οποία βρίσκονται στο εξωτερικό του ορθογωνίου και στα οποία εύκολα αποδείχνεται ότι οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες τους είναι ίσες με $\displaystyle{90^{o}}$ .
Eπομένως, $\displaystyle{E=\pi .2^2 -2(\frac{\pi .2^2 .90}{360}-\frac{1}{2}2.2)=4\pi -2(\pi -2)=2\pi +4}$

freyia · #8

parmenides51 έγραψε:Α.8. Εννέα καρέκλες σε ευθεία γραμμή πρόκειται να καλυφθούν από $\displaystyle{6}$ μαθητές και $\displaystyle{3}$ καθηγητές $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ .
Οι καθηγητές φθάνουν πριν από τους μαθητές και αποφασίζουν να επιλέξουν τις καρέκλες τους έτσι,
ώστε κάθε καθηγητής να έχει αμέσως δεξιά του και αμέσως αριστερά του μαθητή.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι καθηγητές $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ να διαλέξουν τις καρέκλες τους;

Mε κάποιες επιφυλάξεις:

Αποκλείονται πρώτα - πρώτα η πρώτη και η τελευταία καρέκλα. Επίσης αποκλείονται και τέσσερις ενδιάμεσες στις οποίες θα καθίσουν οι μαθητές. Οι καθηγητές πρέπει να επιλέξουνε τρεις καρέκλες μη διαδοχικές, οι οποίες μπορούνε να τοποθετηθούν με πέντε τρόπους ανάμεσα στις άλλες καρέκλες.
Έτσι, οι καθηγητές μπορούνε να καθίσουν με $\displaystyle{3!}$ τρόπους σε τρεις καρέκλες οι οποίες μπορούνε να μπούνε ανάμεσα στις άλλες με τόσους τρόπους όσοι είναι οι συνδυασμοί "πέντε ανά τρία", δηλαδή με $\displaystyle{\frac{5!}{3!.2!}=10}$
Eπομένως, μπορούνε να καθίσουν με $\displaystyle{10.3!}$ τρόπους, δηλαδή με $\displaystyle{60}$ τρόπους.

KARKAR · #9

parmenides51 έγραψε: B.2. Μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη δύο κύκλων τέμνει τις κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των κύκλων αυτών στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Delta}$ .
Η ευθεία $\displaystyle{A\Delta}$ συναντά τους κύκλους στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{AB=\Gamma \Delta}$ .

: 1992.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 1902 φορές

Είναι εύκολο να δούμε ότι PQ=ST

. Θέτουμε

και

.

Τότε λόγω των επαφών είναι : $PQ=ST\Rightarrow PD+x=AT+y\Rightarrow$

$DB+x=AC+y\Rightarrow BC+2x=BC+2y\Rightarrow x=y$

parmenides51 · #10

parmenides51 έγραψε:Α.2. Τρεις κύβοι με όγκο $\displaystyle{1, 8, 27}$ είναι κολλημένοι μεταξύ τους στις έδρες τους.
Η ελάχιστη δυνατή επιφάνεια του σχηματιζόμενου στερεού έχει εμβαδό

α) $\displaystyle{36}$ β) $\displaystyle{56}$ γ) $\displaystyle{70}$ δ) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{72}}}}$ ε) $\displaystyle{74}$

Αφού ο όγκος κύβου ακμής $\displaystyle{a}$ δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{V=a^3}$ , οι κύβοι με όγκο $\displaystyle{1, 8, 27}$ θα έχουν ακμές $\displaystyle{a=1,b=2,c =3}$ αντίστοιχα.

Το ανάπτυγμα ενός κύβου ακμής $\displaystyle{a}$ έχει επιφάνειά με εμβαδόν που δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{E=6a^2}$ γιατί αποτελείται από $\displaystyle{6}$ τετράγωνα πλευράς $\displaystyle{a}$ .

Αφού οι κύβοι είναι κολλημένοι μεταξύ τους στις έδρες τους, για να σχηματίζεται στερεό με την ελάχιστη επιφάνεια πρέπει κάθε κύβος να εφάπτεται σε κάθε άλλον κύβο με επιφάνεια επαφής όλη την πλευρά του μικρότερου κύβου από τους δυο εφαπτόμενους κάθε φορά.
Αν κάθε κύβος δεν εφάπτεται και με τους άλλους δυο κύβους, τότε θα σχηματίζεται στερεό με μεγαλύτερη επιφάνεια.
Αν κάθε κύβος εφάπτεται στους άλλους δυο κύβους με επιφάνεια επαφής μικρότερη από την πλευρά του μικρότερου από τους δυο εφαπτόμενους κάθε φορά κύβου, τότε θα σχηματίζεται στερεό με μεγαλύτερη επιφάνεια.

Οπότε το εμβαδόν της επιφάνειάς του σχηματιζόμενου στερεού με την ελάχιστη θα ισούται με το άθροισμα των παράπλευρων εμβαδών των τριών κύβων , από το οποίο θα αφαιρέσουμε τεσσερεις φορές την επιφάνεια μιας πλευράς του μικρού κύβου (δυο φορές για κάθε επαφή, και δυο επαφές έχει) και δυο φορές (δυο φορές για την μια επαφή) την επιφάνεια μιας πλευράς του μεσαίου κύβου, δηλαδή

$\displaystyle{E_{min}=6a^2+6b^2+6c^2-4a^2-2b^2=2a^2+4b^2+6c^2=2\cdot 1^2 +4\cdot 2^2 + 6\cdot 3^2=2 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + 6 \cdot 9=2+16+54=72}$

#11

parmenides51 έγραψε:Α.2. Τρεις κύβοι με όγκο $\displaystyle{1, 8, 27}$ είναι κολλημένοι μεταξύ τους στις έδρες τους.
Η ελάχιστη δυνατή επιφάνεια του σχηματιζόμενου στερεού έχει εμβαδό

α) $\displaystyle{36}$ β) $\displaystyle{56}$ γ) $\displaystyle{70}$ δ) $\displaystyle{72}$ ε) $\displaystyle{74}$

Παρμενίδη Καλημέρα. Παραθέτω μερικά σχήματα που ζήτησες.
Σχήματα για το Α2

Μερικές τοποθετήσεις των κύβων αυτών φαίνονται στα παρακάτω σχήματα:

: Κύβοι 1.PNG (23.55 KiB) Προβλήθηκε 1858 φορές

: Κύβοι 2.PNG (41.4 KiB) Προβλήθηκε 1858 φορές

: Κύβοι 3.PNG (51.52 KiB) Προβλήθηκε 1858 φορές

: Κύβοι 4.PNG (23.25 KiB) Προβλήθηκε 1858 φορές

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #12

Κώστα σ΄ευχαριστώ, το σχήμα 4 αφορά την περίπτωση με το στερεό ελαχίστης επιφάνειας που έδωσα αμέσως πριν.

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: Α1 , Α10 , Β1 , Β3

#13

parmenides51 έγραψε:Α.1. Δύο ίσα τετράγωνα $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{EZH\Theta}$ πλευράς $\displaystyle{10}$ τοποθετούνται
έτσι ώστε η κορυφή $\displaystyle{E}$ να βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .
Το εμβαδό του μέρους του επιπέδου που καλύπτεται κατ' αυτόν τον τρόπο είναι

α) $\displaystyle{75}$ β) $\displaystyle{100}$ γ) $\displaystyle{125}$ δ) $\displaystyle{150}$ ε) $\displaystyle{175}$

Έστω $\displaystyle{T}$ το σημείο στο οποίο η $\displaystyle{EZ}$ τέμνει την $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{K}$ , το σημεό στο οποίο η $\displaystyle{E\Theta}$ , έμνει την $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ .

Τότε το εμβαδόν που ζητάμε είναι $\displaystyle{E_1 =10^2 +10^2 -(ET\Gamma K)=200-(ET\Gamma )-(ETK)=}$

$\displaystyle{=200-\frac{\Gamma T.5}{2}-\frac{\Gamma K.5}{2}=200-\frac{5}{2}(\Gamma T+\Gamma K)}$ , (1)

Όμως τα τρίγωνα $\displaystyle{E\Delta K}$ και $\displaystyle{E\Gamma T}$ είναι ίσα διότι έχουν $\displaystyle{E\Delta =E\Gamma , \winderhat{E\Delta K}=\winderhat{E\Gamma T}=45^{o}}$

και $\displaystyle{\winderhat{\Delta EK}=\winderhat{\Gamma ET}}$ , (πλευρές κάθετες)

Άρα από την (1) έχουμε: $\displaystyle{E_1 =200-\frac{5}{2}(\Delta K+\Gamma K)=200-\frac{5}{2}.10=200-25=175}$

Άρα σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(\epsilon )}}$

parmenides51 · #14

parmenides51 έγραψε:Α.10. Αν ρίξουμε $\displaystyle{\nu}$ ζάρια, η πιθανότητα να πάρουμε άθροισμα $\displaystyle{1994}$ είναι θετική
και ισούται με την πιθανότητα να πάρουμε ως άθροισμα κάποιο αριθμό $\displaystyle{S}$ .
Η μικρότερη δυνατή τιμή του $\displaystyle{S}$ είναι

α) $\displaystyle{333}$ β) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{335}} }$ γ) $\displaystyle{337}$ δ) $\displaystyle{339}$ ε) $\displaystyle{341}$

Επειδή η πιθανότητα για να πάρουμε άθροισμα (στην πάνω όψη) $\displaystyle{1994}$ είναι θετική και ισούται με την πιθανότητα να πάρουμε ως άθροισμα τον αριθμό $\displaystyle{S}$ (στην κάτω όψη), για να βρούμε την ελάχιστη δυνατή τιμή του $\displaystyle{S}$ αρκεί η πάνω όψη του ζαριού να μας έχει δώσει το μέγιστο δυνατό άθροισμα.

Επειδή $\displaystyle{1994=1986+8=6 \cdot 331+8=6 \cdot 331+(6+2)= 6 \cdot 331 + ( 5 + 3) =6 \cdot 331 +(4+4)}$

για να έχουμε το μέγιστο άθροισμα στην πάνω όψη $\displaystyle{1994}$
μπορεί να συμβούν ένα από τα παραπάνω δηλαδή
ή να φέρουμε $\displaystyle{332}$ φορές ένδειξη ''εξι'' και $\displaystyle{1}$ φορά ένδειξη ''δυο'' (περίπτωση 1)
ή να φέρουμε $\displaystyle{331}$ φορές ένδειξη ''εξι'' , $\displaystyle{1}$ φορά ένδειξη ''πέντε'' και $\displaystyle{1}$ φορά ένδειξη ''τρία'' (περίπτωση 2)
ή να φέρουμε $\displaystyle{331}$ φορές ένδειξη ''εξι'' και $\displaystyle{2}$ φορές ένδειξη ''τέσσερα'' (περίπτωση 3)

οπότε η ελάχιστη δυνατή τιμή της κάτω όψης - ονόματι $\displaystyle{S}$ - θα συμβεί όταν έχουμε τα λιγότερα δυνατά νούμερα στην κάτω όψη σε κάθε περίπτωση:

στην περίπτωση 1 όταν φέρουμε $\displaystyle{332}$ φορές ένδειξη ''ένα'' και $\displaystyle{1}$ φορά ένδειξη ''τρια'' ( που έχουμε άθροισμα $\displaystyle{332 \cdot 1+3=335}$
στην περίπτωση 2 όταν φέρουμε $\displaystyle{331}$ φορές ένδειξη ''ένα'' και $\displaystyle{1}$ φορά ένδειξη ''δυο'' και $\displaystyle{1}$ φορά ένδειξη ''τέσσερα'' ( που έχουμε άθροισμα $\displaystyle{331 \cdot 1+2+4=337}$
στην περίπτωση 3 όταν φέρουμε $\displaystyle{331}$ φορές ένδειξη ''ένα'' και $\displaystyle{2}$ φορές ένδειξη ''δυο'' ( που έχουμε άθροισμα $\displaystyle{331 \cdot 1+2+2=335}$

οπότε η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{S}$ είναι συγκρίνοντας τα αθροίσματα στις τρεις αυτές περιπτώσεις είναι $\displaystyle{335}$ .

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: Β1 , Β3

#15

parmenides51 έγραψε:B.3. Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ τέτοιοι, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{A=[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+x]^\frac{1}{3}-[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}-x]^\frac{1}{3}}$
να είναι ακέραιος.

Παρόμοιο έπεσε σήμερα στον διαγωνισμό "ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"

Έστω $\displaystyle{A=[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+x]^\frac{1}{3}-[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}-x]^\frac{1}{3}}=k}$ , με $\displaystyle{k\in Z}$ . Mε ύψωση στον

κύβο, έχουμε:

$\displaystyle{(x^2 +3)^{\frac{1}{2}}+x-3([(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+x]^{\frac{1}{3}})^2 [(x^2+3)^{\frac{1}{2}}-x]^{\frac{1}{3}}+}$

$\displaystyle{+3[(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+x]^{\frac{1}{3}}([(x^2+3)^{\frac{1}{2}}-x]^{\frac{1}{3}})^2 -(x^2 +3)^{\frac{1}{2}}+x=k^3 }$

Άρα:

$\displaystyle{2x-3.3^{\frac{1}{3}}[(x^2 +3)^{\frac{1}{2}}+x]^{\frac{1}{3}}+3.3^{\frac{1}{3}}[(x^2 +3)^{\frac{1}{2}}-x]^{\frac{1}{3}}=k^3 \Rightarrow}$

$\displaystyle{2x-3.3^{\frac{1}{3}}k=k^3 \Rightarrow 2x=k^3 +3.3^{\frac{1}{3}}k \Rightarrow x=\frac{k^3 +3k3^{\frac{1}{3}}}{2}}$

#16

parmenides51 έγραψε: ΜΕΡΟΣ Β

1. Έστω $\displaystyle{\beta>3}$ , $\displaystyle{\beta}$ ακέραιος, μία βάση την οποία χρησιμοποιούμε για την παράσταση αριθμών (στο δεκαδικό σύστημα $\displaystyle{\beta=10}$ ).
Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός που έχει παράσταση $\displaystyle{131}$ στη βάση $\displaystyle{\beta}$ δεν μπορεί να είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού

O αριθμός που έχει παράσταση $\displaystyle{131}$ στη βάση $\displaystyle{\beta}$ γράφεται 131_b=b^2+3b+1.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(b+1)^2<b^2+3b+1<(b+2)^2}$ οπότε δεν είναι δυνατόν να είναι τετράγωνο ακέραιου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1993 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση