Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν όλα τα τριώνυμα $\displaystyle{x^2+\alpha x+\beta}$ με πραγματικούς συντελεστές των οποίων οι ρίζες επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{|x^9-1|+|x^6-1|=0}$ .

2. Δίνεται επίπεδο $\displaystyle{\Pi}$ , ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ μη παράλληλη προς το $\displaystyle{\Pi }$ και δυο σημεία $\displaystyle{A,B}$ της $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που βρίσκονται στο ίδιο μέρος του επιπέδου $\displaystyle{\Pi}$ .
Να βρείτε σημείο $\displaystyle{Z}$ του $\displaystyle{\Pi }$ τέτοιο ώστε η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεων του από τα $\displaystyle{A,B}$ να ισούται με $\displaystyle{\lambda^2}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ δοθέν μήκος,
ενώ συγχρόνως η γωνία $\displaystyle{\widehat{AZB}}$ να είναι ορθή.

3. Να αποδειχθεί η ισότητα $\displaystyle{\left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2^2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2^3}\right)\cdot ...\cdot \left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2^{\nu}}\right)=\frac{2^{\nu}\varepsilon\phi \displaystyle \frac{\alpha}{2^{\nu}}}{\varepsilon\phi \alpha }}$
και να υπολογιστεί το όριο του πρώτου μέλους όταν $\displaystyle{\nu \to +\infty}$

edit's
διόρθωση τυπογραφικού της πηγής στο 3ο θέμα, σωστός πάλι ο Κώστας (Ζερβός)
μετονομασία τίτλου από 'θεωρητική'' σε ''κλασικό''
συμπλήρωση δυο λέξεων στο 2ο θέμα, δίκιο έχειο Ορέστης

έλεγχος εκκρεμότητας στην εκφώνηση του 1ου θέματος

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:
3. Να αποδειχθεί η ισότητα $\displaystyle{\left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2^2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2^3}\right)\cdot ...\cdot \left(1-\varepsilon\phi^2\frac{\alpha}{2^{\nu}}\right)=\frac{2^{\nu}\varepsilon\phi \color{red}2\color{black}\displaystyle \frac{\alpha}{2^{\nu}}}{\varepsilon\phi \alpha }}$
και να υπολογιστεί το όριο του πρώτου μέλους όταν $\displaystyle{\nu \to +\infty}$

Πρέπει να υπάρχει τυπογραφικό...

Από την ισότητα $\varepsilon\phi 2x=\dfrac{2\varepsilon\phi x}{1-\varepsilon\phi^2x}$ έχουμε $1-\varepsilon\phi^2x=\dfrac{2\varepsilon\phi x}{\varepsilon\phi 2x}$ .

Άρα

$\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2^2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2^3}\right)\cdots\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2^{\nu}}\right)=$

$=\dfrac{2\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2}}{\varepsilon\phi \alpha}\cdot\dfrac{2\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2^2}}{\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2}}\cdot \dfrac{2\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2^3}}{\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2^2}}\cdots\dfrac{2\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2^{\nu}}}{\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2^{\nu-1}}}=$

$=\dfrac{2^{\nu}\varepsilon\phi \displaystyle \frac{\alpha}{2^{\nu}}}{\varepsilon\phi \alpha }$ .

Έτσι $\displaystyle\lim_{\nu\to+\infty}\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2^2}\right)\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2^3}\right)\cdots\left(1-\varepsilon\phi^2\dfrac{\alpha}{2^{\nu}}\right)=$

$\displaystyle=\lim_{\nu\to+\infty}\dfrac{2^{\nu}\varepsilon\phi \displaystyle \frac{\alpha}{2^{\nu}}}{\varepsilon\phi \alpha }=\lim_{\nu\to+\infty}\dfrac{\varepsilon\phi \displaystyle \dfrac{\alpha}{2^{\nu}}}{\dfrac{\alpha}{2^{\nu}}}\dfrac{\alpha}{\varepsilon\phi \alpha }=\dfrac{\alpha}{\varepsilon\phi \alpha }$ αφού

$\displaystyle\lim_{\nu\to+\infty}\dfrac{\varepsilon\phi \displaystyle \dfrac{\alpha}{2^{\nu}}}{\dfrac{\alpha}{2^{\nu}}}\overset{x=\dfrac{\alpha}{2^{\nu}}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{\varepsilon\phi x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu x}{x}\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu x}=1$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση