ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

Τα παρακάτω θέματα είναι κοινά για όλες τις τάξεις. Αποτελούνται από 30 ερωτήματα πολλαπλής επιλογής.
Κάθε σωστή βαθμολογείται με 5 μονάδες, κάθε αναπάντητη με 2 μονάδες και κάθε λανθασμένη με 0 μονάδες.
Τα σχήματα δεν είναι αναγκαστικά στην σωστή κλίμακα. Διάρκεια εξέτασης 90'.

1. Αν $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\ne 0}$ , ορίζουμε $\displaystyle{\fbox{a,b,c} = a^b-b^c+c^a}$ .
Αν υπολογίσουμε το $\displaystyle{\fbox{1,-1,2} }$ , θα βρούμε

a) $\displaystyle{-4}$ b) $\displaystyle{-2}$ c) $\displaystyle{0}$ d) $\displaystyle{2}$ e) $\displaystyle{4}$

2. Σ' ένα τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat{A}=55^o, \widehat{C}={\color{red}7}5^o}$ , ένα σημείο $\displaystyle{D}$ βρίσκεται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$
και ένα σημείο $\displaystyle{E}$ βρίσκεται επί της πλευράς $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{DB={\color{red}BE}}$ , τότε $\displaystyle{\widehat{BED}=}$

a) $\displaystyle{50^o}$ b) $\displaystyle{55^o}$ c) $\displaystyle{60^o}$ d) $\displaystyle{65^o}$ e) $\displaystyle{70^o}$

: Eykleidhs_1992 2o.JPG (2.3 KiB) Προβλήθηκε 2518 φορές

3. $\displaystyle{\frac{15^{30}}{45^{15}}=}$

α) $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{15}}$ β) $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}$ γ) $\displaystyle{1}$ δ) $\displaystyle{3^{15}}$ ε) $\displaystyle{5^{15}}$

4. Ορίζουμε την πράξη '' $\displaystyle{\circ}$ '' με $\displaystyle{x \circ y =4x-3y+xy}$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .
Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση $\displaystyle{3 \circ y =12}$ ;

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{41}$ c) $\displaystyle{3}$ d) $\displaystyle{4}$ e) περισσότερες από $\displaystyle{4}$

5. Πέρυσι μια μοτοσυκλέτα κόστιζε $\displaystyle{160.000}$ δρχ. και το κράνος $\displaystyle{40.000}$ δρχ.
Φέτος το κόστος της μοτοσυκλέτας αυξήθηκε κατά $\displaystyle{5\% }$ και το κόστος του κράνους αυξήθηκε κατά $\displaystyle{10\%}$ .
Κατά πόσο τοις εκατό αυξήθηκε το συνολικό κόστος μοτοσυκλέτας και κράνους;

a) $\displaystyle{6\%}$ b) $\displaystyle{7\%}$ c) $\displaystyle{7,5\%}$ d) $\displaystyle{8\% }$ e) $\displaystyle{15\%}$

6. $\displaystyle{\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^{4}+4^{11}}}=}$

a) $\displaystyle{\sqrt2}$ b) $\displaystyle{16}$ c) $\displaystyle{32}$ d) $\displaystyle{12^{\frac{2}{3}}}$ e) $\displaystyle{ 512,5}$

7. Έστω $\displaystyle{R_k}$ ο θετικός ακέραιος ο οποίος έχει $\displaystyle{k}$ μονάδες στην παράσταση του στη βάση του $\displaystyle{10}$ .
Πχ. $\displaystyle{R_3= 111, R_5=11111}$ κλπ. Όταν ο $\displaystyle{R_{24}}$ διαιρεθεί δια του $\displaystyle{R_4}$ , το πηλίκο $\displaystyle{Q=\frac{ R_{24}}{ R_4}}$ είναι ένας ακέραιος
του οποίου η παράσταση στη βάση $\displaystyle{10}$ περιέχει μόνο μηδενικά και μονάδες. Ο αριθμός των μηδενικών στον $\displaystyle{ Q}$ είναι

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{11}$ c) $\displaystyle{12}$ d) $\displaystyle{13}$ e) $\displaystyle{15}$

8. Έστω οτι $\displaystyle{C_1}$ και $\displaystyle{C_2}$ είναι διαφορετικοί κύκλοι ακτίνας $\displaystyle{1}$ , ευρισκόμενοι στο ίδιο επίπεδο $\displaystyle{E}$ και είναι εφαπτόμενοι μεταξύ τους.
Πόσοι κύκλοι ακτίνας $\displaystyle{3}$ που κείνται στο ίδιο επίπεδο $\displaystyle{E}$ εφάπτονται και του $\displaystyle{ C_1}$ και του $\displaystyle{C_2}$ ;

a) $\displaystyle{2}$ b) $\displaystyle{4}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{6}$ e) $\displaystyle{8}$

9. Μια χώρα $\displaystyle{A}$ έχει $\displaystyle{c \%}$ του πληθυσμού του κόσμου και $\displaystyle{d\%}$ του πλούτου του κόσμου.
Μια άλλη χώρα $\displaystyle{B}$ έχει $\displaystyle{e \%}$ του πληθυσμού και $\displaystyle{f\%}$ του πλούτου του κόσμου.
Υποθέτουμε οτι οι πολίτες της $\displaystyle{A}$ συμμετέχουν ισομερώς στον πλούτο της χώρας τους και το ίδιο συμβαίνει για τους πολίτες της χώρας $\displaystyle{B}$ .
Ο λόγος του πλούτου ενός πολίτη της χώρας $\displaystyle{A}$ προς τον πλούτο ενός πολίτη της χώρας $\displaystyle{B}$ είναι

a) $\displaystyle{\frac{cd}{ef}}$ b) $\displaystyle{\frac{ce}{df}}$ c) $\displaystyle{ \frac{cf}{de}}$ d) $\displaystyle{ \frac{{\color{red}d}e}{{\color{red}c}f}}$ e) $\displaystyle{\frac{df}{ce}}$

10. Έστω $\displaystyle{r}$ ο αριθμός που προκύπτει όταν η βάση και ο εκθέτης της δύναμης $\displaystyle{a^b }$ τριπλασιαστούν ( $\displaystyle{a,b>0}$ ).
Αν ο αριθμός $\displaystyle{r }$ ισούται με το γινόμενο των $\displaystyle{a^b}$ και $\displaystyle{x^b}$ , όπου $\displaystyle{x>0}$ , τότε $\displaystyle{x=}$

a) $\displaystyle{3}$ b) $\displaystyle{3a^2}$ c) $\displaystyle{27a^2}$ d) $\displaystyle{2a^{3b}}$ e) $\displaystyle{3a^{2b}}$

11. Αν $\displaystyle{\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2}$ , τότε πόσα ψηφία έχει ο αριθμός $\displaystyle{x}$ στη βάση $\displaystyle{10}$ ; (εδώ $\displaystyle{\log_2}$ σημαίνει λογάριθμος με βάση $\displaystyle{2}$ )

a) $\displaystyle{5}$ b) $\displaystyle{7}$ c) $\displaystyle{9}$ d) $\displaystyle{11}$ e) $\displaystyle{{\color{red}13}}$

12. Αν $\displaystyle{f(2x)=\frac{2}{2+x}}$ για όλα τα $\displaystyle{ x>0}$ , τότε $\displaystyle{2f(x)=}$

a) $\displaystyle{\frac{2}{1+x}}$ b) $\displaystyle{\frac{2}{2+x}}$ c) $\displaystyle{ \frac{4}{1+x}}$ d) $\displaystyle{ \frac{4}{2+x}}$ e) $\displaystyle{\frac{8}{4+x}}$

13. Ένα τετράγωνο με περίμετρο $\displaystyle{20}$ εγγράφεται σ' ένα τετράγωνο με περίμετρο $\displaystyle{28}$ .
Η μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ μιας κορυφής του εσωτερικού τετραγώνου από μια κορυφή του εξωτερικού τετραγώνου είναι

a) $\displaystyle{\sqrt{58}}$ b) $\displaystyle{\frac{7\sqrt{5} }{2}}$ c) $\displaystyle{8}$ d) $\displaystyle{ \sqrt{65}}$ e) $\displaystyle{ 5\sqrt{3} }$

14. Σ' ένα κυρτό πεντάγωνο $\displaystyle{ABCDE}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat{A}=\widehat{B}=120^o}$ , $\displaystyle{EA=AB=BC=2}$ και $\displaystyle{CD=DE=4}$ .
Το εμβαδόν του $\displaystyle{ABCDE}$ είναι

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{7\sqrt3}$ c) $\displaystyle{15 }$ d) $\displaystyle{9\sqrt3}$ e) $\displaystyle{12\sqrt5}$

: Eykleidhs_1992 14o.jpg (1.69 KiB) Προβλήθηκε 2518 φορές

15. Για πόσες τιμές του $\displaystyle{\nu}$ θα έχει ένα κανονικό $\displaystyle{\nu}$ - γωνο εσωτερικές γωνίες των οποίων το μέτρο σε μοίρες θα είναι ακέραιος αριθμός;

a) $\displaystyle{16}$ b) $\displaystyle{18}$ c) $\displaystyle{20}$ d) $\displaystyle{22}$ e) $\displaystyle{24}$

16. Θεωρούμε την αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,... }$
στην οποία ο $\displaystyle{\nu }$ - στός θετικός ακέραιος επαναλαμβάνεται $\displaystyle{\nu }$ φορές.
Αν διαιρέσουμε τον $\displaystyle{1993}$ -στο όρο της ακολουθίας αυτής δια του $\displaystyle{5}$ , το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{1}$ c) $\displaystyle{2}$ d) $\displaystyle{3}$ e) $\displaystyle{4}$

17. Θεωρούμε τη διαίρεση του τετραγώνου σε $\displaystyle{12}$ τμήματα (οκτώ τρίγωνα και τέσσερα τετράπλευρα) όπως στο διπλανό σχήμα,
όπου όλες οι διαδοχικές γωνίες που έχουν κορυφή στο κέντρο του τετραγώνου είναι ίσες.
Έστω $\displaystyle{t}$ το εμβαδόν ενός από τα οκτώ τρίγωνα και $\displaystyle{q}$ το εμβαδόν ενός από τα τέσσερα τετράπλευρα.
Ο λόγος $\displaystyle{\frac{q}{t}=}$

a) $\displaystyle{2\sqrt3-2}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\frac{3}{2}}}$ c) $\displaystyle{ \frac{ \sqrt5 +1}{2}}$ d) $\displaystyle{\sqrt3}$ e) $\displaystyle{2}$

: Eykleidhs_1992 17o.JPG (3.27 KiB) Προβλήθηκε 2518 φορές

18. Ο Γιάννης και η Μαρία αρχίζουν δουλειά την ίδια μέρα.
Ο Γιάννης δουλεύει $\displaystyle{3}$ μέρες και την τέταρτη έχει ρεπό.
Η Μαρία δουλεύει $\displaystyle{7}$ μέρες και έπειτα έχει $\displaystyle{3}$ μέρες ρεπό.
Το πρόγραμμα εργασίας επαναλαμβάνεται.
Στις πρώτες $\displaystyle{1.000}$ μέρες, πόσες μέρες θα έχουν και οι δυο ρεπό;

a) $\displaystyle{48}$ b) $\displaystyle{50}$ c) $\displaystyle{72}$ d) $\displaystyle{75}$ e) $\displaystyle{100}$

19. Πόσα διατεταγμένα ζεύγη $\displaystyle{(m,n) }$ θετικών ακεραίων είναι λύσεις της $\displaystyle{\frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1}$ ;

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{2 }$ c) $\displaystyle{3}$ d) $\displaystyle{4}$ e) περισσότερα από $\displaystyle{4}$

20. Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{10z^2-3iz-k=0}$ , όπου $\displaystyle{ z}$ είναι μιγαδικός άγνωστος και $\displaystyle{i^2=-1}$ .
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

a) Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k }$ , και οι δυο ρίζες είναι καθαρά φανταστικές.
b) Για όλους τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k}$ , και οι δυο ρίζες είναι καθαρά φανταστικές.
c) Για όλους τους καθαρά φανταστικούς αριθμούς $\displaystyle{k}$ , και οι δυο ρίζες είναι πραγματικές και ρητές.
d) Για όλους τους καθαρά φανταστικούς αριθμούς $\displaystyle{k}$ , και οι δυο ρίζες είναι πραγματικές και άρρητες.
e) Για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{k }$ , καμία ρίζα δεν είναι πραγματική.

(καθαρά φανταστικός αριθμός είναι ένας αριθμός της μορφής $\displaystyle{\lambda i}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ πραγματικός)

21. Έστω $\displaystyle{a_1,a_2, ..., a_k}$ μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδος με $\displaystyle{a_4 +a_7 + a_{10}=17}$ και

$\displaystyle{ a_4 +a_5 + a_6+a_7 +a_8 + a_9+ a_{10}+ a_{11}+ a_{12}+ a_{13}+ a_{14}=77}$

Αν $\displaystyle{{\color{red}a_k=13}}$ τότε $\displaystyle{{\color{red}k=}}$

a) $\displaystyle{16}$ b) $\displaystyle{18}$ c) $\displaystyle{20}$ d) $\displaystyle{22}$ e) $\displaystyle{24}$

22. Είκοσι κύβοι τοποθετούνται όπως φαίνεται στο σχήμα.
Πρώτα $\displaystyle{10}$ τοποθετούνται κατά ένα τριγωνικό σχήμα.
Έπειτα τοποθετείται πάνω τους ένα στρώμα από $\displaystyle{6}$ κύβους σε τριγωνικό σχήμα,
έπειτα ένα στρώμα από $\displaystyle{3}$ κύβους τοποθετείται πάνω από το προηγούμενο πάλι σε τριγωνικό σχήμα
και τελικά ένας κύβος τοποθετείται σαν τέταρτο στρώμα στο κέντρο του τρίτου στρώματος.
Οι κύβοι του πρώτου στρώματος αριθμούνται από $\displaystyle{1}$ εώς $\displaystyle{10}$ με κάποια σειρά.
Κάθε κύβος στα στρώματα $\displaystyle{2,3}$ και $\displaystyle{4}$ παίρνει ως αριθμό το άθροισμα των τριών κύβων στους οποίους κάθεται.
Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός που μπορεί να δοθεί στον κύβο που βρίσκεται στην κορυφή;

a) $\displaystyle{55}$ b) $\displaystyle{83}$ c) $\displaystyle{114}$ d) $\displaystyle{137}$ e) $\displaystyle{144}$

: Eykleidhs_1992 22o.JPG (11.14 KiB) Προβλήθηκε 2518 φορές

23. Τα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{D }$ βρίκονται στην περιφέρεια ενός κύκλου διαμέτρου $\displaystyle{1}$ και το $\displaystyle{X}$ βρίσκεται επί της διαμέτρου $\displaystyle{AD}$ .
Αν $\displaystyle{BX=CX }$ και $\displaystyle{3\widehat{BAC}=\widehat{BXC}={\color{red}36^ o}}$ , τότε $\displaystyle{AX=}$

a) $\displaystyle{ \frac{ \sigma \upsilon \nu 6^o \sigma \upsilon \nu 12^o }{ \sigma \upsilon \nu 18^o}}$

b) $\displaystyle{ \frac{ \sigma \upsilon \nu 6^o \eta \mu 12^o }{\eta \mu 18^o}}$

c) $\displaystyle{\frac{ \sigma \upsilon \nu 6^o \eta \mu 12^o }{ \sigma \upsilon \nu 18^o }}$

d) $\displaystyle{ \frac{ \eta \mu 6^o \eta \mu 12^o }{\eta \mu 18^o}}$

e) $\displaystyle{ \frac{ \eta \mu 6^o \eta \mu 12^o }{ \sigma \upsilon \nu 18^o}}$

: Eykleidhs_1992 23o.JPG (4.42 KiB) Προβλήθηκε 2518 φορές

24. Ένα κουτί περιέχει $\displaystyle{3}$ αστραφτερές δραχμές και $\displaystyle{4}$ σκουριασμένες.
Αφαιρούμε τις δραχμές τυχαία και μία-μία από το κουτί χωρίς να τις αντικαθιστούμε.
Αν η πιθανότητα να χρειαστεί να ξεπεράσουμε την τετάρτη αφαίρεση για να αφαιρεθεί από το κουτί
και η τρίτη αστραφτερή δραχμή είναι $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ σε μορφή ανάγωγου κλάσματος, τότε $\displaystyle{a+b=}$

a) $\displaystyle{11}$ b) $\displaystyle{20}$ c) $\displaystyle{35}$ d) $\displaystyle{58}$ e) $\displaystyle{66}$

Τα υπόλοιπα 6 ερωτήματα δίνονται παρακάτω, διότι υπάρχει περιορισμός για 5 συνημμένα σχήματα και ήδη τον φτάσαμε.

edit's
1.Προσθήκη ερωτήματος στο 21, ευχαριστώ τον Ηλία (hlkampel) που το πρόσεξε
2. Διόρθωση απάντησης πολλαπλής στο 11
3. Διόρθωση τονισμού και τυπογραφικού στο 18
4. Διόρθωση αριθμών στο 2, ευχαριστώ τον Θανάση (mathfinder) που το πρόσεξε
5. Διόρθωση αριθμoύ στο 17
6. Διόρθωση απάντησης στο 9
7. Συμπλήρωση αριθμού στο 23, ευχαριστώ τον Δημήτρη (Ιωάννου) που το πρόσεξε

parmenides51 · #2

25. Έστω $\displaystyle{S }$ το σύνολο των σημείων που κείνται στις δυο ημιευθείες που αποτελούν τις πλευρές μιας γωνίας $\displaystyle{120^o }$
και έστω $\displaystyle{P}$ ένα σταθερό σημείο μέσα στη γωνία και επί της διχοτόμου της γωνίας.
Θεωρούμε όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα $\displaystyle{PQR}$ όπου $\displaystyle{Q}$ και $\displaystyle{ R}$ ανήκουν στο $\displaystyle{S}$ ( τα $\displaystyle{Q,R}$ μπορεί να βρίσκονται στην ίδια
ή σε διαφορετικές πλευρές της γωνίας , η ανταλλαγή των $\displaystyle{Q }$ και $\displaystyle{R}$ δεν θεωρείται ότι σχηματίζει διαφορετικά τρίγωνα).
Υπάρχουν

a) ακριβώς $\displaystyle{2}$ τέτοια τρίγωνα
b) ακριβώς $\displaystyle{3}$ τέτοια τρίγωνα
c) ακριβώς $\displaystyle{7}$ τέτοια τρίγωνα
d) ακριβώς $\displaystyle{15}$ τέτοια τρίγωνα
e) πάνω από $\displaystyle{15}$ τέτοια τρίγωνα

: Eykleidhs_1992 25o.JPG (1.52 KiB) Προβλήθηκε 2517 φορές

26. Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση
$\displaystyle{f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}}$ , $\displaystyle{ {\color{red}x}$ πραγματικός

a) $\displaystyle{ \sqrt7 -1}$ b) $\displaystyle{ 3}$ c) $\displaystyle{2\sqrt3 }$ d) $\displaystyle{ 4}$ e) $\displaystyle{\sqrt{55}-\sqrt5 }$

27. Οι πλευρές του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ έχουν μήκη $\displaystyle{6,8}$ και $\displaystyle{10}$ .
Ένας κύκλος κέντρου $\displaystyle{P }$ κι ακτίνας $\displaystyle{1}$ κυλιέται στο εσωτερικό του $\displaystyle{ABC}$ παραμένοντας εφαπτόμενος σε τουλάχιστον μια πλευρά του τριγώνου.
Πόση απόσταση ταξίδεψε το κέντρο $\displaystyle{P}$ από τη στιγμή που ξεκίνησε η κύλιση μέχρι την επαναφορά του στην αρχική θέση;

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{12}$ c) $\displaystyle{14}$ d) $\displaystyle{15}$ e) $\displaystyle{17}$

: Eykleidhs_1992 27o.JPG (2.97 KiB) Προβλήθηκε 2517 φορές

28. Πόσα τρίγωνα θετικού εμβαδού υπάρχουν με κορυφές στο επίπεδο με ακέραιες συντεταγμένες $\displaystyle{x,y}$ όταν $\displaystyle{1\le x \le 4}$ και $\displaystyle{1 \le y \le 4}$ ;

a) $\displaystyle{496}$ b) $\displaystyle{ 500}$ c) $\displaystyle{512}$ d) $\displaystyle{516}$ e) $\displaystyle{560}$

29. Ποια από τα ακόλουθα σύνολα ΔΕΝ μπορούν να αποτελούνται από τα μήκη των εξωτερικών διαγωνίων ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου;
(εξωτερική διαγώνιος = διαγώνιος μιας έδρας )

a) $\displaystyle{\{4,5,6\} }$ b) $\displaystyle{\{4,5,7\}}$ c) $\displaystyle{\{4,6,7\}}$ d) $\displaystyle{\{5,6,7\}}$ e) $\displaystyle{\{5,7,8\}}$

30. Έστω οτι $\displaystyle{0 \le x_o <1}$ και $\displaystyle{x_n=\begin{cases} 2x_{n-1}& \alpha \nu \,\, 2x_{n-1}<1 \\ 2x_{n-1} -1 & \alpha \nu \,\, 2x_{n-1}\ge 1 \end{cases}}$
για όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{n}$ . Για πόσες τιμές του $\displaystyle{x_o}$ ισχύει $\displaystyle{x_o =x_5}$ ;

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{1}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{31}$ e) άπειρες το πλήθος

Παράκληση:
Καλύτερα για τα παραπάνω ερωτήματα πολλαπλής να δοθεί αναλυτική λύση, σαν να ήταν ανάπτυξης.

edit's
1. Αντικατάσταση της λέξης ''παραλληλογράμμου'' με την λέξη ''παραλληλεπίπεδου'' ως πιο πιθανή, βάσει των συμφραζομένων στο 29
2. Διόρθωση τυπογραφικού στο 26

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:
6. $\displaystyle{\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^{4}+4^{11}}}=}$

a) $\displaystyle{\sqrt2}$ b) $\displaystyle{16}$ c) $\displaystyle{32}$ d) $\displaystyle{12^{\frac{2}{3}}}$ e) $\displaystyle{ 512,5}$

Καλησπέρα.Η σωστή απάντηση είναι το b) $\displaystyle{16}$ .

Πράγματι,

$\displaystyle{\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^{4}+4^{11}}}=}$

$\displaystyle{=\sqrt{\frac{(2^3)^{10}+(2^2)^{10}}{(2^3)^{4}+(2^2)^{11}}}$

$\displaystyle{=\sqrt{\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}}$

$\displaystyle{=\sqrt{\frac{2^{20}\left[2^{10}+1\right]}{2^{12}\left[2^{10}+1\right]}}$

$\displaystyle{=\sqrt{2^8}}$

$\displaystyle{=\sqrt{(2^4)^{2}}}$

$\displaystyle{=2^4}$

$\displaystyle{=16}$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε: 21. Έστω $\displaystyle{a_1,a_2, ..., a_k}$ μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδος με $\displaystyle{a_4 +a_7 + a_{10}=17}$ και

$\displaystyle{ a_4 +a_5 + a_6+a_7 +a_8 + a_9+ a_{10}+ a_{11}+ a_{12}+ a_{13}+ a_{14}=77}$

Αν $\displaystyle{{\color{red}a_k=13}}$ τότε $\displaystyle{{\color{red}k=}}$

a) $\displaystyle{16}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{18}}}$ c) $\displaystyle{20}$ d) $\displaystyle{22}$ e) $\displaystyle{24}$

Σωστή απάντηση η γιατί:

Αν ${\alpha _1}$ ο πρώτος όρος της προόδου και $\omega$ η διαφορά της, τότε:

$\displaystyle{{\alpha _4} + {\alpha _7} + {\alpha _{10}} = 17 \Leftrightarrow {\alpha _1} + 3\omega + {\alpha _1} + 6\omega + {\alpha _1} + 9\omega = 17 \Leftrightarrow 3{\alpha _1} + 18\omega = 17}$ (1)

${\alpha _4} + {\alpha _5} + \cdot \cdot \cdot + {\alpha _{14}} = 77 \Leftrightarrow {S_{14}} - {S_3} = 77 \Leftrightarrow$

$7\left( {2{\alpha _1} + 13\omega } \right) - \frac{3}{2}\left( {2{\alpha _1} + 2\omega } \right) = 77 \Leftrightarrow {\alpha _1} + 8\omega = 7 \Leftrightarrow {\alpha _1} = 7 - 8\omega$ (2)

Αντικαθιστώντας στην (1) έχω:

$3\left( {7 - 8\omega } \right) + 18\omega = 17 \Leftrightarrow \omega = \frac{2}{3}$

Από τη (1) παίρνουμε: $3{\alpha _1} + 18 \cdot \frac{2}{3} = 17 \Leftrightarrow {\alpha _1} = \frac{5}{3}$

${\alpha _\kappa } = 13 \Leftrightarrow {\alpha _1} + \left( {\kappa - 1} \right)\omega = 13 \Leftrightarrow \frac{5}{3} + \frac{2}{3}\left( {\kappa - 1} \right) = 13 \Leftrightarrow \kappa = 18$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\ne 0}$ , ορίζουμε $\displaystyle{\fbox{a,b,c} = a^b-b^c+c^a}$ .
Αν υπολογίσουμε το $\displaystyle{\fbox{1,-1,2} }$ , θα βρούμε

a) $\displaystyle{-4}$ b) $\displaystyle{-2}$ c) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{0}}}$ d) $\displaystyle{2}$ e) $\displaystyle{4}$

$\displaystyle{\fbox{1,-1,2} =1^{-1}-(-1)^2+2^1=-1-1+2=0}$

parmenides51 έγραψε:3. $\displaystyle{\frac{15^{30}}{45^{15}}=}$

α) $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{15}}$ β) $\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}$ γ) $\displaystyle{1}$ δ) $\displaystyle{3^{15}}$ ε) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{5^{15}}}}$

$\displaystyle{\frac{15^{30}}{45^{15}}=(3\cdot 5)^{30}}{(5\cdot 9)^{15}}=\frac{3^{30}5^{30}}{5^{15}9^{15}}}$

$\displaystyle{=\frac{3^{30}5^{30-15}}{(3^2)^{15}}=\frac{3^{30}5^{15}}{(3^2 \cdot 15}}=\frac{3^{30}5^{15}}{3^{30}}=5^{15}}$

parmenides51 έγραψε:4. Ορίζουμε την πράξη '' $\displaystyle{\circ}$ '' με $\displaystyle{x \circ y =4x-3y+xy}$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .
Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση $\displaystyle{3 \circ y =12}$ ;

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{41}$ c) $\displaystyle{3}$ d) $\displaystyle{4}$ e) περισσότερες από $\displaystyle{{\color{red}4}}$

$\displaystyle{3 \circ y =4\cdot 3-3y+3y=12 +0y =12 \Rightarrow 0y=0}$ εξίσωση με άπειρες λύσεις στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

parmenides51 έγραψε:5. Πέρυσι μια μοτοσυκλέτα κόστιζε $\displaystyle{160.000}$ δρχ. και το κράνος $\displaystyle{40.000}$ δρχ.
Φέτος το κόστος της μοτοσυκλέτας αυξήθηκε κατά $\displaystyle{5\% }$ και το κόστος του κράνους αυξήθηκε κατά $\displaystyle{10\%}$ .
Κατά πόσο τοις εκατό αυξήθηκε το συνολικό κόστος μοτοσυκλέτας και κράνους;

a) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{6\%}}}$ b) $\displaystyle{7\%}$ c) $\displaystyle{7,5\%}$ d) $\displaystyle{8\% }$ e) $\displaystyle{15\%}$

το νέο κόστος της μοτοσυκλέτας είναι $\displaystyle{105\% \cdot 160.000 =\frac{105}{100}\cdot 160.000= 105 \cdot 1600=168.000 }$
το νέο κόστος του κράνους είναι $\displaystyle{110\% \cdot 40.000 =\frac{110}{100}\cdot 40.000= 11 \cdot 40.000=44.000 }$

το νέο συνολικό κόστος είναι $\displaystyle{168.000 +44.000=212.000}$
το αρχικό συνολικό κόστος είναι $\displaystyle{160.000 +40.000=200.000}$

Σε αρχικό συνολικό κόστος $\displaystyle{200.000}$ έχουμε μεταβολή $\displaystyle{212.000-200.000=12.000}$
Σε αρχικό συνολικό κόστος $\displaystyle{100}$ θα έχουμε μεταβολή αντίστοιχα $\displaystyle{x}$

$\displaystyle{\frac{200.000}{100}=\frac{12.000}{x} \Leftrightarrow 2.000x=12.000 \Leftrightarrow \frac{2.000x}{2.000}=\frac{12.000}{2.000}\Leftrightarrow x= 6}$ άρα $\displaystyle{6\%}$

parmenides51 έγραψε:12. Αν $\displaystyle{f(2x)=\frac{2}{2+x}}$ για όλα τα $\displaystyle{ x>0}$ , τότε $\displaystyle{2f(x)=}$

a) $\displaystyle{\frac{2}{1+x}}$ b) $\displaystyle{\frac{2}{2+x}}$ c) $\displaystyle{ \frac{4}{1+x}}$ d) $\displaystyle{ \frac{4}{2+x}}$ e) $\displaystyle{{\color{red}\frac{8}{4+x}}}}$

$\displaystyle{f(2x)=\frac{2}{2+x}}$

θέτω $\displaystyle{2x=y \Leftrightarrow x=\frac{y}{2}}$

άρα $\displaystyle{f(y)=\frac{2}{2+\displaystyle\frac{y}{2}}}$

για $\displaystyle{y=x}$

$\displaystyle{f(x)=\frac{2}{2+\displaystyle\frac{x}{2}}}$

άρα $\displaystyle{2f(x)=2\cdot \frac{2}{2+\displaystyle\frac{x}{2}}=\frac{4}{\displaystyle\frac{4}{2}+\frac{x}{2}}=\frac{\displaystyle\frac{4}{1}}{\displaystyle\frac{4+x}{2}}=\frac{8}{4+x}}$

Υ.Γ. το κόκκινο κουτάκι σε $\displaystyle{\LaTeX}$ είναι {\color{red}\fbox{...}} δηλαδή το $\displaystyle{{\color{red}\fbox{...}}$

hlkampel · #6

parmenides51 έγραψε: 14. Σ' ένα κυρτό πεντάγωνο $\displaystyle{ABCDE}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat{A}=\widehat{B}=120^o}$ , $\displaystyle{EA=AB=BC=2}$ και $\displaystyle{CD=DE=4}$ .
Το εμβαδόν του $\displaystyle{ABCDE}$ είναι

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{{7\sqrt3}}}}$ c) $\displaystyle{15 }$ d) $\displaystyle{9\sqrt3}$ e) $\displaystyle{12\sqrt5}$

Σωστή απάντηση η b γιατί:

Έστω $EM \bot AB$ και $CN \bot AB$ , τότε τα ορθογώνια τρίγωνα AME

και

είναι ίσα αφού AE = CB = 2

και $\widehat {EAM} = \widehat {CBN} = 60^\circ$ .

Έτσι EM = CN

, δηλαδή το MNCE

είναι ορθογώνιο $\left( {EM// = CN,\;\;\widehat {CNB} = 90^\circ } \right)$ και το ABCE

είναι τραπέζιο.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα AME

και

είναι $AM = BN = \frac{{AE}}{2} = 1$ αφού οι απέναντι γωνίες τους είναι $30^\circ$

EC = MN = 1 + 2 + 1 = 4

, δηλαδή το τρίγωνο DEC

είναι ισόπλευρο.

Από Πυθ. θεώρημα στο AME

είναι $E{M^2} = A{E^2} - A{M^2} \Rightarrow EM = \sqrt 3$

$\left( {ABCDE} \right) = \left( {DEC} \right) + \left( {ABCE} \right) \Rightarrow \left( {ABCDE} \right) = \frac{{16\sqrt 3 }}{4} + \frac{{4 + 2}}{2} \cdot \sqrt 3 \Rightarrow$

$\left( {ABCDE} \right) = 4\sqrt 3 + 3\sqrt 3 \Rightarrow \left( {ABCDE} \right) = 7\sqrt 3$

BAGGP93 · #7

parmenides51 έγραψε:10. Έστω $\displaystyle{r}$ ο αριθμός που προκύπτει όταν η βάση και ο εκθέτης της δύναμης $\displaystyle{a^b }$ τριπλασιαστούν ( $\displaystyle{a,b>0}$ ).
Αν ο αριθμός $\displaystyle{r }$ ισούται με το γινόμενο των $\displaystyle{a^b}$ και $\displaystyle{x^b}$ , όπου $\displaystyle{x>0}$ , τότε $\displaystyle{x=}$

a) $\displaystyle{3}$ b) $\displaystyle{3a^2}$ c) $\displaystyle{27a^2}$ d) $\displaystyle{2a^{3b}}$ e) $\displaystyle{3a^{2b}}$

Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε

$\displaystyle{r=(3a)^{3b}=(27a^3)^{b}$

Αν $\displaystyle{r=a^b\cdot x^b}$ τότε,

$\displaystyle{(27a^3)^{b}=a^b\cdot x^b}=(ax)^{b}$

ή

$\displaystyle{27a^3=ax}$

ή επειδή $\displaystyle{a>0}$

$\displaystyle{x=27a^2}$

Συνεπώς,σωστή είναι η απάντηση c) $\displaystyle{27a^2}$

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:11. Αν $\displaystyle{\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2}$ , τότε πόσα ψηφία έχει ο αριθμός $\displaystyle{x}$ στη βάση $\displaystyle{10}$ ; (εδώ $\displaystyle{\log_2}$ σημαίνει λογάριθμος με βάση $\displaystyle{2}$ )

a) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{5}}}$ b) $\displaystyle{7}$ c) $\displaystyle{9}$ d) $\displaystyle{11}$ e) $\displaystyle{13}$

$\displaystyle{\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2 \Leftrightarrow \log_2(\log_2(x))=2^2 \Leftrightarrow \log_2(x)=2^4 }}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x=2^{16}=2^{10}2^6=1024\cdot 64=65536 }$

άρα έχει $\displaystyle{5}$ ψηφία στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Υ.Γ. Θα πρότεινα να τελειώνουν οι όποιες άλυτες που υπάρχουν στα θέματα Ευκλείδη
και μετά να συνεχίσουμε στις εκκρεμότητες από θέματα Αρχιμήδη.

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 2, 7, 8, 9, 13, 15-20, 22-30

parmenides51 · #9

parmenides51 έγραψε:18. Ο Γιάννης και η Μαρία αρχίζουν δουλειά την ίδια μέρα.
Ο Γιάννης δουλεύει $\displaystyle{3}$ μέρες και την τέταρτη έχει ρεπό.
Η Μαρία δουλεύει $\displaystyle{7}$ μέρες και έπειτα έχει $\displaystyle{3}$ μέρες ρεπό.
Το πρόγραμμα εργασίας επαναλαμβάνεται.
Στις πρώτες $\displaystyle{1.000}$ μέρες, πόσες μέρες θα έχουν και οι δυο ρεπό;

a) $\displaystyle{48}$ b) $\displaystyle{50}$ c) $\displaystyle{72}$ d) $\displaystyle{75}$ e) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{{100}}$

Ο Γιάννης έχει ρεπό την τέταρτη μέρες από τις $\displaystyle{4}$ του προγράμματος του, και η Μαρία την $\displaystyle{8}$ η, $\displaystyle{9}$ η και $\displaystyle{10}$ η από τις $\displaystyle{10}$ του προγράμματος του.

Το πρόγραμμα εργασίας τους επαναλαμβάνεται του Γιάννη κάθε $\displaystyle{4}$ μέρες και της Μαρίας κάθε $\displaystyle{10}$ μέρες.

Αφού αρχίζουν δουλεία την ίδια μέρα, θα ξαναταυτίζεται η πρώτη μέρα των προγράμματος τους κάθε $\displaystyle{20}$ μέρες διότι $\displaystyle{20=EK\Pi(4,10)}$ .

Γράφουμε τις $\displaystyle{20}$ μέρες χρωματίζουμε με κόκκινο τα ρεπό του Γιάννη, με ροζ της Μαρίας και με μπλε τα κοινά τους:

$\displaystyle{1,2,3,{\color{red}4},5,6,7,{\color{blue}8},{\color{magenta}9},{\color{magenta}10},11,{\color{red}12},13,14,15,{\color{red}16},17,{\color{magenta}18},{\color{magenta}19},{\color{blue}20}}$ .

Άρα σε $\displaystyle{20}$ μέρες έχουν κοινά ρεπό την $\displaystyle{8}$ η και την $\displaystyle{20}$ η μέρα, κι επειδή τα κοινά τους ρεπό επαναλαμβάνονται κάθε $\displaystyle{20}$ μέρες
και το $\displaystyle{1000}$ περιέχει ακριβώς $\displaystyle{50}$ επαναλήψεις των $\displaystyle{20}$ ημερών, συνολικά θα έχουν $\displaystyle{2\cdot 50=100}$ κοινά ρεπό τις πρώτες $\displaystyle{1000}$ μέρες.

mathfinder · #10

parmenides51 έγραψε:
19. Πόσα διατεταγμένα ζεύγη $\displaystyle{(m,n) }$ θετικών ακεραίων είναι λύσεις της $\displaystyle{\frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1}$ ;

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{2 }$ c) $\displaystyle{3}$ d) ${\color{red}\fbox{\displaystyle{4}}}$ e) περισσότερα από $\displaystyle{4}$

Έχουμε : $\frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1\Leftrightarrow 4n+2m=mn\Leftrightarrow 4n+2m-mn-8=-8\Leftrightarrow \left(n-2 \right)\left(m-4 \right)=8$ .
Επειδή n-2>-2

και

, οι

θα είναι οι θετικοι διαιρέτες του 8 ,οπότε παίρνουμε 4 ζεύγη λύσεων. Σωστή απάντηση η ${\color{red}\fbox{(d)}}$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

parmenides51 · #11

parmenides51 έγραψε:15. Για πόσες τιμές του $\displaystyle{\nu}$ θα έχει ένα κανονικό $\displaystyle{\nu}$ - γωνο εσωτερικές γωνίες των οποίων το μέτρο σε μοίρες θα είναι ακέραιος αριθμός;

a) $\displaystyle{16}$ b) $\displaystyle{18}$ c) $\displaystyle{20}$ d) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{22}}$ e) $\displaystyle{24}$

Επειδή $\displaystyle{\phi_{\nu}=180^o-\omega_{\nu}=180^o-\frac{360^o}{\nu}}$ , το άθροισμα ακεραίων είναι ακέραιος και η γωνία $\displaystyle{360^o}$ έχει ακέραιο μέτρο σε μοίρες,
για να έχει ακέραιο μέτρο η γωνία $\displaystyle{\phi_{\nu}}$ πρέπει και αρκεί ο αριθμός $\displaystyle{\frac{360^o}{\nu}}$ να είναι ακέραιος,

δηλαδή ο θετικός ακέραιος (ως πλήθος πλευρών) $\displaystyle{\nu}$ να είναι διαιρέτης του $\displaystyle{360}$ .

Επειδή $\displaystyle{360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}$

το $\displaystyle{360}$ έχει διαιρέτες τους αριθμούς $\displaystyle{1,360,2,180,4,90,8,45,3,120,9,40,5,72,6,60,18,20,10,36,12,30,24,15}$

συνολικά $\displaystyle{24}$ ακέραιους κι επειδή θέλουμε $\displaystyle{\nu\ge 3}$ για να ορίζεται πολύγωνο, τότε το ζητούμενο είναι $\displaystyle{22}$ ακέραιοι (οι προηγούμενοι εκτός από $\displaystyle{1,2}$ ).

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 2, 7, 8, 9, 13, 16, 17 , 20, 22-30

parmenides51 · #12

parmenides51 έγραψε:8. Έστω οτι $\displaystyle{C_1}$ και $\displaystyle{C_2}$ είναι διαφορετικοί κύκλοι ακτίνας $\displaystyle{1}$ , ευρισκόμενοι στο ίδιο επίπεδο $\displaystyle{E}$ και είναι εφαπτόμενοι μεταξύ τους.
Πόσοι κύκλοι ακτίνας $\displaystyle{3}$ που κείνται στο ίδιο επίπεδο $\displaystyle{E}$ εφάπτονται και του $\displaystyle{ C_1}$ και του $\displaystyle{C_2}$ ;

a) $\displaystyle{2}$ b) $\displaystyle{4}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{6}}}$ e) $\displaystyle{8}$

: Eyclides 1992 8o.JPG (24.76 KiB) Προβλήθηκε 2193 φορές

Δίνω το σχήμα της απάντησης και χρωστάω την αναλυτική λύση, μια παρόμοια βρίσκεται εδώ
(αν δεν δοθεί αναλυτική λύση στην παραπομπή θα την λύσω εγώ ώστε να υπάρχει τουλάχιστον μια από τις δυο λυμένη στο

).

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 2, 7, 9, 13, 16, 17 , 20, 22-30

#13

parmenides51 έγραψε:
22. Είκοσι κύβοι τοποθετούνται όπως φαίνεται στο σχήμα.
Πρώτα $\displaystyle{10}$ τοποθετούνται κατά ένα τριγωνικό σχήμα.
Έπειτα τοποθετείται πάνω τους ένα στρώμα από $\displaystyle{6}$ κύβους σε τριγωνικό σχήμα,
έπειτα ένα στρώμα από $\displaystyle{3}$ κύβους τοποθετείται πάνω από το προηγούμενο πάλι σε τριγωνικό σχήμα
και τελικά ένας κύβος τοποθετείται σαν τέταρτο στρώμα στο κέντρο του τρίτου στρώματος.
Οι κύβοι του πρώτου στρώματος αριθμούνται από $\displaystyle{1}$ εώς $\displaystyle{10}$ με κάποια σειρά.
Κάθε κύβος στα στρώματα $\displaystyle{2,3}$ και $\displaystyle{4}$ παίρνει ως αριθμό το άθροισμα των τριών κύβων στους οποίους κάθεται.
Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός που μπορεί να δοθεί στον κύβο που βρίσκεται στην κορυφή;

a) $\displaystyle{55}$ b) $\displaystyle{83}$ c) $\displaystyle{114}$ d) $\displaystyle{137}$ e) $\displaystyle{144}$

Λύση:
Κατ' αρχήν το σχήμα που τελικά προκύπτει με την τοποθέτηση αυτών των κύβων είναι η ακόλουθη:

: Σειρά Κύβων 1.PNG (134.48 KiB) Προβλήθηκε 2158 φορές

Ο τελευταίος κύβος(ο εικοστός) παρουσιάζεται ανοιχτός ώστε να φαίνεται η άθροιση των αριθμών που ανήκουν στους τρεις κύβους που αυτός εδράζεται.
Το ίδιο φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα, όπου κρύφτηκαν όλοι οι κύβοι εκτός εκείνους της βάσης της πυραμίδας αυτής.:

: Σειρά Κύβων 2.PNG (101.86 KiB) Προβλήθηκε 2158 φορές

Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται και μια τυχαία τοποθέτηση των αριθμών από το 1 μέχρι και το δέκα καθώς και η πυραμιδική τους εξέλιξη.
Για να απλοποιήσουμε το συλλογισμό μας ας προβάλλουμε το σχήμα στο επίπεδο της βάσης της πυραμίδας αυτής, όπου τα κέντρα των είκοσι αυτών
κύβων θα λάβουν το ακόλουθο σχήμα:

: Σειρά Κύβων.PNG (63.01 KiB) Προβλήθηκε 2158 φορές

Στο σχήμα αυτό οι κύκλοι το μεγάλου ισόπλευρου τριγώνου φιλοξενούν τους αριθμούς $\displaystyle{a_1,a_2, ..., a_{10}$ που είναι μια τυχαία διάταξη των αριθμών $\displaystyle{1,2,..., 10}$ .
Τα πράσινα τετραγωνίδια είναι οι κύβοι του πρώτου επιπέδου(προηγούμενα σχήματα) που φιλοξενούν τους αριθμούς $\displaystyle{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6}$ και οι οποίοι
προκύπτουν από τους προηγούμενους με το γνωστό τρόπο.
Επίσης στους τρείς κόκκινους κύκλους φιλοξενούνται οι αριθμοί $\displaystyle{X,Y,Z}$ που προκύπτουν από τους $\displaystyle{b_1,b_2,..., b_6}$ με το γνωστό πάλι τρόπο.
Τέλος ο ζητούμενος αριθμός θα είναι:
$\displaystyle{M=X+Y+Z}$
Άρα αν εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο που απαιτεί το πρόβλημα θα προκύψει:

$\displaystyle{M=a_1+a_7+a_{10}+3(a_2+a_3+a_4+a_6+a_8+a_9)+6a_5}$

Ακόμα επειδή είναι:

$\displaystyle{1+2+3+..+10=55}$

ο αριθμός $\displaystyle{M}$ θα είναι:

$\displaystyle{M=(a_1+a_2+...+a_{10})+2(a_2+a_3+a_4+a_6+a_8+a_9)+5a_5=55+2(55-(a_1+a_7+a_{10}))+3a_5}$

Από την τελευταία αυτή σχέση προκύπτει ότι για να γίνει ο αριθμός $\displaystyle{M}$ ελάχιστος θα πρέπει η ποσότητα $\displaystyle{(a_1+a_7+a_{10})}$
η οποία αφαιρείται να γίνει μέγιστη. Άρα θα πρέπει οι τρεις αυτοί αριθμοί να είναι οι μεγαλύτεροι. Δηλαδή οι $\displaystyle{ 8,9,10}$ καθώς και
ο αριθμός που προστίθεται, δηλαδή ο $\displaystyle{3a_5}$ να γίνει ελάχιστος, δηλαδή $\displaystyle{a_5=1}$ .
Συμπέρασμα:
Στις κορυφές του ισοπλεύρου τριγώνου πρέπει να τοποθετήσουμε τους αριθμούς $\displaystyle{8,9,10}$ με οποιαδήποτε σειρά και στο κέντρο
του τον αριθμό $\displaystyle{1}$ . Οι άλλοι αριθμοί μπορούν να τοποθετηθούν όπως τύχει. Έτσι ο ζητούμενος αριθμός είναι:

$\displaystyle{M=55+2(55-(8+9+10))+3 \cdot 1=165-2\cdot27+3=114}$

Επομένως οι κύβοι ύστερα από αυτά εύκολα μπορούν να τοποθετηθούν ώστε να προκύψει το ελάχιστο άθροισμα για τον αριθμό $\displaystyle{M}$ .
(Περιττό να παρατεθεί το σχήμα με τους αριθμούς που βρέθηκαν)

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #14

parmenides51 έγραψε:2. Σ' ένα τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat{A}=55^o, \widehat{C}={\color{red}7}5^o}$ , ένα σημείο $\displaystyle{D}$ βρίσκεται επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$
και ένα σημείο $\displaystyle{E}$ βρίσκεται επί της πλευράς $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{DB={\color{red}BE}}$ , τότε $\displaystyle{\widehat{BED}=}$

a) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{50^o}}}$ b) $\displaystyle{55^o}$ c) $\displaystyle{60^o}$ d) $\displaystyle{65^o}$ e) $\displaystyle{70^o}$

: Eyclides 1992 2o.png (22.2 KiB) Προβλήθηκε 2067 φορές

Αφού $\displaystyle{DB=BE}}$ το τρίγωνο DBE είναι ισοσκελές με βάση την DE οπότε θέτω $\displaystyle{\widehat{BED}= \widehat{A}=x}$

$\displaystyle{\widehat{A} + \widehat{B}+\widehat{C}=180^o \Leftightarrow 55^o+x+75^o= 180^o \Leftightarrow x+130^o= 180^o \Leftightarrow x=180^o -130^o =50^o}$

parmenides51 έγραψε:7. Έστω $\displaystyle{R_k}$ ο θετικός ακέραιος ο οποίος έχει $\displaystyle{k}$ μονάδες στην παράσταση του στη βάση του $\displaystyle{10}$ .
Πχ. $\displaystyle{R_3= 111, R_5=11111}$ κλπ. Όταν ο $\displaystyle{R_{24}}$ διαιρεθεί δια του $\displaystyle{R_4}$ , το πηλίκο $\displaystyle{Q=\frac{ R_{24}}{ R_4}}$ είναι ένας ακέραιος
του οποίου η παράσταση στη βάση $\displaystyle{10}$ περιέχει μόνο μηδενικά και μονάδες. Ο αριθμός των μηδενικών στον $\displaystyle{ Q}$ είναι

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{11}$ c) $\displaystyle{12}$ d) $\displaystyle{13}$ e) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{15}}}$

$\displaystyle{R_4=1111}$

$\displaystyle{R_{24}=11...1=1111 \cdot 10^{20}+1111 \cdot 10^{16}+1111 \cdot 10^{12}+1111 \cdot 10^{8}+1111 \cdot 10^{4}+1111 \cdot 10^{0}}$

$\displaystyle{R_{24}=1111(10^{20}+10^{16}+10^{12}+10^{8}+10^{4}+10^{0})=R_4(10^{20}+10^{16}+10^{12}+10^{8}+10^{4}+10^{0})}$

άρα $\displaystyle{Q=\frac{ R_{24}}{ R_4}=10^{20}+10^{16}+10^{12}+10^{8}+10^{4}+1}$ ακέραιος γιατί προκύπτει από άθροισμα και γινόμενο ακεραίων

έχει $\displaystyle{21}$ ψηφία προφανώς , εκ των οποίων τα $\displaystyle{6}$ είναι άσοι αφού $\displaystyle{6}$ είναι οι προστιθέμενες δυνάμεις του $\displaystyle{10}$ , άρα έχει $\displaystyle{ 21-6=15}$ μηδενικά

parmenides51 έγραψε:9. Μια χώρα $\displaystyle{A}$ έχει $\displaystyle{c \%}$ του πληθυσμού του κόσμου και $\displaystyle{d\%}$ του πλούτου του κόσμου.
Μια άλλη χώρα $\displaystyle{B}$ έχει $\displaystyle{e \%}$ του πληθυσμού και $\displaystyle{f\%}$ του πλούτου του κόσμου.
Υποθέτουμε οτι οι πολίτες της $\displaystyle{A}$ συμμετέχουν ισομερώς στον πλούτο της χώρας τους και το ίδιο συμβαίνει για τους πολίτες της χώρας $\displaystyle{B}$ .
Ο λόγος του πλούτου ενός πολίτη της χώρας $\displaystyle{A}$ προς τον πλούτο ενός πολίτη της χώρας $\displaystyle{B}$ είναι

a) $\displaystyle{\frac{cd}{ef}}$ b) $\displaystyle{\frac{ce}{df}}$ c) $\displaystyle{ \frac{cf}{de}}$ d) $\displaystyle{ {\color{red}\frac{de}{cf}}}$ e) $\displaystyle{\frac{df}{ce}}$

Στον πληθυσμό $\displaystyle{A}$ :

το $\displaystyle{c \%}$ του πληθυσμού αντιστοιχεί στο $\displaystyle{d\%}$ του πλούτου
σε $\displaystyle{1}$ κάτοικο του πληθυσμού $\displaystyle{A}$ θα αντιστοιχεί το $\displaystyle{x\%}$ του πλούτου

άρα $\displaystyle{\frac{c}{1}= \frac{d}{x}\Leftrightarrow x=\frac{d}{c}}$ ο ένας κάτοικος του πληθυσμού $\displaystyle{A}$

Στον πληθυσμό $\displaystyle{B}$ :

το $\displaystyle{e \%}$ του πληθυσμού αντιστοιχεί στο $\displaystyle{f\%}$ του πλούτου
σε $\displaystyle{1}$ κάτοικο του πληθυσμού $\displaystyle{A}$ θα αντιστοιχεί το $\displaystyle{y\%}$ του πλούτου

άρα $\displaystyle{\frac{e}{1}= \frac{f}{y}\Leftrightarrow y=\frac{f}{e}}$ ο ένας κάτοικος του πληθυσμού $\displaystyle{B}$

άρα ο λόγος του πλούτου ενός πολίτη της χώρας $\displaystyle{A}$ προς τον πλούτο ενός πολίτη της χώρας $\displaystyle{B}$ είναι $\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{\displaystyle\frac{d}{c}}{\displaystyle\frac{f}{e}}=\frac{de}{cf}}$

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 13, 16, 17 , 20, 23 εώς και 30.

Καλύτερα να βοηθήσετε να λυθούν οι τελευταίες άλυτες από Ευκλείδη και μετά να ασχοληθούμε μόνο με τον Αρχιμήδη.
Όταν με το καλό τελειώσει και ο Αρχιμήδης θα αρχίσουμε να ανεβάζουμε τα θέματα του Προκριματικού.
Όποιος ενδιαφέρεται να βοηθήσει λύνοντας ας κοιτάξει στις Άλυτες σε Διαγωνισμούς ΕΜΕ ανά είδος.
Τα θέματα Θαλή 1991-94 θα ανεβούν στο μέλλον αφενός γιατί είναι όλα πολλαπλής και δεν είναι ό,τι καλύτερο να πλημμυρίσουμε το με άλυτες κι αφετέρου γιατί επίκειται ο Διαγωνισμός Αρχιμήδη τον ερχόμενο μήνα.

parmenides51 · #15

parmenides51 έγραψε:13. Ένα τετράγωνο με περίμετρο $\displaystyle{20}$ εγγράφεται σ' ένα τετράγωνο με περίμετρο $\displaystyle{28}$ .
Η μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ μιας κορυφής του εσωτερικού τετραγώνου από μια κορυφή του εξωτερικού τετραγώνου είναι

a) $\displaystyle{\sqrt{58}}$ b) $\displaystyle{\frac{7\sqrt{5} }{2}}$ c) $\displaystyle{8}$ d) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{\sqrt{65}}}}$ e) $\displaystyle{ 5\sqrt{3} }$

: Eyclides 1992 13o.png (39.35 KiB) Προβλήθηκε 2022 φορές

'Έστω $\displaystyle{ABCD}$ το τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{7}$ και $\displaystyle{KLMN}$ το εγγεγραμμένο σε αυτό τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{5}$ .

Θέτω $\displaystyle{AK=x}$ oπότε $\displaystyle{BL=CM=Dn=x}$ και $\displaystyle{KB=LC=MD=NA=7-x}$ .

Με Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{AKN}$ έχουμε $\displaystyle{AN^2+AK^2=KN^2 \Leftrightarrow (7-x)^2+x^2=5^2 \Leftrightarrow 49-14x+x^2+x^2=25}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2x^2-14x+24=0 \Leftrightarrow x^2-7x+12=0 \Leftrightarrow x=3}$ ή $\displaystyle{x=4}$ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε οτι $\displaystyle{x=3}$

οπότε η τυχαία (λόγω συμμετρίας) κορυφή $\displaystyle{N}$ του μικρού τετραγώνου απέχει από τις τις κορυφές του μεγάλου τετραγώνου αποστάσεις ίσες με

$\displaystyle{ND=x=3}$
$\displaystyle{AN=7-x=7-3=4}$
$\displaystyle{NB=\sqrt{AN^2+AB^2}=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}}$ από Πυθαγόρειο Θεώρημα
$\displaystyle{NC=\sqrt{ND^2+DC^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}}$ από Πυθαγόρειο Θεώρημα

συνεπώς η μεγαλύτερη απόσταση είναι $\displaystyle{\sqrt{65}}$

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 16, 17 , 20, 23 εως και 30.

Υ.Γ. Ανανεώθηκαν τα Φυλλάδια σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά μέχρι και 01/01/13 και άλλαξε η αρίθμηση σε version 11

parmenides51 · #16

Μια ανορθόδοξη αντιμετώπιση επειδή δεν μπορούσα να σκεφτώ κάτι καλύτερο

parmenides51 έγραψε:16. Θεωρούμε την αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,... }$
στην οποία ο $\displaystyle{\nu }$ - στός θετικός ακέραιος επαναλαμβάνεται $\displaystyle{\nu }$ φορές.
Αν διαιρέσουμε τον $\displaystyle{1993}$ -στο όρο της ακολουθίας αυτής δια του $\displaystyle{5}$ , το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{1}$ c) $\displaystyle{2}$ d) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{3}}}$ e) $\displaystyle{4}$

Οι αριθμοί $\displaystyle{1,2,3,. .., k}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $\displaystyle{1}$ και διαφορά $\displaystyle{1}$ , οπότε έχουν άθροισμα πρώτων όρων $\displaystyle{\frac{k(k+1)}{2}}$ .

Επειδή

$\displaystyle{1+2=\frac{1(2+1)}{2}=3}$ και ο $\displaystyle{3}$ ος αριθμός στην σειρά είναι το $\displaystyle{2}$
$\displaystyle{1+2+3=\frac{3(3+1)}{2}=5}$ και ο $\displaystyle{5}$ ος αριθμός στην σειρά είναι το $\displaystyle{3}$
$\displaystyle{1+2+3+4=\frac{4(4+1)}{2}=10}$ και ο $\displaystyle{10}$ ος αριθμός στην σειρά είναι το $\displaystyle{4}$
$\displaystyle{1+2+3+4+5=\frac{5(5+1)}{2}=15}$ και ο $\displaystyle{15}$ ος αριθμός στην σειρά είναι το $\displaystyle{5}$
...
ομοίως συμπεραίνουμε πως αφού $\displaystyle{1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}}$ τότε και o $\displaystyle{\frac{k(k+1)}{2}}$ - όρος της δοθείσας ακολουθίας θα είναι το $\displaystyle{k}$ .

Με δοκιμές (αναζητώντας γινόμενο διαδοχικών ακεραίων ελάχιστα μεγαλύτερο από το διπλάσιο του $\displaystyle{1993}$ )

βρίσκουμε πως $\displaystyle{63\cdot 64=\frac{4032}{2}=2016}$

άρα ο και ο $\displaystyle{2016}$ ος αριθμός στην σειρά είναι το $\displaystyle{63}$ ,

οπότε οι προηγούμενοι $\displaystyle{62}$ της όροι ( $\displaystyle{2015}$ ος, $\displaystyle{2014}$ ος, $\displaystyle{2013}$ ος ,...) θα είναι πάλι ο αριθμός $\displaystyle{63}$

άρα ο $\displaystyle{1993}$ ος όρος της θα είναι ο αριθμός $\displaystyle{63}$ ,

που έχει υπόλοιπο διαίρεσης $\displaystyle{3}$ διαιρούμενο με $\displaystyle{5}$ αφού $\displaystyle{63=5\cdot 12 +3}$

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 17 , 20, 23 εως και 30.

#17

parmenides51 έγραψε:17. Θεωρούμε τη διαίρεση του τετραγώνου σε $\displaystyle{12}$ τμήματα (οκτώ τρίγωνα και τέσσερα τετράπλευρα) όπως στο διπλανό σχήμα,
όπου όλες οι διαδοχικές γωνίες που έχουν κορυφή στο κέντρο του τετραγώνου είναι ίσες.
Έστω $\displaystyle{t}$ το εμβαδόν ενός από τα οκτώ τρίγωνα και $\displaystyle{q}$ το εμβαδόν ενός από τα τέσσερα τετράπλευρα.
Ο λόγος $\displaystyle{\frac{q}{t}=}$

a) $\displaystyle{2\sqrt3-2}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\frac{3}{2}}}$ c) $\displaystyle{ \frac{ \sqrt5 +1}{2}}$ d) $\displaystyle{\sqrt3}$ e) $\displaystyle{2}$

Eykleidhs_1992 17o.JPG

Αν $\displaystyle{x}$ είναι η μια κάθετη πλευρά του τριγώνου , τότε η άλλη προφανώς είναι $\displaystyle{\frac{2x\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}}$

Άρα $\displaystyle{t=\frac{x.x\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2}$

Τώρα $\displaystyle{q=\frac{1}{4}[(2x\sqrt{3})^2 -8t]=\frac{1}{4}[12x^2 -8\frac{\sqrt{3}}{2}x^2]=(3-\sqrt{3})x^2}$

Άρα $\displaystyle{\frac{q}{t}=\frac{(3-\sqrt{3})x^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}x^2}=\frac{2(3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2(3\sqrt{3}-3)}{3}=}$

$\displaystyle{=2(\sqrt{3}-1)}$

Άρα σωστό είναι το (α)

#18

parmenides51 έγραψε:20. Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{10z^2-3iz-k=0}$ , όπου $\displaystyle{ z}$ είναι μιγαδικός άγνωστος και $\displaystyle{i^2=-1}$ .
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

a) Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k }$ , και οι δυο ρίζες είναι καθαρά φανταστικές.
b) Για όλους τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k}$ , και οι δυο ρίζες είναι καθαρά φανταστικές.
c) Για όλους τους καθαρά φανταστικούς αριθμούς $\displaystyle{k}$ , και οι δυο ρίζες είναι πραγματικές και ρητές.
d) Για όλους τους καθαρά φανταστικούς αριθμούς $\displaystyle{k}$ , και οι δυο ρίζες είναι πραγματικές και άρρητες.
e) Για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{k }$ , καμία ρίζα δεν είναι πραγματική.

(καθαρά φανταστικός αριθμός είναι ένας αριθμός της μορφής $\displaystyle{\lambda i}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ πραγματικός)

Ας πάρουμε πρώτα την περίπτωση να είναι $\displaystyle{k\in R}$ . Θεωρούμε $\displaystyle{z=x+yi , x,y\in R}$

Τότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{10(x^2 -y^2 +2xyi)-3i(x+yi)-k=0\Rightarrow (10x^2 -10y^2 +3y-k)+(20xy-3x)i=0\Rightarrow}$

$\displaystyle{20xy-3x=0 , 10x^2 -10y^2 +3y-k=0}$

Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε $\displaystyle{x=0}$ , ή $\displaystyle{y=\frac{3}{20}}$

1η Περίπτωση: $\displaystyle{x=0}$ . Tότε η δεύτερη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{10y^2 -3y+k=0}$ . Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:

$\displaystyle{D=9-40k}$ . Aπό τις πιθανές απαντήσεις που δίνονται, παρατηρούμε ότι το (α) δεν μπορεί να ισχύει, διότι αφού $\displaystyle{k}$ ,

είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, τότε πχ για $\displaystyle{k=1}$ , είναι $\displaystyle{D=-31}$ , πράγμα άτοπο, διότι $\displaystyle{y\in R}$ .

To (b) όμως, των πιθανών απαντήσεων, μας καλύπτει, διότι αφού $\displaystyle{k<0}$ , θα έχουμε $\displaystyle{D>0}$ και άρα

$\displaystyle{y=\frac{3+\sqrt{9-40k}}{20}}$ , 'η $\displaystyle{y=\frac{3-\sqrt{9-40k}}{20}}$ , οπότε η δοσμένη εξίσωση έχει δύο φανταστικές λύσεις

τις $\displaystyle{z_1 =\frac{3+\sqrt{9-40k}}{20}i , z_2 =\frac{3-\sqrt{9-40k}}{20}i}$

Αφού ήδη έχει βρεθεί η σωστή απάντηση, δεν είναι απαραίτητο να ελέγξουμε άλλες περιπτώσεις, με δεδομένο ότι οι ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής , επιδέχονται μία μόνο επιλογή από τις πιθανές απαντήσεις που δίδονται.

Σωστό λοιπόν είναι το (b)

#19

parmenides51 έγραψε:23. Τα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{D }$ βρίκονται στην περιφέρεια ενός κύκλου διαμέτρου $\displaystyle{1}$ και το $\displaystyle{X}$ βρίσκεται επί της διαμέτρου $\displaystyle{AD}$ .
Αν $\displaystyle{BX=CX }$ και $\displaystyle{3\widehat{BAC}=\widehat{BXC}={\color{red}36^ o}}$ , τότε $\displaystyle{AX=}$

a) $\displaystyle{ \frac{ \sigma \upsilon \nu 6^o \sigma \upsilon \nu 12^o }{ \sigma \upsilon \nu 18^o}}$

b) $\displaystyle{ \frac{ \sigma \upsilon \nu 6^o \eta \mu 12^o }{\eta \mu 18^o}}$

c) $\displaystyle{\frac{ \sigma \upsilon \nu 6^o \eta \mu 12^o }{ \sigma \upsilon \nu 18^o }}$

d) $\displaystyle{ \frac{ \eta \mu 6^o \eta \mu 12^o }{\eta \mu 18^o}}$

e) $\displaystyle{ \frac{ \eta \mu 6^o \eta \mu 12^o }{ \sigma \upsilon \nu 18^o}}$

Eykleidhs_1992 23o.JPG

Έστω $\displaystyle{K}$ το κέντρο του κύκλου. Αφού είναι $\displaystyle{KB=KC , XB=XC}$ , άρα η $\displaystyle{AD}$ είναι η μεσοκάθετος του $\displaystyle{BC}$ και άρα

$\displaystyle{\widehat{DXB}=18^{o} , \widehat{DAB}=6^{o}}$ και άρα $\displaystyle{\widehat{B}=12^{o}}$

Από το τρίγωνο $\displaystyle{AXB}$ και τον νόμο ημιτόνων, έχουμε: $\displaystyle{\frac{AX}{\eta \mu 12}=\frac{AB}{\eta \mu 18}}$ , (1)

Έστω ότι η $\displaystyle{BC}$ τέμνει την $\displaystyle{AD}$ στο $\displaystyle{L}$ . Tότε από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABL}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\eta \mu 6=\frac{\frac{BC}{2}}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BC}{2\eta \mu 6}}$ , (2)

Από το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και τον νόμο ημιτόνων, έχουμε: $\displaystyle{\frac{BC}{\eta \mu 12}=2R=1\Rightarrow BC=\eta \mu 12}$ .

Άρα η σχέση (2), γράφεται: $\displaystyle{AB=\frac{\eta \mu 12}{2\eta \mu 6}}$

Τώρα η σχέση (1) γράφεται: $\displaystyle{AX=\frac{\eta \mu 12 . \eta \mu 12}{2\eta \mu 18 . \eta \mu 6}=\frac{2\eta \mu 6 \sigma \upsilon \nu 6 \eta \mu 12}{2\eta \mu 18 . \eta \mu 6}}$

$\displaystyle{=\frac{\eta \mu 12 . \sigma \upsilon \nu 6}{\eta \mu 18}}$

Άρα σωστό είναι το (b)

#20

O parmenides51 έγραψε: 29. Ποια από τα ακόλουθα σύνολα ΔΕΝ μπορούν να αποτελούνται από τα μήκη των εξωτερικών διαγωνίων ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου;
(εξωτερική διαγώνιος = διαγώνιος μιας έδρας )

a) $\displaystyle{\{4,5,6\} }$ b) $\displaystyle{\{4,5,7\}}$ c) $\displaystyle{\{4,6,7\}}$ d) $\displaystyle{\{5,6,7\}}$ e) $\displaystyle{\{5,7,8\}}$

Λύση:

: Εξωτερικές διαγώνιες.PNG (109.82 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Έστω ότι οι τρεις διαστάσεις του ορθογωνίου αυτού παραλληλεπιπέδου είναι: $\displaystyle{AB=a, \ \ AD=b,\ \ AE=c}$ .

Τότε για τις τρεις διαφορετικές "εξωτερικές" διαγωνίους αυτού θα είναι:

$\displaystyle{d_1=AC=\sqrt{a^2+b^2}, \ \ d_2= AK=\sqrt{b^2+c^2}, \ \ d_3 =AZ=\sqrt{c^2+a^2} \ \ (1)}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{d_1^2=a^2+b^2,\ \ d_2^2=b^2+c^2, \ \ d_3^2=c^2+a^2 } \ \ (2)$

Λύνοντας το σύστημα (2)(με πρόσθεση όλων των εξισώσεών του κατά μέλη κλπ) προκύπτει:

$\displaystyle{ a^2=\frac{d_1^2-d_2^2+d_3^2}{2}, \ \ b^2=\frac{d_1^2+d_2^2-d_3^2}{2}, \ \ c^2=\frac{-d_1^2+d_2^2+d_3^2}{2}} \ \ (3)$

Οι λύσεις αυτές για να είναι δεκτές θα πρέπει οι αριθμητές να είναι θετικές ποσότητες. Αυτό σημαίνει ότι μια τριάδα αριθμών $\displaystyle{(d_1,d_2,d_3)}$ για

να δίνει λύσεις στο πρόβλημα αυτό θα πρέπει να ισχύει ο κανόντας:

"Το τετράγωνο κάθε αριθμού της τριάδας αυτής να είναι μικρότερο του αθροίσματος των τετραγώνων των δύο άλλων αριθμών της τριάδας αυτής".

Σύμφωνα με τον κανόνα αυτό ελέγχουμε τις δοθείσες τριάδες και διαπιστώνουμε ότι μόνο για την δεύτερη τριάδα, δηλαδή την $\displaystyle{(4,5,7)}$ ,

δεν ισχύει ο κανόνας αυτός διότι:

$\displaystyle{ 7^2>4^2+5^2}$

Άρα η τριάδα αυτή δε μπορεί να δώσει εξωτερικές διαγώνιες για κάποιο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

Κώστας Δόρτσιος

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1992 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση