Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1981

parmenides51 · #1

1. Πάνω στους ημιάξονες $\displaystyle{Ox, Oy }$ ενός ορθοκανονικού συστήματος βρίσκονται τα μεταβλητά στοιχεία
με συντεταγμένες $\displaystyle{ A(a,0), B(0,b)}$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $\displaystyle{|AB|=d}$ όπου $\displaystyle{d}$ σταθερό και $\displaystyle{ab\ne 0}$ .
Στα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{OA,OB,AB}$ βρίσκονται τα σημεία $\displaystyle{C,D, E}$ αντίστοιχα
ώστε οι απλοί λόγοι $\displaystyle{(AOC)=c_1, (BOD)=c_2, (ABE)=c_3}$ να είναι σταθεροί θετικοί αριθμοί.
Να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{a,b}$ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ CD E}$ να είναι μέγιστο.

2. Ορίζουμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\sigma \upsilon \nu\left( \frac{\pi}{2^x}\right) \, , x\in \mathbb{N}^* -\{1\}}$ και $\displaystyle{g(x)=f(2)f(3)\cdot ... \cdot f(x)f(x+1) \, , x\in \mathbb{N}^*-\{1\}}$ .
Να αποδειχθούν :
α) $\displaystyle{2f(x+1)=2^x\eta \mu \left( \frac{\pi}{2^x}\right)g(x)}$
β) $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} g(x)= \frac{2}{\pi}}$

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}}$ με $\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}$
α) Να δειχτεί οτι αν υπάρχει $\displaystyle{x_0 }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_0)=1}$ τότε η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.
Ισχύει το ανάλογο εαν $\displaystyle{f(x_0)=-1}$ ;
β) Αν η $\displaystyle{f}$ δεν παίρνει τις τιμές $\displaystyle{1,-1}$ , τότε για την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\, ,x\in \mathbb{R}}$
ισχύει $\displaystyle{g(x+y)=g(x)g(y)$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}}$ με $\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}$
α) Να δειχτεί οτι αν υπάρχει $\displaystyle{x_0 }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_0)=1}$ τότε η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.
Ισχύει το ανάλογο εαν $\displaystyle{f(x_0)=-1}$ ;
β) Αν η $\displaystyle{f}$ δεν παίρνει τις τιμές $\displaystyle{1,-1}$ , τότε για την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\, ,x\in \mathbb{R}}$
ισχύει $\displaystyle{g(x+y)=g(x)g(y)$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$

α)Υποθέτουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=1}$

Η αρχική σχέση τώρα για $\displaystyle{y=x_0}$ δίνει

$\displaystyle{f(x+x_0)=\frac{f(x)+f(x_0)}{1+f(x)\,f(x_0)}=\frac{f(x)+1}{1+f(x)}=1\,\,,x\in\mathbb{R}}$

Η τελευταία σχέση για $\displaystyle{x=x-x_0}$ δίνει $\displaystyle{f(x)=1\,\,,x\in\mathbb{R}}$ , δηλαδή $\displaystyle{f}$ σταθερή.

Με τις ίδιες αντικαταστάσεις, αν υπάρχει $\displaystyle{x_0\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=-1}$ , τότε παίρνουμε

$\displaystyle{f(x)=-1\,\,,x\in\mathbb{R}}$

β)Για κάθε $\displaystyle{x,y\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} g(x+y)=\frac{1+f(x+y)}{1-f(x+y)}&=\displaystyle{\frac{1+\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)\,f(y)}}{1-\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)\,f(y)}}}\\&=\frac{1+f(x)\,f(y)+f(x)+f(y)}{1+f(x)\,f(y)-f(x)-f(y)}\\&=\frac{\left(1+f(y)\right)\left(1+f(x)\right)}{\left(1-f(y)\right)\left(1-f(x)\right)}\\&=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\cdot \frac{1+f(y)}{1-f(y)}\\&=g(x)\,g(y)\end{aligned}}$

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Ορίζουμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\sigma \upsilon \nu\left( \frac{\pi}{2^x}\right) \, , x\in \mathbb{N}^* -\{1\}}$ και $\displaystyle{g(x)=f(2)f(3)\cdot ... \cdot f(x)f(x+1) \, , x\in \mathbb{N}^*-\{1\}}$ .
Να αποδειχθούν :
α) $\displaystyle{2f(x+1)=2^x\eta \mu \left( \frac{\pi}{2^x}\right)g(x)}$
β) $\displaystyle{\lim_{x\to + \infty} g(x)= \frac{2}{\pi}}$

$\alpha)$ Είναι $2f(x + 1) = 2^x \eta \mu (\frac{\pi}{2^x}) f(2)f(3)...f(x + 1) \Longleftrightarrow f(2)f(3)...f(x) = \frac{1}{2^{(x - 1)} \eta \mu (\frac{\pi}{2^x})}(1)$ (έχουμε $\frac{\sqrt{2}}{2} < f(x) = \sigma \upsilon \nu (\frac{\pi}{2^x}) < 1$ αφού $2^x \geq 4 \Longleftrightarrow 0 < \frac{\pi}{2^x} \le \frac{\pi}{4} \Longleftrightarrow 1 > f(x) = \sigma \upsilon \nu (\frac{\pi}{2^x}) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ ).
Θα αποδείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για x = 2

: $f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2 \eta \mu (\frac{\pi}{4})}$ , οπότε το ζητούμενο ισχύει.
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει για τυχαίο $x = \kappa$ . Τότε είναι $f(2)f(3)...f(\kappa) = \frac{1}{2^{(\kappa - 1)} \eta \mu (\frac{\pi}{2^{\kappa}})}(2)$ .
Για $\nu = \kappa + 1$ πρέπει $f(2)f(3)...f(\kappa)f(\kappa + 1) = \frac{1}{2^{\kappa} \eta \mu (\frac{\pi}{2^{\kappa + 1}})}$ .
Είναι $f(2)f(3)...f(\kappa)f(\kappa + 1) = \frac{\sigma \upsilon \nu (\frac{\pi}{2^{\kappa + 1}})}{2^{(\kappa - 1)} \eta \mu (\frac{\pi}{2^{\kappa}})}(3)$ .
Όμως $\eta \mu (\frac{\pi}{2^{\kappa}}) = \eta \mu (2 \frac{\pi}{2^{\kappa + 1}}) = 2 \eta \mu (2 \frac{\pi}{2^{\kappa + 1}}) \sigma \upsilon \nu (2 \frac{\pi}{2^{\kappa + 1}})(4)$ .
Αντικαθιστώντας στην (3)

με βάση την (4)

προκύπτει η ζητούμενη. Έτσι γνωρίζουμε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για όλους τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του

.

$\beta$ ) $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \frac{2f(x + 1)}{2^x \eta \mu (\frac{\pi}{2^x})} = \displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \frac{2f(x + 1)}{\pi \frac{\eta \mu (\frac{\pi}{2^x})}{\frac{\pi}{2^x}}}(5)$ .
Είναι $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} f(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \sigma \upsilon \nu (\frac{\pi}{2^x})}$ .
Όμως $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \frac{\pi}{2^x}} = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle{\lim_{x \to + \infty} 2f(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to + \infty} 2f(x + 1)} = 2(6)$ .
Τέλος, θέτοντας $u = \frac{\pi}{2^x} \to 0^+$ , όταν $x \to + \infty$ , έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \frac{\eta \mu u}{u}} = 1(7)$ .
Έτσι αντικαθιστώντας στην (5)

σύμφωνα με τις (6)

και

προκύπτει ότι $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} g(x)} = \frac{2}{\pi}$ .
Ουφ...

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε:1. Πάνω στους ημιάξονες $\displaystyle{Ox, Oy }$ ενός ορθοκανονικού συστήματος βρίσκονται τα μεταβλητά στοιχεία
με συντεταγμένες $\displaystyle{ A(a,0), B(0,b)}$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $\displaystyle{|AB|=d}$ όπου $\displaystyle{d}$ σταθερό και $\displaystyle{ab\ne 0}$ .
Στα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{OA,OB,AB}$ βρίσκονται τα σημεία $\displaystyle{C,D, E}$ αντίστοιχα
ώστε οι απλοί λόγοι $\displaystyle{(AOC)=c_1, (BOD)=c_2, (ABE)=c_3}$ να είναι σταθεροί θετικοί αριθμοί.
Να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{a,b}$ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ CD E}$ να είναι μέγιστο.

Σημείωση:
Απλός λόγος τριών σημείων A,B,C

είναι ένας πραγματικός αριθμός $\lambda\neq -1$ τέτοιος , ώστε $\overset{\rightarrow}{AC}=\lambda \overset{\rightarrow}{CB}$ και τον συμβολίζουμε με $(ABC)=\lambda$ (έχει σημασία η σειρά των σημείων).

Επίσης (αν θυμάμαι καλά) υπήρχε στο σχολικό βιβλίο ο τύπος που δίνει τις συντεταγμένες του σημείου

αν $A\left(x_1\;,\;y_1\right)\;,\;\left(x_2\;,\;y_2\right)$ και είναι $C\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{\lambda+1}\;,\;\dfrac{y_1+\lambda y_2}{\lambda+1}\right)$ ο οποίος αποδεικνύεται εύκολα με βάση τον ορισμό.

Εφαρμόζοντας τα παραπάνω βρίσκουμε $C\left(\dfrac{a}{c_1+1}\;,\;0\right)$ , $D\left(0\;,\;\dfrac{bc_2}{c_2+1}\right)$ και $E\left(\dfrac{a}{c_3+1}\;,\;\dfrac{bc_3}{c_3+1}\right)$ .

Επίσης ισχύει ότι $(AB)=d\iff a^2+b^2=d^2\;\;(1)$ .

Είναι $(CDE)=\dfrac{1}{2}|\left|det\left(\overset{\rightarrow}{CD}\;,\;\overset{\rightarrow}{CE}\right)\right||=$

$=\dfrac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}-\dfrac{a}{c_1+1}&\dfrac{bc_2}{c_2+1}\\\dfrac{a(c_1-c_3)}{(c_1+1)(c_3+1)}&\dfrac{bc_3}{c_3+1}\end{array}\right||=$
$=\dfrac{ab(c_3+c_1c_2)}{2(c_1+1)(c_2+1)(c_3+1)}$ (αφού a,b,c_1,c_2,c_3>0

).

Αλλά οι c_1,c_2,c_3

είναι σταθεροί θετικοί αριθμοί , άρα το εμβαδόν γίνεται μέγιστο , όταν

γίνει μέγιστο.

Όμως $ab\leq\dfrac{a^2+b^2}{2}\iff ab\leq \dfrac{d^2}{2}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $a=b=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}$ .

Έτσι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν $a=b=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}$ .

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1981

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1981

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1981

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1981

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1981

Μέλη σε σύνδεση