Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται η γωνία $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\phi}$ και σημείο $\displaystyle{O}$ επί της πλευράς $\displaystyle{AB}$ που βρίσκεται σε απόσταση $\displaystyle{(OH)=\upsilon}$ από την πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ .
Να βρεθεί πάνω στην $\displaystyle{A\Gamma}$ σημείο $\displaystyle{M}$ τέτοιο ώστε ο λόγος του τετραγώνου της απόστασης $\displaystyle{(OM)}$ προς
την απόσταση $\displaystyle{(MP)}$ του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{AB}$ να είναι ίσος με δεδομένο αριθμό $\displaystyle{2\kappa}$ . (Διερεύνηση)

2. Να δειχτεί οτι ο όγκος τριγωνικής πυραμίδας ισούται με το $\displaystyle{ \frac{1}{6}}$ του γινομένου της ελάχιστης απόστασης δυο απέναντι ακμών της
επί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές αντίστοιχα ίσες και παράλληλες προς τις δυο αυτές ακμές.

Al.Koutsouridis · #2

parmenides51 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2013 11:45 am
2. Να δειχτεί οτι ο όγκος τριγωνικής πυραμίδας ισούται με το $\displaystyle{ \frac{1}{6}}$ του γινομένου της ελάχιστης απόστασης δυο απέναντι ακμών της
επί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές αντίστοιχα ίσες και παράλληλες προς τις δυο αυτές ακμές.

: pmdm_1938_39_st_praktikou_pr2.png (88.43 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Έστω

η τριγωνική πυραμίδα. Σε επίπεδο παράλληλο προς την ακμή

που περιέχει την ακμή

κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο BCEZ

, με

και

. Με δεδομένο αυτό το παραλληλόγραμμο και την πυραμίδα, κατασκευάζουμε το παραλληλελεπίπεδο BCEZHDAI

και έστω

ο όγκος του.

Ο όγκος της πρυαμίδας DABC

θα είναι $V_{DABC} = \dfrac{1}{6} V = S_{BCEZ} \cdot h$ όπου

το ύψος του παραλληλεπιπέδου. Όμως από την κατασκευή μας h=KL

, όπου

το τμήμα ελάχιστης απόστασης. Το τμήμα αυτό είναι κάθετο στις δυο απένταντι έδρες του παραλληλεπιπεδου.

Δηλαδή $V_{DABC}= \dfrac{1}{6} S_{BCEZ} \cdot KL$ , που είναι το ζητούμενο. Να σημειώσουμε ότι η σχέση αυτή για τον όγκο τριγωνικής πυραμίδας (τετράεδρου) αναφέρεται συχνά ως σχέση Servois.

Ας δούμε άλλη μια σχέση για τον όγκο τετρέδρου. Θα προσπαθήσουμε να την εξάγουμε από την παραπάνω σχέση. Προκύπτει εύκολα αλλιώς, αλλά ως άσκηση ας το τολμήσουμε.

$\displaystyle{6V_{DABC} = |\overrightarrow{KL}| \cdot | \left (\overrightarrow{EC} \times \overrightarrow{CB} \right )|=|\overrightarrow{KL}| \cdot |\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}|=\left (\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DK}-\overrightarrow{LC} \right )\cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB} \right )=}$

$=\overrightarrow{DC} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right ) - \overrightarrow{DK} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right ) - \overrightarrow{LC} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right )$ ,

όμως $\overrightarrow{DK} \perp \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB} \right )$ και $\overrightarrow{LC} \perp \left (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB} \right )$ . Οπότε έχουμε

$6V_{DABC} = \overrightarrow{DC} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right ) =$

$= \overrightarrow{DA} \cdot \left ( \overrightarrow{CB} \times \overrightarrow{DC} \right ) =$

$= \overrightarrow{DA} \cdot \left (\left ( \overrightarrow{DB} -\overrightarrow{DC} \right ) \times \overrightarrow{DC} \right ) =$

$= \overrightarrow{DA} \cdot \left (-\overrightarrow{DC} \times \left ( \overrightarrow{DB} -\overrightarrow{DC}\right ) \right) =$

$= \overrightarrow{DA} \cdot \left ( -\overrightarrow{DC} \times \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \times \overrightarrow{DC} \right) =$

$=\overrightarrow{DA} \cdot \left ( \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC} \right ) \Rightarrow$

$\displaystyle{V_{DABC}= \dfrac{1}{6} \overrightarrow{DA} \cdot \left ( \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC} \right ) \Rightarrow }$

Δηλαδή ο όγκος ενός τετράεδρου είναι ίσος με το υποεξαπλάσιο του τριπλού γινομένου των διανυσμάτων με αρχή μια κορυφή αυτού και πέρας τις υπόλοιπες.

Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση