ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

1. $\displaystyle{6^6+6^6+6^6+6^6+6^6+6^6=}$

a) $\displaystyle{6^6}$ b) $\displaystyle{6^7}$ c) $\displaystyle{36^6}$ d) $\displaystyle{6^{36}}$ e) $\displaystyle{36^{36}}$

2. Αν $\displaystyle{3(4x+5\pi)=P}$ , τότε $\displaystyle{6(8x+10\pi)=}$

a) $\displaystyle{2P}$ b) $\displaystyle{4P}$ c) $\displaystyle{6P}$ d) $\displaystyle{8P}$ e) $\displaystyle{18P}$

3. Ένα κουτί περιέχει νομίσματα και χάντρες, αντικείμενα τα οποία είναι χρυσά ή αργυρά.
$\displaystyle{20\%}$ των αντικειμένων που περιέχονται στο κουτί είναι χάντρες και $\displaystyle{40\%}$ των νομισμάτων είναι αργυρά.
Ποιο είναι το ποσοστό των αντικειμένων που είναι χρυσά νομίσματα;

a) $\displaystyle{40\%}$ b) $\displaystyle{48\%}$ c) $\displaystyle{52\%}$ d) $\displaystyle{60\%}$ e) $\displaystyle{80\% }$

4. Αν $\displaystyle{m>0}$ και τα σημεία $\displaystyle{(m,3)}$ και $\displaystyle{(1,m)}$ κείνται επί μιας ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{m}$ τότε $\displaystyle{m=}$

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{\sqrt2}$ c) $\displaystyle{\sqrt3}$ d) $\displaystyle{2}$ e) $\displaystyle{\sqrt5}$

5. Αν $\displaystyle{a,b}$ και $\displaystyle{c}$ είναι θετικοί ακέραιοι και $\displaystyle{a }$ και $\displaystyle{b}$ είναι περιττοί, τότε ο $\displaystyle{3^a+(b-1)^2c}$ είναι

a) περιττός για όλες τις τιμές του $\displaystyle{c }$
b) άρτιος για όλες τις τιμές του $\displaystyle{c }$
c) περιττός αν ο $\displaystyle{c}$ είναι άρτιος, άρτιος αν $\displaystyle{c}$ περιττός
d) περιττός αν ο $\displaystyle{c}$ είναι περιττός, άρτιος αν $\displaystyle{c}$ άρτιος
e) περιττός αν ο $\displaystyle{c}$ δεν είναι πολλαπλάσιος του $\displaystyle{3}$ , άρτιος αν ο $\displaystyle{c}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$

6. Αν $\displaystyle{x>y>0}$ , τότε $\displaystyle{\frac{x^yy^x}{y^yx^x}=}$

a) $\displaystyle{(x-y)^{\frac{y}{x}}}$ b) $\displaystyle{\left(\frac{x}{y}\right)^{x-y}}$ c) $\displaystyle{1}$ d) $\displaystyle{\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}}$ e) $\displaystyle{(x-y)^{\frac{x}{y}}}$

7. Αν ο λόγος του $\displaystyle{w}$ προς τον $\displaystyle{x}$ είναι $\displaystyle{4:3}$ , του $\displaystyle{y}$ προς τον $\displaystyle{z}$ είναι $\displaystyle{3:2}$ και του $\displaystyle{z}$ προς τον $\displaystyle{x}$ είναι $\displaystyle{1:6}$ ,
ποιος είναι ο λόγος του $\displaystyle{w}$ προς τον $\displaystyle{y}$ ;

a) $\displaystyle{1:3}$ b) $\displaystyle{16:3}$ c) $\displaystyle{20:3}$ d) $\displaystyle{27:4}$ e) $\displaystyle{12:1}$

8. Ένα τετράγωνο πάτωμα είναι στρωμένο με ίσα τετράγωνα πλακάκια.
Τα πλακάκια που έχουν κοινή διαγώνιο με το πάτωμα είναι μαύρα, ενώ τα υπόλοιπα είναι άσπρα.
Αν στη στρώση υπάρχουν 101 μαύρα πλακάκια, τότε ο ολικός αριθμός άσπρων και μαύρων πλακακιών είναι

a) $\displaystyle{121}$ b) $\displaystyle{625}$ c) $\displaystyle{676}$ d) $\displaystyle{2500}$ e) $\displaystyle{2601}$

: Eykleidhs_1991 8o.JPG (3.93 KiB) Προβλήθηκε 2810 φορές

9. Πέντε ίσα ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς $\displaystyle{2\sqrt3}$ κείνται επί του ίδιου ημιεπιπέδου που ορίζεται από μια ευθεία
$\displaystyle{e}$ η οποία περιέχει μια πλευρά από κάθε τρίγωνο έτσι ώστε το μέσο κάθε πλευράς τριγώνου που κείνται στην $\displaystyle{e}$
είναι κορυφή ενός γειτονικού. Το εμβαδόν της περιοχής του επιπέδου που καλύπτεται από αυτά τε τρίγωνα είναι

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{12}$ c) $\displaystyle{15}$ d) $\displaystyle{10\sqrt3}$ e) $\displaystyle{12\sqrt3 }$

: Eykleidhs_1991 9o.JPG (2.25 KiB) Προβλήθηκε 2810 φορές

10. Ο αριθμός των θετικών ακεραίων $\displaystyle{k}$ για τους οποίους η εξίσωση $\displaystyle{kx-12=3k}$ έχει μια τουλάχιστον ακέραια λύση ως προς $\displaystyle{x}$ είναι

a) $\displaystyle{3}$ b) $\displaystyle{4}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{6}$ e) $\displaystyle{7}$

11. Ο λόγος των ακτίνων δυο ομόκεντρων κύκλων είναι $\displaystyle{1:3}$
Αν $\displaystyle{AC}$ είναι μια διάμετρος του μεγάλου κύκλου, $\displaystyle{BC}$ μια χορδή του μεγάλου κύκλου που εφάπτεται του μικρού και $\displaystyle{AB=12}$ ,
τότε η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι

a) $\displaystyle{13}$ b) $\displaystyle{18}$ c) $\displaystyle{21}$ d) $\displaystyle{24}$ e) $\displaystyle{26}$

: Eykleidhs_1991 11o.JPG (2.31 KiB) Προβλήθηκε 2810 φορές

12. Έστω $\displaystyle{ y=mx+b}$ η συμμετρική εικόνα της ευθείας $\displaystyle{x-3y+11=0}$ ως προς τον άξονα των $\displaystyle{x}$ .
Η τιμή $\displaystyle{m+b}$ είναι

a) $\displaystyle{-6}$ b) $\displaystyle{-5}$ c) $\displaystyle{-4}$ d) $\displaystyle{-3}$ e) $\displaystyle{-2}$

13. Πόσα ζεύγη θετικών ακεραίων $\displaystyle{(a,b)}$ με $\displaystyle{a+b \le 100}$ ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13}$ ;

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{5}$ c) $\displaystyle{7}$ d) $\displaystyle{9}$ e) $\displaystyle{13}$

14. Ποιες από τις ακόλουθες εξισώσεις έχουν το ίδιο γράφημα;

I. $\displaystyle{y=x-2}$
II. $\displaystyle{y=\frac{x^2-4}{x+2}}$
III. $\displaystyle{(x+2)y=x^2-4}$

15. Έστω $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Ορίζουμε μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών με $\displaystyle{z_1=0, z_{n+1}=z_n^2+{\color{red}i}}}$ για $\displaystyle{n\ge 1}$ .
Στο μιγαδικό επίπεδο, πόσο μακρυά από το $\displaystyle{O}$ είναι όρος $\displaystyle{z_{111} }$ ;

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{\sqrt2}$ c) $\displaystyle{\sqrt3}$ d) $\displaystyle{\sqrt{110}}$ e) $\displaystyle{\sqrt{2^{55}}}$

16. Αν $\displaystyle{\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}}$ όπου $\displaystyle{x,y,z}$ , είναι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle{\frac{x}{y}=}$

a) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ b) $\displaystyle{\frac{3}{5}}$ c) $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ d) $\displaystyle{\frac{5}{3}}$ e) $\displaystyle{2}$

17. Οι διψήφιοι αριθμοί από το $\displaystyle{19}$ εως το $\displaystyle{92}$ γράφονται διαδοχικά ώστε να σχηματίσουν ένα μεγάλο ακέραιο $\displaystyle{N=1{\color{red}9}202122...909192}$ .
Αν $\displaystyle{3^k}$ είναι η μεγαλύτερη δύναμη του $\displaystyle{3}$ που διαιρεί το $\displaystyle{N}$ , τότε $\displaystyle{k=}$

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{1}$ c) $\displaystyle{2}$ d) $\displaystyle{3}$ e) πάνω από $\displaystyle{3}$

18. Η αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle{a_1,a_2,a_3,..}$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{a_{n+2}=a_n+a_{n{\color{red}+}1}}$ για $\displaystyle{n{\color{red}\ge} 1}$ .
Αν $\displaystyle{a_7=120}$ , τότε $\displaystyle{a_8=}$

a) $\displaystyle{128}$ b) $\displaystyle{168}$ c) $\displaystyle{193}$ d) $\displaystyle{194}$ e) $\displaystyle{210}$

19. Για κάθε κορυφή ενός στερεού κύβου, θεωρούμε το τετράεδρο που ορίζεται από την κορυφή αυτή
και τα μέσα των τριών ακμών που συναντούνται στην κορυφή αυτή.
Το μέρος του κύβου που παραμένει μετά την αφαίρεση των οκτώ τετραέδρων που ορίζεται ως ανωτέρω λέγεται κυβοοκτάεδρο.
Το ποσοστό του όγκου του κύβου που καταλαμβάνει το κυβοοκτάεδρο προσεγγίζεται καλύτερα από το

a) $\displaystyle{75\%}$ b) $\displaystyle{78\%}$ c) $\displaystyle{81\%}$ d) $\displaystyle{84\%}$ e) $\displaystyle{87\% }$

20. Ένα μέρος ενός ''κανονικού αστεριού με $\displaystyle{n}$ κορυφές'' δείχνεται στο σχήμα.
Είναι ένα από κλειστό πολύγωνο στο οποίο οι $\displaystyle{2n}$ πλευρές είναι ίσες,
οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{A_1},\widehat{A_2},...,\widehat{A_n}}$ είναι ίσες και οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{B_1},\widehat{B_2},...,\widehat{B_n}}$ είναι ίσες.
Αν η οξεία γωνία στο $\displaystyle{A_1}$ είναι $\displaystyle{10^o}$ μικρότερη από την οξεία γωνία στο $\displaystyle{B_1}$ , τότε $\displaystyle{n=}$

a) $\displaystyle{12}$ b) $\displaystyle{18}$ c) $\displaystyle{24}$ d) $\displaystyle{36}$ e) $\displaystyle{60}$

: Eykleidhs_1991 20o.JPG (3.09 KiB) Προβλήθηκε 2810 φορές

21. Για μια πεπερασμένη ακολουθία αριθμών $\displaystyle{A=(a_1,a_2,...,a_n)}$ το κατά Cesaro άθροισμα της $\displaystyle{A}$ ορίζεται να είναι
ο αριθμός $\displaystyle{\frac{S_1+S_2,...+S_n}{n}}$ όπου $\displaystyle{S_k=a_1+a_2+...+a_k \,\,\, (1\le k \le n)}$ .
Αν το κατά Cesaro άθροισμα μιας ακολουθίας $\displaystyle{(a_1,a_2,...,a_{99})}$ είναι $\displaystyle{1000}$ , τότε το κατά Cesaro άθροισμα της ακολουθίας $\displaystyle{({\color{red}1},a_1,a_2,...,a_{9{\color{red}9}})}$ είναι

a) $\displaystyle{991}$ b) $\displaystyle{999}$ c) $\displaystyle{1000}$ d) $\displaystyle{1001}$ e) $\displaystyle{1009}$

22. Δίνονται $\displaystyle{10}$ σημεία στον θετικό άξονα των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{5}$ σημεία στον θετικό άξονα των $\displaystyle{y}$ και σχεδιάζονται τα $\displaystyle{50}$ ευθύγραμμα τμήματα
που συνδέουν τα σημεία του άξονα των $\displaystyle{x}$ με τα σημεία του άξονα των $\displaystyle{y}$ .
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός των σημείων τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που κείνται στο εσωτερικό του πρώτου τεταρτημορίου;

a) $\displaystyle{250}$ b) $\displaystyle{450}$ c) $\displaystyle{500}$ d) $\displaystyle{1250}$ e) $\displaystyle{2500}$

23. Ποιος είναι ο πληθάριθμος (αριθμός στοιχείων) του μεγαλύτερου υποσυνόλου $\displaystyle{S}$ του συνόλου $\displaystyle{\{1,2,3,...,50\}}$ τέτοιου ώστε
κανένα από τα ζεύγη διαφορετικών στοιχειών του $\displaystyle{S}$ δεν έχει άθροισμα διαιρετό δια του $\displaystyle{7}$ ;

a) $\displaystyle{6}$ b) $\displaystyle{7}$ c) $\displaystyle{14}$ d) $\displaystyle{22}$ e) $\displaystyle{23}$

24. Έστω $\displaystyle{ABCD}$ ένα παραλληλόγραμμο εμβαδού $\displaystyle{10 }$ με $\displaystyle{AB=3}$ και $\displaystyle{BC=5}$ .
Έστω $\displaystyle{E,F}$ και $\displaystyle{G}$ σημεία επί των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{AB,BC}$ και $\displaystyle{AD}$ αντίστοιχα με $\displaystyle{AE=BF=AG}$
και έστω $\displaystyle{H}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{CD}$ και της παραλλήλου προς την $\displaystyle{EF}$ αγόμενης από το $\displaystyle{G}$ .
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{EFHG}$ είναι

a) $\displaystyle{4}$ b) $\displaystyle{4,5}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{5,5}$ e) $\displaystyle{6}$

25. Σ' ένα τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat{ABC}=120^o, AB=3}$ και $\displaystyle{BC={\color{red}4}}$ .
Αν οι κάθετες που φέρονται από το $\displaystyle{A}$ επί της $\displaystyle{AB}$ και στο $\displaystyle{C}$ επί της $\displaystyle{BC }$ συναντιώνται στο $\displaystyle{D }$ , τότε $\displaystyle{DC=}$

a) $\displaystyle{3 }$ b) $\displaystyle{\frac{8}{\sqrt3}}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{\frac{11}{2}}$ e) $\displaystyle{\frac{10}{\sqrt3} }$

26. Η ημιπεριεφέρεια $\displaystyle{AB}$ έχει κέντρο $\displaystyle{C}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ . Το σημείο $\displaystyle{D}$ κείνται επί της $\displaystyle{\overset{\frown }{AB}}$ και $\displaystyle{CD \perp AB}$ .
Επεκτείνουμε τα $\displaystyle{BD}$ και $\displaystyle{AD}$ έτσι ώστε τα κυκλικά τόξα $\displaystyle{\overset{\frown }{AE}}$ και $\displaystyle{\overset{\frown }{BF}}$ έχουν τα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{A}$ ως τα αντίστοιχα κέντρα τους.
Το κυκλικό τόξο $\displaystyle{EF}$ έχει κέντρο το $\displaystyle{D}$ . Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής $\displaystyle{AEFBDA}$ είναι

a) $\displaystyle{ (2-\sqrt2)\pi}$ b) b) $\displaystyle{2\pi - \pi\sqrt2-1 }$ c) $\displaystyle{\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\pi}$ d) $\displaystyle{\frac{5\pi}{2} - \pi\sqrt2 -1}$ e) $\displaystyle{(3-2\sqrt2)\pi}$

: Eykleidhs_1991 26o.JPG (3.96 KiB) Προβλήθηκε 2810 φορές

27. Ένας κύκλος ακτίνας $\displaystyle{r }$ έχει χορδές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ μήκους $\displaystyle{10}$ και $\displaystyle{7}$ αντίστοιχα.
Όταν οι χορδές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ επεκταθούν δια μέσου των $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ αντίστοιχα, τέμνονται σ' ένα σημείο $\displaystyle{P}$ εκτός του κύκλου.
Αν $\displaystyle{\widehat{APD}=60^o}$ και $\displaystyle{BP=8}$ , τότε $\displaystyle{r^2=}$

a) $\displaystyle{70}$ b) $\displaystyle{71}$ c) $\displaystyle{72}$ d) $\displaystyle{73}$ e) $\displaystyle{74}$

28. Έστω $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Το γινόμενο των πραγματικών μερών των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{z^2-z=5-5i}$ είναι

a) $\displaystyle{-25}$ b) $\displaystyle{-6}$ c) $\displaystyle{-5}$ d) $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ e) $\displaystyle{25}$

29. Ένα κέρμα, όταν στριφτεί στον αέρα έχει πιθανότητα να φέρει ''γράμματα'' ίση με $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ .
Αν το κέρμα αυτό ριχτεί $\displaystyle{50}$ φορές, ποια είναι η πιθανότητα να είναι ο αριθμός των φορών που θα δείξει ''γράμματα'' άρτιος;

a) $\displaystyle{25 \left(\frac{2}{3}\right)^{50}}$ b) $\displaystyle{\frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{3^{50}}\right)}$ c) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ d) $\displaystyle{\frac{1}{2} \left(1+\frac{1}{3^{50}}\right)}$ e) $\displaystyle{\frac{2}{3}}$

30. Έστω $\displaystyle{ABCD }$ ένα ισοσκελές τραπέζιο με $\displaystyle{AB=92}$ και $\displaystyle{CD=19}$ .
Έστω $\displaystyle{AD=BC=x}$ και ένας κύκλος με κέντρο επί του $\displaystyle{AB}$ είναι εφαπτόμενος στα ευθ'υγραμμα τμήματα $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{BC}$ .
Αν m είναι η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{x}$ , τότε $\displaystyle{m^2=}$

a) $\displaystyle{1369}$ b) $\displaystyle{1679}$ c) $\displaystyle{1748}$ d) $\displaystyle{2109}$ e) $\displaystyle{8825}$

Παράκληση:
Καλύτερα για τα παραπάνω ερωτήματα πολλαπλής να δοθεί αναλυτική λύση, σαν να ήταν ανάπτυξης.

edit's
1. Διόρθωση αριθμού στο 25, ευχαριστώ τον Θανάση (mathfinder) που το πρόσεξε
2. Διόρθωση αριθμού στο 15
3,4. Διόρθωση αριθμού στα 17,18, ευχαριστώ τον Δημήτρη (Ιωάννου) που το πρόσεξε
5. Διόρθωση αριθμού στο 21, ευχαριστώ δις τον Μιχάλη (Λάμπρου) που το πρόσεξε

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. $\displaystyle{6^6+6^6+6^6+6^6+6^6+6^6=}$

a) $\displaystyle{6^6}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{6^7}}}$ c) $\displaystyle{36^6}$ d) $\displaystyle{6^{36}}$ e) $\displaystyle{36^{36}}$

$\displaystyle{6^6+6^6+6^6+6^6+6^6+6^6= 6 \cdot 6^6= 6^{1+6}=6^7}$

parmenides51 έγραψε:2. Αν $\displaystyle{3(4x+5\pi)=P}$ , τότε $\displaystyle{6(8x+10\pi)=}$

a) $\displaystyle{2P}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{4P}}}$ c) $\displaystyle{6P}$ d) $\displaystyle{8P}$ e) $\displaystyle{18P}$

$\displaystyle{6(8x+10\pi)= 6 \cdot 2(4x+5\pi)=12(4x+5\pi)=4\cdot 3 (4x+5\pi)=4 P}$

parmenides51 έγραψε:4. Αν $\displaystyle{m>0}$ και τα σημεία $\displaystyle{(m,3)}$ και $\displaystyle{(1,m)}$ κείνται επί μιας ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{m}$ τότε $\displaystyle{m=}$

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{\sqrt2}$ c) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{\sqrt3}}}$ d) $\displaystyle{2}$ e) $\displaystyle{\sqrt5}$

Αν $\displaystyle{m=1}$ τα σημεία είναι τα $\displaystyle{(1,1)}$ και $\displaystyle{(1,3)}$ που ανήκουν στην ευθεία x=1 της οποίας δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης.

Αν $\displaystyle{m\ne 1}$ τα σημεία ανήκουν στην ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{m=\lambda=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{m-3}{1-m} }$

$\displaystyle{\Rightarrow m-m^2=m-3 \Leftrightarrow m^2=3 \Leftrightarrow m \pm \sqrt3}$ κι επειδή $\displaystyle{m>0}$ τότε $\displaystyle{m= \sqrt3}$ .

parmenides51 έγραψε:6. Αν $\displaystyle{x>y>0}$ , τότε $\displaystyle{\frac{x^yy^x}{y^yx^x}=}$

a) $\displaystyle{(x-y)^{\frac{y}{x}}}$ b) $\displaystyle{\left(\frac{x}{y}\right)^{x-y}}$ c) $\displaystyle{1}$ d) $\displaystyle{\displaystyle{{\color{red}{\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}}}}$ e) $\displaystyle{(x-y)^{\frac{x}{y}}}$

$\displaystyle{\frac{x^yy^x}{y^yx^x}=x^{y-x}y^{x-y}=x^{y-x}y^{-1(x-y)}=(xy^{-1})^{x-y}=\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}}$

parmenides51 έγραψε:7. Αν ο λόγος του $\displaystyle{w}$ προς τον $\displaystyle{x}$ είναι $\displaystyle{4:3}$ , του $\displaystyle{y}$ προς τον $\displaystyle{z}$ είναι $\displaystyle{3:2}$ και του $\displaystyle{z}$ προς τον $\displaystyle{x}$ είναι $\displaystyle{1:6}$ ,
ποιος είναι ο λόγος του $\displaystyle{w}$ προς τον $\displaystyle{y}$ ;

a) $\displaystyle{1:3}$ b) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{16:3}}}$ c) $\displaystyle{20:3}$ d) $\displaystyle{27:4}$ e) $\displaystyle{12:1}$

$\displaystyle{\frac{w}{x}=\frac{4}{3}, \frac{y}{z}=\frac{3}{2}, \frac{z}{x}=\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{z}{y}=\frac{2}{3}, \frac{x}{z}=\frac{6}{1}}$

$\displaystyle{\frac{w}{y}=\frac{w}{x}\frac{x}{z}\frac{z}{y}=\frac{4}{3}\frac{6}{1}\frac{2}{3}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}}$

Υ.Γ. το κόκκινο κουτάκι σε $\displaystyle{\LaTeX}$ είναι {\color{red}\fbox{...}} δηλαδή το $\displaystyle{{\color{red}\fbox{...}}$

#3

parmenides51 έγραψε:3. Ένα κουτί περιέχει νομίσματα και χάντρες, αντικείμενα τα οποία είναι χρυσά ή αργυρά.
$\displaystyle{20\%}$ των αντικειμένων που περιέχονται στο κουτί είναι χάντρες και $\displaystyle{40\%}$ των νομισμάτων είναι αργυρά.
Ποιο είναι το ποσοστό των αντικειμένων που είναι χρυσά νομίσματα;

a) $\displaystyle{40\%}$ b) $\displaystyle{48\%}$ c) $\displaystyle{52\%}$ d) $\displaystyle{60\%}$ e) $\displaystyle{80\% }$

Aφού το $\displaystyle{20\%}$ των αντικειμένων είναι χάντρες, τότε τα νομίσματα θα είναι το $\displaystyle{80\%}$ των αντικειμένων.

Τα αργυρά είναι το $\displaystyle{40\%}$ των νομισμάτων, δηλαδή το $\displaystyle{40\% . 80\% =32\%}$ των αντικειμένων.

Άρα τα χρυσά θα είναι $\displaystyle{100\% -20\% -32\% =48\%}$

Δηλαδή το σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{48\%}}$

#4

parmenides51 έγραψε:5. Αν $\displaystyle{a,b}$ και $\displaystyle{c}$ είναι θετικοί ακέραιοι και $\displaystyle{a }$ και $\displaystyle{b}$ είναι περιττοί, τότε ο $\displaystyle{3^a+(b-1)^2c}$ είναι

a) περιττός για όλες τις τιμές του $\displaystyle{c }$
b) άρτιος για όλες τις τιμές του $\displaystyle{c }$
c) περιττός αν ο $\displaystyle{c}$ είναι άρτιος, άρτιος αν $\displaystyle{c}$ περιττός
d) περιττός αν ο $\displaystyle{c}$ είναι περιττός, άρτιος αν $\displaystyle{c}$ άρτιος
e) περιττός αν ο $\displaystyle{c}$ δεν είναι πολλαπλάσιος του $\displaystyle{3}$ , άρτιος αν ο $\displaystyle{c}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$

O αριθμός $\displaystyle{3^{a}}$ , είναι περιττός για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{a}$ . Ο $\displaystyle{b-1}$ , είναι άρτιος και άρα και ο $\displaystyle{(b-1)^2 .c}$ , είναι

επίσης άρτιος για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{c}$ . Άρα ο αριθμός $\displaystyle{3^{a}+(b-1)^2 .c}$ είναι περιττός για κάθε τιμή του $\displaystyle{c}$

Άρα το σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(a)}}$

#5

parmenides51 έγραψε: 8. Ένα τετράγωνο πάτωμα είναι στρωμένο με ίσα τετράγωνα πλακάκια.
Τα πλακάκια που έχουν κοινή διαγώνιο με το πάτωμα είναι μαύρα, ενώ τα υπόλοιπα είναι άσπρα.
Αν στη στρώση υπάρχουν 101 μαύρα πλακάκια, τότε ο ολικός αριθμός άσπρων και μαύρων πλακακιών είναι

a) $\displaystyle{121}$ b) $\displaystyle{625}$ c) $\displaystyle{676}$ d) $\displaystyle{2500}$ e) $\displaystyle{2601}$

Ας υποθέσουμε ότι στην μία διαγώνιο του τετραγώνου, υπάρχουν $\displaystyle{n}$ πλακάκια. Τότε τα πλακάκια στην άλλη θα είναι

$\displaystyle{n-1}$ , διότι αυτό που βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου, είναι κοινό και για τις δύο διαγωνίους του τετραγώνου.

Με βάση το πρόβλημα, έχουμε: $\displaystyle{n+n-1=101\Rightarrow n=51}$ .

Παρατηρούμε ότι σε κάθε τετράγωνο, όσα είναι τα πλακάκια της διαγωνίου του, τόσα είναι και σε κάθε πλευρά του.

Άρα κάθε πλευρά του τετραγώνου, αποτελείται από $\displaystyle{51}$ πλακάκια.

Συνεπώς όλα τα πλακάκια που υπάρχουν στο τεράγωνο είναι $\displaystyle{51.51=2601}$

Άρα το σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(e)}}$

#6

parmenides51 έγραψε:9. Πέντε ίσα ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς $\displaystyle{2\sqrt3}$ κείνται επί του ίδιου ημιεπιπέδου που ορίζεται από μια ευθεία
$\displaystyle{e}$ η οποία περιέχει μια πλευρά από κάθε τρίγωνο έτσι ώστε το μέσο κάθε πλευράς τριγώνου που κείνται στην $\displaystyle{e}$
είναι κορυφή ενός γειτονικού. Το εμβαδόν της περιοχής του επιπέδου που καλύπτεται από αυτά τε τρίγωνα είναι

a) $\displaystyle{10}$ b) $\displaystyle{12}$ c) $\displaystyle{15}$ d) $\displaystyle{10\sqrt3}$ e) $\displaystyle{12\sqrt3 }$

Tο κάθε "μεγάλο" ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά $\displaystyle{2\sqrt{3}}$ και εμβαδόν $\displaystyle{\frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}}$

Tο κάθε "μικρό" ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά $\displaystyle{\sqrt{3}}$ και εμβαδόν $\displaystyle{\frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}}$

To ζητούμενο εμβαδόν, εύκολα βλέπουμε ότι ισούται με $\displaystyle{5.(3\sqrt{3}) -4(\frac{3\sqrt{3}}{4}) =12\sqrt{3}}$

Άρα σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(e)}}$

mathfinder · #7

parmenides51 έγραψε:10. Ο αριθμός των θετικών ακεραίων $\displaystyle{k}$ για τους οποίους η εξίσωση $\displaystyle{kx-12=3k}$ έχει μια τουλάχιστον ακέραια λύση ως προς $\displaystyle{x}$ είναι

a) $\displaystyle{3}$ b) $\displaystyle{4}$ c) $\displaystyle{5}$ d) ${\color{red}\fbox{6}}$ e) $\displaystyle{7}$

Είναι για $k\neq 0$ : $x=3+\frac{12}{k}$ . Για να είναι ο

ακέραιος πρέπει ο

να είναι διαιρέτης του

και αφού είναι θετικός , k=1,2,3,4,6,12

, δηλ. σωστή η απάντηση ${\color{red}\fbox{6}}$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

mathfinder · #8

parmenides51 έγραψε: 11. Ο λόγος των ακτίνων δυο ομόκεντρων κύκλων είναι $\displaystyle{1:3}$
Αν $\displaystyle{AC}$ είναι μια διάμετρος του μεγάλου κύκλου, $\displaystyle{BC}$ μια χορδή του μεγάλου κύκλου που εφάπτεται του μικρού και $\displaystyle{AB=12}$ ,
τότε η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι

a) $\displaystyle{13}$ b) ${\color{red}\fbox{\displaystyle{18}}}$ c) $\displaystyle{21}$ d) $\displaystyle{24}$ e) $\displaystyle{26}$

Επειδή το

μέσο της διαμέτρου

και

έχουμε : $OM=\frac{AB}{2}=6$ . Άρα η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι R=3OM=18

, άρα σωστή η απάντηση ${\color{red}\fbox{(b)}}$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

#9

parmenides51 έγραψε: 12. Έστω $\displaystyle{ y=mx+b}$ η συμμετρική εικόνα της ευθείας $\displaystyle{x-3y+11=0}$ ως προς τον άξονα των $\displaystyle{x}$ .
Η τιμή $\displaystyle{m+b}$ είναι

a) $\displaystyle{-6}$ b) $\displaystyle{-5}$ c) $\displaystyle{-4}$ d) $\displaystyle{-3}$ e) $\displaystyle{-2}$

H δοσμένη ευθεία τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο $\displaystyle{A(-11,0)}$ και των τεταγμένων στο σημείο $\displaystyle{B(0,\frac{11}{3}}$ .

Άρα η συμμετρική της ως προς τον άξονα $\displaystyle{x{'}x}$ , θα τέμνει τον τον άξονα αυτό στο ίδιο σημείο Α, ενώ τον άξονα των

τεταγμένων θα τον τέμνει στο σημείο $\displaystyle{C(0,-\frac{11}{3}}$ . Kαι αφού η συμμετρική έχει εξίσωση $\displaystyle{y=mx+b}$ , θα πρέπει:

$\displaystyle{0=-11m+b , -\frac{11}{3}=0x+b}$ , και από το σύστημα αυτό παίρνουμε: $\displaystyle{b=-\frac{11}{3} , m=-\frac{1}{3}}$ και άρα:

$\displaystyle{m+b=-4}$

Άρα σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(c)}}$

#10

parmenides51 έγραψε:13. Πόσα ζεύγη θετικών ακεραίων $\displaystyle{(a,b)}$ με $\displaystyle{a+b \le 100}$ ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13}$ ;

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{5}$ c) $\displaystyle{7}$ d) $\displaystyle{9}$ e) $\displaystyle{13}$

Έχουμε: $\displaystyle{\frac{ab+1}{b}=13\frac{ab+1}{a}}$ και αφού οι αριθμοί $\displaystyle{a,b}$ είναι θετικοί ακέραιοι, άρα πρέπει

$\displaystyle{\frac{1}{b}=\frac{13}{a}\Rightarrow a=13b}$ . Αλλά είναι $\displaystyle{a+b\leq 100\Rightarrow 13b+b\leq 100\Rightarrow}$

$\displaystyle{b\leq \frac{100}{14}\Rightarrow b\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}$ και άρα :

$\displaystyle{(a,b)\in \{(1,13),(2,26),(3,39),(4,52),(5,65),(6,78),(7,91)\}}$

Άρα το σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(c)}}$

mathfinder · #11

parmenides51 έγραψε:16. Αν $\displaystyle{\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}}$ όπου $\displaystyle{x,y,z}$ , είναι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle{\frac{x}{y}=}$

a) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ b) $\displaystyle{\frac{3}{5}}$ c) $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ d) $\displaystyle{\frac{5}{3}}$ e) ${\color{red}\fbox{{2}}}$

Είναι $\displaystyle{\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}}=\frac{y+x+y+x}{x-z+z+y}=\frac{2\left(x+y \right)}{x+y}=2$ , άρα σωστή η ${\color{red}\fbox{(e)}}$

Αθ. Μπεληγιάννης

#12

parmenides51 έγραψε:14. Ποιες από τις ακόλουθες εξισώσεις έχουν το ίδιο γράφημα;

I. $\displaystyle{y=x-2}$
II. $\displaystyle{y=\frac{x^2-4}{x+2}}$
III. $\displaystyle{(x+2)y=x^2-4}$

Aπό την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε την συνάρτηση $\displaystyle{y=x-2}$ , με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R}$

Από την δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε την συνάρτηση $\displaystyle{y=x-2}$ , με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R-\{-2\}}$

Από την τρίτη εξίσωση, παίρνουμε την συνάρτηση $\displaystyle{y=x-2}$ , με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R-\{-2\}}$ , αλλά για $\displaystyle{x=-2}$ ,

η εξίσωση είναι ταυτότητα, δηλαδή αν $\displaystyle{x=-2}$ , τότε $\displaystyle{y\in R}$ . Tο γράφημα λοιπόν της εξίσωσης αυτής είναι η ευθεία

$\displaystyle{y=x-2}$ , μαζί με την κατακόρυφη ευθεία $\displaystyle{x=2}$ .

Άρα καμία από τις παραπάνω εξισώσεις δεν έχει ίδιο γράφημα με κάποια από τις άλλες.

mathfinder · #13

parmenides51 έγραψε:20. Ένα μέρος ενός ''κανονικού αστεριού με $\displaystyle{n}$ κορυφές'' δείχνεται στο σχήμα.
Είναι ένα από κλειστό πολύγωνο στο οποίο οι $\displaystyle{2n}$ πλευρές είναι ίσες,
οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{A_1},\widehat{A_2},...,\widehat{A_n}}$ είναι ίσες και οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{B_1},\widehat{B_2},...,\widehat{B_n}}$ είναι ίσες.
Αν η οξεία γωνία στο $\displaystyle{A_1}$ είναι $\displaystyle{10^o}$ μικρότερη από την οξεία γωνία στο $\displaystyle{B_1}$ , τότε $\displaystyle{n=}$

a) $\displaystyle{12}$ b) $\displaystyle{18}$ c) $\displaystyle{24}$ d) ${\color{red}\fbox{\displaystyle{36}}}$ e) $\displaystyle{60}$

Με τη βοήθεια του συνημμένου σχήματος έχουμε ότι η γωνία φ του κανονικού ν-γώνου είναι : $\phi =360^{0}-\left(2y+x+10^{0} \right)=360^{0}-190^{0}=170^{0}$ . Οπότε $180^{0}-\frac{360^{0}}{n}=170^{0}\Rightarrow n=36$ , δηλ. σωστή η απάντηση ${\color{red}\fbox{(d)}}$

mathfinder · #14

parmenides51 έγραψε:25. Σ' ένα τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχουμε $\displaystyle{\widehat{ABC}=120^o, AB=3}$ και $\displaystyle{BC={\color{red}4}}$ .
Αν οι κάθετες που φέρονται από το $\displaystyle{A}$ επί της $\displaystyle{AB}$ και στο $\displaystyle{C}$ επί της $\displaystyle{BC }$ συναντιώνται στο $\displaystyle{D }$ , τότε $\displaystyle{DC=}$

a) $\displaystyle{3 }$ b) $\displaystyle{\frac{8}{\sqrt3}}$ c) $\displaystyle{5}$ d) $\displaystyle{\frac{11}{2}}$ e) $\displaystyle{\frac{10}{\sqrt3} }$

Το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγράψιμο αφού έχει δύο γωνίες απέναντι ορθές , οπότε η

είναι διάμετρος και η γωνία $\hat{D}=60^{0}$ , οπότε η επίκεντρη $A\hat{O}C=120^{0}$ .
Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC

βρίσκουμε $AC^{2}=37$ και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο AOC

βρίσκουμε $r^{2}=\frac{37}{3}$ . Με εφαρμογή του Πυθαγορείου στο ορθογώνιο τρίγωνο BCD

βρίσκουμε $DC^{2}=\frac{100}{3}\Rightarrow DC=\frac{10}{\sqrt{3}}$ . Άρα σωστή η απάντηση ${\color{red}\fbox{(e)}}$ .

parmenides51 · #15

Η σταθερά στην αναδρομική σχέση στην άσκηση 15 είναι

και όχι

.

Ζητώ συγγνώμη από όσους ταλαιπώρησε.

#16

parmenides51 έγραψε:15. Έστω $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Ορίζουμε μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών με $\displaystyle{z_1=0, z_{n+1}=z_n^2+{\color{red}i}}}$ για $\displaystyle{n\ge 1}$ .
Στο μιγαδικό επίπεδο, πόσο μακρυά από το $\displaystyle{O}$ είναι όρος $\displaystyle{z_{111} }$ ;

a) $\displaystyle{1}$ b) $\displaystyle{\sqrt2}$ c) $\displaystyle{\sqrt3}$ d) $\displaystyle{\sqrt{110}}$ e) $\displaystyle{\sqrt{2^{55}}}$

Με επαγωγή, θα δείξω ότι: $\displaystyle{z_{2n+1}=-1+i}$ , για κάθε $\displaystyle{n\in N^{*}}$

Πράγματι, για $\displaystyle{n=1}$ , είναι $\displaystyle{z_3 =z_2 ^2 +i=(z_1 ^2 +i)^2 +i=(0+i)^2 +i=-1+i}$ , δηλαδή για $\displaystyle{n=1}$ , ισχύει.

Υποθέτω ότι ισχύει για $\displaystyle{n=k}$ , δηλαδή ότι $\displaystyle{z_{2k+1}=-1+i}$ και θα δείξω ότι θα ισχύει και για $\displaystyle{n=k+1}$ .

Πράγματι, έχουμε: $\displaystyle{z_{2(k+1)+1}=z_{2(k+1)}^2 +i=z_{2k+1+1}^2 +i=(z_{2k+1}^2 +i)^2 +i=[(-1+i)^2 +i]^2 +i=i^2 +i=-1+i}$

Άρα πράγματι ισχύει ο ισχυρισμός. Άρα $\displaystyle{z_{111}=-1+i\Rightarrow |z_{111}|=\sqrt{2}}$

Άρα σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(b)}}$

#17

parmenides51 έγραψε:17. Οι διψήφιοι αριθμοί από το $\displaystyle{19}$ εως το $\displaystyle{92}$ γράφονται διαδοχικά ώστε να σχηματίσουν ένα μεγάλο ακέραιο $\displaystyle{N=19202122...909192}$ .
Αν $\displaystyle{3^k}$ είναι η μεγαλύτερη δύναμη του $\displaystyle{3}$ που διαιρεί το $\displaystyle{N}$ , τότε $\displaystyle{k=}$

a) $\displaystyle{0}$ b) $\displaystyle{1}$ c) $\displaystyle{2}$ d) $\displaystyle{3}$ e) πάνω από $\displaystyle{3}$

Θα βρούμε το άθροισμα όλων των ψηφίων του αριθμού $\displaystyle{N}$ . Έχουμε:

$\displaystyle{\Sigma=1+9+(2+0+2+1+...+2+9)+(3+0+3+1+... +3+9)+ . . . +(8+0+8+1+... +8+9)+(9+0+9+1+9+2)=}$

$\displaystyle{=10(1+2+3+ . . . +8)+7(1+2+3+ . . . +9)+3.9+3=925}$

Όμως ο $\displaystyle{925}$ ,δεν διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ . Άρα και ο αριθμός $\displaystyle{N}$ δεν διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ ,

. Άρα $\displaystyle{k=0}$

Άρα το σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(a)}}$

Διόρθωσα ένα τυπογραφικό

parmenides51 · #18

parmenides51 έγραψε:21. Για μια πεπερασμένη ακολουθία αριθμών $\displaystyle{A=(a_1,a_2,...,a_n)}$ το κατά Cesaro άθροισμα της $\displaystyle{A}$ ορίζεται να είναι
ο αριθμός $\displaystyle{\frac{S_1+S_2,...+S_n}{n}}$ όπου $\displaystyle{S_k=a_1+a_2+...+a_k \,\,\, (1\le k \le n)}$ .
Αν το κατά Cesaro άθροισμα μιας ακολουθίας $\displaystyle{(a_1,a_2,...,a_{99})}$ είναι $\displaystyle{1000}$ , τότε το κατά Cesaro άθροισμα της ακολουθίας $\displaystyle{(a_1,a_2,...,a_{90})}$ είναι

a) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{991}}}$ b) $\displaystyle{999}$ c) $\displaystyle{1000}$ d) $\displaystyle{1001}$ e) $\displaystyle{1009}$

ξανάπεσε στον Ευκλείδη 2008-9 (λυμένη εδώ)

parmenides51 έγραψε:28. Έστω $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Το γινόμενο των πραγματικών μερών των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{z^2-z=5-5i}$ είναι

a) $\displaystyle{-25}$ b) $\displaystyle{ {\color{red}\fbox{-6}}}$ c) $\displaystyle{-5}$ d) $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ e) $\displaystyle{25}$

Έστω $\displaystyle{z=x+yi}$ με $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ έχουμε πως

$\displaystyle{z^2-z=5-5i \Leftrightarrow (x+yi)^2-(x+yi)=5-5i \Leftrightarrow x^2+2xyi-y^2 -x-yi= 5-5i }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow (x^2-x-y^2)+(2xy-y)i= 5-5i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-x-y^2=5\\ 2xy-y=-5 \end{matrix}\right}}$

οπότε $\displaystyle{2xy-y=-5 \Leftrightarrow y(2x-1)=-5 \Leftrightarrow y=\frac{-5}{2x-1}}$ κι αντικαθιστώντας στην άλλη εξίσωση έχουμε

$\displaystyle{x^2-x-\left(\frac{-5}{2x-1}\right)^2=5 \Leftrightarrow x^2(2x-1)^2- x(2x-1)^2 -25 =5(2x-1)^2 }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2(4x^2-4x+1)- x(4x^2-4x+1) -25 =5(4x^2-4x+1)}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 4x^4-4x^3+x^2- 4x^3+4x^2-x -25 =20x^2-20x+5 \Leftrightarrow 4x^4-8x^3-15x^2+19x -30=0 }$

με σχήμα Horner γράφεται σαν $\displaystyle{(x-3)(x+2)(4x^2+4x+5)=0}$ οπότε έχει ρίζες τις $\displaystyle{x_1=3}$ και $\displaystyle{χ_2=-2}$ με γινόμενο $\displaystyle{x_1x_2=3(-2)=-6}$

Μερικά σχόλια:

Με τύπους Vieta που δοκίμασα στην τελική τεταρτοβάθμια βρήκα πως έχει γινόμενο πραγματικών και ίσως μιγαδικών ριζών ίσο με $\displaystyle{x_1x_2x_3x_4=(-1)^4\frac{-30}{4}=-\frac{15}{2}}$ που δεν υπήρχε σαν δυνατή επιλογή, άρα είχε και μιγαδικές ρίζες.

Για συντομία στο Horner στην τεταρτοβάθμια χρησιμοποίησα το wolfram γράφοντας την εξίσωση στο κουτάκι .

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις: 18,19,22,23,24,26,27,29,30

#19

parmenides51 έγραψε:18. Η αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle{a_1,a_2,a_3,..}$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{a_{n+2}=a_n+a_{n{\color{red}+}1}}$ για $\displaystyle{n{\color{red}\ge} 1}$ .
Αν $\displaystyle{a_7=120}$ , τότε $\displaystyle{a_8=}$

a) $\displaystyle{128}$ b) $\displaystyle{168}$ c) $\displaystyle{193}$ d) $\displaystyle{194}$ e) $\displaystyle{210}$

Έχουμε:

$\displaystyle{a_3 =a_1 +a_2}$

$\displaystyle{a_4 =a_2 +a_3 =a_2 +a_1 +a_2 =2a_2 +a_1}$

$\displaystyle{a_5 =a_3 +a_4 =3a_2 +2a_1}$

$\displaystyle{a_6 =a_4 +a_5 =5a_2 +3a_1}$

$\displaystyle{a_7 =a_5 +a_6 =8a_2 +5a_1}$

Από την τελευταία σχέση και με βάση και την εκφώνηση, έχουμε: $\displaystyle{120=8a_2 +5a_1 \Rightarrow}$

$\displaystyle{a_1 =\frac{120-8a_2}{5}=\frac{120-10a_2 +2a_2}{5}=24-2a_2 +\frac{2a_2}{5}}$

Από την υπόθεση όμως έχουμε ότι: $\displaystyle{a_1 >0\Rightarrow 24-2a_2 +\frac{2a_2}{5}>0\Rightarrow a_2 <15}$

Και αφού οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι, πρέπει $\displaystyle{a_2 =10 , }$ ή $\displaystyle{a_2 =5}$ .

Αν ήταν $\displaystyle{a_2 =5}$ , τότε $\displaystyle{a_1 =16}$ , που όμως είναι άτοπο, εφόσον η ακολουθία είναι αύξουσα. Άρα υποχρεωτικά θα

είναι $\displaystyle{a_2 =10}$ οπότε $\displaystyle{a_1 =8}$

Τότε: $\displaystyle{a_8 =a_6 +a_7 =13a_2 +8a_1 =13.10+8.8=194}$

Άρα σωστό είναι το $\displaystyle{\color{red}\fbox{(d)}}$

#20

parmenides51 έγραψε:19. Για κάθε κορυφή ενός στερεού κύβου, θεωρούμε το τετράεδρο που ορίζεται από την κορυφή αυτή
και τα μέσα των τριών ακμών που συναντούνται στην κορυφή αυτή.
Το μέρος του κύβου που παραμένει μετά την αφαίρεση των οκτώ τετραέδρων που ορίζεται ως ανωτέρω λέγεται κυβοοκτάεδρο.
Το ποσοστό του όγκου του κύβου που καταλαμβάνει το κυβοοκτάεδρο προσεγγίζεται καλύτερα από το

Ο όγκος κάθε αφαιρούμενου τετραέδρου είναι $\displaystyle{V_1 =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\frac{a^2}{4}.\frac{a}{2}=\frac{1}{48}a^3}$

Άρα ο όγκος του κυβοοκτάεδρου είναι $\displaystyle{V_2 =a^3 -8.\frac{a^3}{48}=\frac{5}{6}a^3 =0,833a^3}$

Άρα το σωστό είναι $\displaystyle{\color{rec}\fbox{(d)}}$ , δηλαδή $\displaystyle{84}$ %

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1991 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ + ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση