Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

Ξεκινάω μια παράλληλη δημοσίευση με τα θέματα των Διαγωνισμών της ΕΜΕ από το 1959 προς το 1980.
Τότε τα θέματα ήταν ένα από κάθε κατηγορία '' Άλγεβρα - Τριγωνομετρία - Στερεομετρία''.

1. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{4}-y+3=0 \\ -4x-y+3=\mu \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\mu}$ αλγεβρικός αριθμός.
β) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ομόσημοι;
γ) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ετερόσημοι;
δ) Να δοθεί η γραφική λύση του συστήματος για $\displaystyle{\mu=3}$

2. Να δειχθεί οτι για κάθε οξεία γωνία $\displaystyle{x}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{x-\eta\mu x <\varepsilon \phi x-x}$

3. Δίνεται στο επίπεδο $\displaystyle{E}$ τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ .
Πάνω στις κάθετες που άγονται από τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma,\Delta}$ προς το επίπεδο $\displaystyle{E}$ και στο ίδιο μέρος παίρνουμε $\displaystyle{(AA')=(BB') =3\lambda}$ και $\displaystyle{(\Gamma\Gamma ') =(\Delta\Delta ')=\lambda}$ .
α) Να δειχτεί οτι το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ είναι ορθογώνιο
β) Να βρεθεί ο όγκος του πολύεδρου $\displaystyle{AB\Gamma\DeltaA'B'\Gamma'\Delta' }$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha,\lambda}$ .
γ) Να δειχτεί οτι το επίπεδο $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta' }$ , καθώς μεταβάλλεται το $\displaystyle{\lambda}$ , τέμνει το επίπεδο $\displaystyle{E}$ κατά σταθερή ευθεία.

edit's
ευχαριστώ τον Διονύση (Σ. Διονύσης) για το τυπογραφικό που είδε
διόρθωση τίτλου (αφαίρεση λέξη αρρένων)

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχθεί ότι για κάθε οξεία γωνία $\displaystyle{x}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{x-\eta\mu x <\varepsilon \phi x-x}$

Το θέμα σήμερα λύνεται σχετικά εύκολα με παραγώγους. Δεν ξέρω αν εκείνη τη εποχή υπήρχαν στα σχολικά βιβλία. Θα δώσω δύο λύσεις , μία χωρίς παραγώγους και μία με παραγώγους. Μάλλον τότε ζήταγαν την 1η.

Λύση χωρίς παραγώγους:

: ask112.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

Στο παραπάνω σχήμα , το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου AME

(γαλάζιο) είναι ίσο με
$E_1=(OAE)-E_{\tau o\mu\varepsilon\alpha OAM}=\dfrac{OA\cdot AE}{2}-\dfrac{1}{2}OA^2\cdot x=\dfrac{ \varepsilon \phi x-x}{2}$ .

Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που έχει χορδή την

(κίτρινο) είναι ίσο με
$E_2=E_{\tau o\mu\varepsilon\alpha OAM}-(OAM)=\dfrac{1}{2}OA^2\cdot x-\dfrac{OA\cdot MB}{2}=\dfrac{x-\eta\mu x}{2}$ .

Αν φέρουμε την εφαπτόμενη

τότε

, άρα $E_1>(EMK)=\dfrac{1}{2}(EK)\cdot (MH)>\dfrac{1}{2}(AK)\cdot(MH)=(MKA)>E_2$ .
Άρα $E_1>E_2 \iff \dfrac{ \varepsilon \phi x-x}{2}>\dfrac{x-\eta\mu x}{2} \iff \varepsilon \phi x-x>x-\eta\mu x$ .

Λύση με παραγώγους:

Έχουμε $x-\eta\mu x <\varepsilon \phi x-x\iff \varepsilon \phi x+\eta\mu x-2x>0$ .

Έστω $f(x)=\varepsilon \phi x+\eta\mu x-2x\;,\;x\in\left[0\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Συνεχής και παραγωγίσιμη με

$f'(x)=\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^2x}+\sigma\upsilon\nu x-2=\dfrac{\sigma\upsilon\nu^3x-2\sigma\upsilon\nu^2x+1}{\sigma\upsilon\nu^2x}=\dfrac{(\sigma\upsilon\nu-1)\left(\sigma\upsilon\nu^2x-\sigma\upsilon\nu x-1\right)}{\sigma\upsilon\nu^2x}=$

$=\dfrac{(\sigma\upsilon\nu-1)\left(\sigma\upsilon\nu x(\sigma\upsilon\nu x-1)-1\right)}{\sigma\upsilon\nu^2x}>0\;\forall x\in\left(0\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ αφού $\sigma\upsilon\nu x-1<0$ και $\sigma\upsilon\nu x>0$ , άρα $\sigma\upsilon\nu x(\sigma\upsilon\nu x-1)-1<0$ .

Επομένως είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[0\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ και έτσι για $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ έχουμε $f(x)>f(0)\iff \varepsilon \phi x+\eta\mu x-2x>0$ .

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε: 1. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{4}-y+3=0 \\ -4x-y+3=\mu \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\mu}$ αλγεβρικός αριθμός.
β) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ομόσημοι;
γ) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ετερόσημοι;
δ) Να δοθεί η γραφική λύση του συστήματος για $\displaystyle{\mu=3}$

α) Αφαιρούμε τις δύο εξισώσεις και έχουμε : $\displaystyle{\frac{x}{4}+4x=-\mu\Leftrightarrow x=-\frac{4\mu}{17}}$

και με αντικατάσταση : $\displaystyle{-\frac{\mu}{17}-y+3=0\Leftrightarrow y=\frac{51-\mu}{17}}$

β) Oι $\displaystyle{x,y}$ είναι ομόσημοι αν και μόνο αν $\displaystyle{xy>0\Leftrightarrow -\frac{4\mu}{17}\cdot \frac{51-\mu}{17}>0\Leftrightarrow 4\mu(51-\mu)<0\Leftrightarrow \mu<0~\acute{\eta}~\mu>51 }$ .

γ) Oι $\displaystyle{x,y}$ είναι ετερόσημοι αν και μόνο αν $\displaystyle{xy<0\Leftrightarrow -\frac{4\mu}{17}\cdot \frac{51-\mu}{17}<0\Leftrightarrow 4\mu(51-\mu)>0\Leftrightarrow 0<\mu<51 }$ .

δ) Για $\displaystyle{\mu=3}$ oι εξισώσεις γράφονται : $\displaystyle{y=\frac{1}{4}x+3,~y=-4x}$ και παριστάνουν δύο ευθείες.

Το σημείο τομής τους έχει συντεταγμένες τη λύση $\displaystyle{(x,y)=\left(-\frac{12}{17},\frac{48}{17}\right)}$ του συστήματος.

Σημ : Περισσότερο γραφική ερμηνεία έδωσα, παρά λύση. Δε βλέπω πως μπορεί να προκύψει η λύση αυτή γραφικά...

Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: ΠΜΔΜ 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΑΡΡΕΝΩΝ

Re: ΠΜΔΜ 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΑΡΡΕΝΩΝ

Μέλη σε σύνδεση