Π.Μ.Δ.Μ. 1961-62 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(x-1)(x+7)(x-4)(x-12)=-{\color{red}192}}$

2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει
$\displaystyle{ \frac{U_{\alpha}U_{\beta}U_{\gamma}}{(U_{\alpha}+U_{\beta})(U_{\beta}+U_{\gamma})(U_{\gamma}+U_{\alpha})}=\frac{\eta\mu A \eta \mu B \eta \mu \Gamma}{(\eta\mu A +\eta \mu B)(\eta \mu B+ \eta \mu \Gamma)(\eta \mu \Gamma+\eta\mu A)}}$
(όπου $\displaystyle{U_{\alpha},U_{\beta},U_{\gamma}}$ είναι τα ύψη που αντιστοιχούν στις πλευρές $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τριγώνου)

3. Δίνεται τυχαίος ορθός κυκλικός κώνος και η εγγεγραμμένη σε αυτόν σφαίρα.
Να βρεθεί σχέση ανεξάρτητη της ακτίνας και της γενέτειρας του κώνου
που να συνδέει τις ολικές επιφάνειες και τους όγκους των δυο στερεών.

edit's
διόρθωση αριθμού στο 1ο, ευχαριστώ τον Ηλία (Καμπελή) που το πρόσεξε
διόρθωση τίτλου (αφαίρεση λέξη αρρένων)

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα σε όλη την παρέα.

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(x-1)(x+7)(x-4)(x-12)=-{\color{red}192}}$

Παρατηρούμε ότι,

$\displaystyle{\left(x-1\right)\left(x-4\right)=\left[\left(x^2-5x\right)+4\right]}$

και

$\displaystyle{\left(x+7\right)\left(x-12\right)=\left[\left(x^2-5x\right)-84\right]}$

Έτσι, η εξίσωση προς επίλυση είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{\left[\left(x^2-5x\right)+4\right]\left[\left(x^2-5x\right)-84\right]=-192\,\,(I)}$

Θέτουμε $\displaystyle{y=x^2-5x}$ και τότε η $\displaystyle{(I)}$ γράφεται

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(y+4\right)\left(y-84\right)=-192&\Leftrightarrow y^2-80\,y=-192+4\cdot 84\\&\Leftrightarrow y^2-80\,y+40^2=-192+4\cdot 84+40^2\\&\Leftrightarrow \left(y-40\right)^2=1744\\&\Leftrightarrow y=40+\sqrt{1744}\ \lor\,\,y=40-\sqrt{1744}\end{aligned}}$

Επομένως,

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2-5x=40+\sqrt{1744}&\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=40+\sqrt{1744}+\frac{25}{4}\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{185}{4}+\sqrt{1744}\\&\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{185+4\,\sqrt{1744}}}{2}\ \lor x=\frac{5-\sqrt{185+4\,\sqrt{1744}}}{2}}\end{aligned}}$

και

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2-5x=40-\sqrt{1744}&\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=40+\frac{25}{4}-\sqrt{1744}\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{185-4\,\sqrt{1744}}{4}\\&\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{185-4\,\sqrt{1744}}}{2}\ \lor x=\frac{5-\sqrt{185-4\,\sqrt{1744}}}{2}\end{aligned}}$

Και για λόγους πληρότητας,

$\displaystyle{185^2=34225\,\,\kappa \alpha \iota\,\,16\cdot 1744=27904}$

Επομένως, $\displaystyle{185^2>16\cdot 1744\Rightarrow \sqrt{185^2}>\sqrt{16\cdot 1744}\Rightarrow 185>4\,\sqrt{1744}}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

Π.Μ.Δ.Μ. 1961-62 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1961-62 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: ΠΜΔΜ 1961-62 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ ΑΡΡΕΝΩΝ

Re: ΠΜΔΜ 1961-62 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ ΑΡΡΕΝΩΝ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1961-62 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση