Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

parmenides51 · #1

1. α) Έστω $\displaystyle{A_1A_2A_3A_4A_5A_6}$ ένα κυρτό εξάγωνο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.
Να αποδείξετε οτι τα τρίγωνα $\displaystyle{A_1A_3A_5}$ και $\displaystyle{A_2A_4A_6}$ είναι ισεμβαδικά.
β) Έστω κυρτό εξάγωνο του οποίου όλες οι γωνίες του είναι ίσες και το μήκος κάθε πλευράς είναι ρητός αριθμός.
Να αποδείξετε οτι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.

2. Στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ υπάρχει σημείο $\displaystyle{P}$ ώστε $\displaystyle{(PA)=5, (PB)=4}$ και $\displaystyle{(P\Gamma)=3}$ .
Να βρεθεί η πλευρά του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

3. Σε δοσμένο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι $\displaystyle{ \widehat{A}=\frac{5\pi}{8} , \widehat{B}=\frac{\pi}{8}}$ και $\displaystyle{\widehat{C}=\frac{\pi}{4}}$ .
Να αποδείξετε οτι η διχοτόμος $\displaystyle{CZ}$ , η διάμεσος $\displaystyle{BE}$ και το ύψος $\displaystyle{AD}$ συντρέχουν.

4. α) Να βρείτε τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{(x^2-x-2)^4+(2x+1)^4=(x^2+x{\color{red}-}1)^4}$
β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3-2ax^2+(a{\color{red}^2}+1)x-2a+2=0}$
για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}+x-1}{\sqrt{x^2+1}+x{\color{red}+}1} \, , x \in \mathbb{R} }$
και να αποδείξετε οτι η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή συνάρτηση.

Υ.Γ. 1. Δείτε (και λύστε τα αστεράκια από) όσα θέματα έχουν ανέβει στο

στο Ευρετήριο Διαγωνισμών της ΕΜΕ
(μια από τις πρώτες δημοσιεύσεις στον φάκελο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ‹ Θέματα διαγωνισμών της ΕΜΕ)

Υ.Γ.2. Ευχαριστώ τον Ηλία Καμπελη για τα θέματα.

edit's
1.Διόρθωση τυπογραφικού στον 4γ, θενξ BAGGP93
2. Διόρθωση πρόσημου στο 4i

, ευχαριστώ τον Κώστα (Ζερβό) που το πρόσεξε
3. Διόρθωση αριθμού στο 4ii

, σαν να μην έφτανε οτι τα αντέγραψα απο σκαναρισμένο αντίγραφο στα Αγγλικά (!), τα τυπογραφικά μου δεν έχουν τέλος

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Σε δοσμένο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι $\displaystyle{ \widehat{A}=\frac{5\pi}{8} , \widehat{B}=\frac{\pi}{8}}$ και $\displaystyle{\widehat{C}=\frac{\pi}{4}}$ .
Να αποδείξετε οτι η διχοτόμος $\displaystyle{CZ}$ , η διάμεσος $\displaystyle{BE}$ και το ύψος $\displaystyle{AD}$ συντρέχουν.

εδώ

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε:
4. α) Να βρείτε τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{(x^2-x-2)^4+(2x+1)^4=(x^2+x-1)^4}$
β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3-2ax^2+(a+1)x-2a+2=0}$ για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}+x-1}{\sqrt{x^2+1}+x{\color{red}+}1} \, , x \in \mathbb{R} }$
και να αποδείξετε οτι η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή συνάρτηση.

α)Αν θέσουμε $a=x^2-x-2\;,\;b=2x+1$ τότε η εξίσωση γράφεται:

$a^4+b^4=(a+b)^4 \iff$
$\iff a^4+b^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \iff$
$\iff 4a^3b+6a^2b^2+4ab^3= \iff$
$\iff 2ab(a^2+3ab+2b^2)=0$
$\iff a=0$ ή b=0

ή

Άρα $a=0\iff x^2-x-2=0 \iff x=-1$ ή x=2

ή

$b=\iff 2x+1=0 \iff x=-\dfrac{1}{2}$ ή

2a^2+3ab+2b^2=0

Αλλά $2a^2+3ab+2b^2=\dfrac{3}{2}(a+b)^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}\geq 0$ με τη ισότητα να ισχύει όταν a=b=a+b=0

δηλαδή όταν x^2-x-2=0

και

που είναι αδύνατο.

Άρα x=-1

ή

ή $x=-\dfrac{1}{2}$ .

γ)Πρέπει $\sqrt{x^2+1}+x+1\neq 0$ .

Αν είναι $\sqrt{x^2+1}+x+1=0 \iff \sqrt{x^2+1}=-(x+1)$ , τότε για να μην είναι αδύνατη η εξίσωση θα πρέπει $x+1<0\iff x<-1$ .
Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε $x^2+1=x^2+2x+1\iff x=0$ που απορρίπτεται. Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το $D_f=\mathbb{R}$ .

Για $x\neq 0$ ο τύπος της γράφεται:

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x-1}{\sqrt{x^2+1}+x+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+1}+x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x-1\right)}{\left(\sqrt{x^2+1}+x+1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x-1\right)}=$
$=\cdots=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}$ .

Επίσης f(0)=0

.

Έτσι έχουμε $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}\;,\;x\neq 0\\0\;,\;x=0\end{cases}$ .

Έστω $y\in\mathbb{R}$ με f(x)=y

.

Για $x\neq 0$ :

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}=y \iff yx+1=\sqrt{x^2+1}$ .

Πρέπει $yx+1\geq 0\;\;(1)$ .

Τότε $x^2+1=y^2x^2+2xy+1 \overset{x\neq 0}{\iff}x\left(1-y^2\right)=2y$ .

Η εξίσωση είναι αδύνατη για $y=\pm 1$ .

Για $y\neq \pm 1$ έχουμε $x=\dfrac{2y}{1-y^2}$ .

Πρέπει $x\neq 0 \iff \dfrac{2y}{1-y^2}\neq 0\iff y\neq 0$ και από την $(1):y\dfrac{2y}{1-y^2}+1\geq 0 \iff \dfrac{y^2+1}{1-y^2}\geq 0\overset{y^2+1>0}{\iff} y^2\leq 1 \iff -1\leq y\leq 1$ .

Επίσης f(0)=0

.

Άρα το σύνολο τιμών της

είναι το $f\left(D_f\right)=(-1,1)$ .

$\forall x\in D_f=\mathbb{R}\Rightarrow -x\in D_f$ .

Επίσης f(0)=0

και για κάθε $x\neq 0$ έχουμε : $f(-x)=\dfrac{\sqrt{(-x)^2+1}-1}{-x}=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}=-f(x)$ , άρα είναι περιττή.

(δεν χρησιμοποίησα παραγώγους λόγω της τάξης που αναφέρονται...)

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε: 4.
β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3-2ax^2+(a{\color{red}^2}+1)x-2a+2=0}$
για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$

$x^3-2ax^2+(a^2+1)x-2a+2=0 \iff$
$\iff x^3-2ax^2+a^2x+x-2a+2=0$
$\iff x^3-ax^2+x^2-$
-(ax^2-a^2x+ax)-

$2x-2a+2=0\iff$
$x^2(x-a+1)-ax(x-a+1)-x(x-a+1)+2(x-a+1)=0\iff$
$(x-a+1)(x^2-(a+1)x+2)=0\iff$

x=a-1

ή

Αν $\Delta=(a+1)^2-4>0 \iff a>1$ ή a<-3

τότε έχουμε λύσεις τις x=a-1

, $x=\dfrac{(a+1)\pm\sqrt{(a+1)^2-4}}{2}$ .
Αν $\Delta=(a+1)^2-4=0 \iff a=1$ ή a=-3

τότε έχουμε λύσεις και τις x=a-1

και $χ=\dfrac{a+1}{2}$ δηλαδή τις x=0

,

ή τις

,

.
Αν $\Delta=(a+1)^2-4<0 \iff -3<a<1$ τότε έχουμε λύσεις τις x=a-1

, $x=\dfrac{(a+1)\pm i\sqrt{4-(a+1)^2}}{2}$ . (νομίζω ότι οι μιγαδικοί ήταν στην ύλη Β' Λυκείου ...)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Η παραγοντοποίηση μπορεί να γίνει και με Horner (ρίζα το a-1

).

#5

parmenides51 έγραψε: 4.
β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3-2ax^2+(a{\color{red}^2}+1)x-2a+2=0}$
για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$

Ίσως ο απλούστερος τρόπος για να λυθεί η εξίσωση αυτή, είναι να τη δούμε ως δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{a.}$

$\displaystyle{xa^2-2(1+x^2)a+x^3+x+2=0,}$

με διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta =...=4(x-1)^2}$

Βέβαια, πρώτα ας επισημανθεί ότι το $\displaystyle{x=0}$ είναι ρίζα της αρχικής αν-ν $\displaystyle{a=1.}$

Διαφορετικά είναι $\displaystyle{x\ne 0}$ και βρίσκουμε

$\displaystyle{a=\frac{x^2-x+2}{x} \vee a=x+1}$ κτλ.

#6

parmenides51 έγραψε: 2. Στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ υπάρχει σημείο $\displaystyle{P}$ ώστε $\displaystyle{(PA)=5, (PB)=4}$ και $\displaystyle{(P\Gamma)=3}$ .
Να βρεθεί η πλευρά του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

Είναι $\displaystyle{\frac{{\omega + \theta }}{2} = {30^0} \Rightarrow \eta \mu \frac{{\omega + \theta }}{2} = \frac{1}{2},\sigma \upsilon \nu \frac{{\omega + \theta }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Εφαρμόζω νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα $PAB, PA\Gamma$ : $\displaystyle{16 = {\alpha ^2} + 25 - 10\alpha \sigma \upsilon \nu \omega }$ και $\displaystyle{9 = {\alpha ^2} + 25 - 10\alpha \sigma \upsilon \nu \theta }$ . Με πρόσθεση και με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{10\alpha \left( {\sigma \upsilon \nu \omega + \sigma \upsilon \nu \theta } \right) = 2{\alpha ^2} + 25 \Leftrightarrow 20\alpha \sigma \upsilon \nu \frac{{\omega + \theta }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\omega - \theta }}{2} = 2{\alpha ^2} + 25 \Leftrightarrow }$

$\boxed{10\alpha \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu \frac{{\omega - \theta }}{2} = 2{\alpha ^2} + 25}$ (1)

$\displaystyle{10\alpha (\sigma \upsilon \nu \theta - \sigma \upsilon \nu \omega ) = 7 \Leftrightarrow 20\alpha \eta \mu \frac{{\omega + \theta }}{2}\eta \mu \frac{{\omega - \theta }}{2} = 7 \Leftrightarrow 10\alpha \eta \mu \frac{{\omega + \theta }}{2} = 7 \Rightarrow }$

$\displaystyle{100{\alpha ^2}\eta {\mu ^2}\frac{{\omega + \theta }}{2} = 49 \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\frac{{\omega + \theta }}{2} = \frac{{49}}{{100{\alpha ^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\omega + \theta }}{2} = \frac{{100{\alpha ^2} - 49}}{{100{\alpha ^2}}}}$ (2)

: Π.Μ.Δ.Μ 1983.png (9.06 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

Από

: $\displaystyle{300{\alpha ^2}\frac{{100{\alpha ^2} - 49}}{{100{\alpha ^2}}} = 2{\alpha ^2} + 25 \Leftrightarrow {\alpha ^4} - 50{\alpha ^2} + 193 = 0}$ , απ' όπου παίρνουμε

τη δεκτή ρίζα $\boxed{\alpha = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 } }$ (η άλλη ρίζα απορρίπτεται γιατί δίνει a<3

, που είναι άτοπο, αφού δύο τουλάχιστον από τις γωνίες $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm P}{\rm B},{\rm A}\widehat {\rm P}\Gamma ,{\rm B}\widehat {\rm P}\Gamma }$ είναι αμβλείες).

Παρατήρηση: Εκ του αποτελέσματος προκύπτει ότι $\displaystyle{{\rm B}\widehat {\rm P}\Gamma = {150^0}}$

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1983

Μέλη σε σύνδεση