Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Δίνονται οι τυχαίοι αριθμοί $\displaystyle{\rho_1,\rho_2,\rho_3,...,\rho_{\nu}}$ διαφορετικοί μεταξύ τους.
Έαν ένας από αυτούς είναι της μορφής $\displaystyle{\alpha+\beta i}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta }$ πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{\beta \ne 0}$ ,
υποθέτουμε οτι ένας από τους υπόλοιπους θα είναι ο συζυγής του $\displaystyle{\alpha-\beta i}$ .
Σχηματίζουμε το γινόμενο :
$\displaystyle{\begin{matrix} \rho^2=(\rho_1-\rho_2)^2(\rho_1-\rho_3)^2(\rho_1-\rho_4)^2 \cdot ...\cdot (\rho_1-\rho_{\nu})^2\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\cdot(\rho_2-\rho_3)^2(\rho_2-\rho_4)^2 \cdot ...\cdot (\rho_2-\rho_{\nu})^2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\cdot(\rho_3-\rho_4)^2 \cdot ...\cdot (\rho_3-\rho_{\nu})^2 \\ ....................... \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\cdot (\rho_{\nu-1}-\rho_{\nu})^2 \end{matrix}}$
Να δειχτεί οτι ικανη κι αναγκαία συνθήκη ώστε να ισχύει $\displaystyle{\rho^2 <0}$ είναι οι αριθμοί της μορφής $\displaystyle{\alpha+\beta i}$ (εκτός των συζυγών τους)
να είναι περιττού πλήθους ενώ για να να ισχύει $\displaystyle{\rho^2 >0}$ είναι οι αριθμοί αυτοί να είναι άρτιου ή μηδενικού πλήθους .

2. Μια ευθεία τέμνει δυο παράλληλες ευθείες $\displaystyle{AB,\Gamma\Delta}$ στα σημεία $\displaystyle{Z,H}$ αντίστοιχα.
Έστω $\displaystyle{EM,EN}$ και $\displaystyle{Z\Lambda,ZO }$ οι τριχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{BEZ},\widehat{\Delta ZE}}$ αντίστοιχα με $\displaystyle{\widehat{EZM}<\widehat{ZEN}}$ και $\displaystyle{\widehat{EZ\Lambda}<\widehat{EZO} }$ .
Από το $\displaystyle{P}$ , σημείο τομής των $\displaystyle{EM,Z\Lambda}$ φέρνουμε παράλληλες προς τις $\displaystyle{ZO,EN}$ οι οποίες τις τέμνουν σε αντίστροφη αντιστοιχία στα σημεία $\displaystyle{\Sigma,H}$ .
Αν $\displaystyle{I,\Theta}$ είναι σημεία τομής της $\displaystyle{\Sigma H}$ με τις $\displaystyle{AB,\Gamma\Delta}$ αντίστοιχα, να δειχτεί οτι το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{I\Theta}$ τριχοτομείται από τα σημεία $\displaystyle{\Sigma, H}$ .

3. Έστω $\displaystyle{Ox ,Oy}$ δυο ευθείες του επιπέδου $\displaystyle{E}$ που σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{\theta}$ .
Να υπολογισθεί η κλίση ευθείας $\displaystyle{OZ}$ (που δεν ανήκει στο επίπεδο) ως προς το επίπεδο $\displaystyle{E}$ ,
όταν αυτή σχηματίζει με τις $\displaystyle{Ox ,Oy}$ γωνίες $\displaystyle{\theta_1,\theta_2}$ αντίστοιχα.

edit
μετονομασία τίτλου από 'θετική'' σε ''πρακτικό''

Al.Koutsouridis · #2

parmenides51 έγραψε: Δευ Ιούλ 29, 2013 11:11 pm
3. Έστω $\displaystyle{Ox ,Oy}$ δυο ευθείες του επιπέδου $\displaystyle{E}$ που σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{\theta}$ .
Να υπολογισθεί η κλίση ευθείας $\displaystyle{OZ}$ (που δεν ανήκει στο επίπεδο) ως προς το επίπεδο $\displaystyle{E}$ ,
όταν αυτή σχηματίζει με τις $\displaystyle{Ox ,Oy}$ γωνίες $\displaystyle{\theta_1,\theta_2}$ αντίστοιχα.

Δε γνωρίζω ποιά ήταν η ύλη της εποχής αλλά αν δεν κάνω λάθος μπορεί να λυθεί με τα θεωρήματα (νόμοι) ημιτόνων και συνημιτώνων για τρίεδρες γωνίες. Αλλάζω λίγο τους συμβολισμούς για να φανεί πως χρησιμοποιούνται τα θεωρήματα. Την ημιευθεία

έστω ότι την συμβολίζουμε με

, την ημιευθεία

με

και την ημιευθεία

με

. Οι ημιευθείες a,b

ανήκουν στο επέπεδο

.

Με κεφαλαία γράμματα $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ συμβολίζουμε τις δίεδρες γωνίες που σχηματίζονται από τα επίπεδα που έχουν ως τομή τις ημιευθείες a,b,c

αντίστοιχα. Με $\alpha, \beta, \gamma$ συμβολίζουμε τις επίπεδες γωνίες που σχηματίζονται από τις ημιευθείες που βρίσκονται "απέναντι" από τις ημιευθείες a, b,c

αντίστοιχα.

: pmdm_1972_73_st_praktiko_pr3.png (38.16 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Για την παραπάνω τρίεδρη γωνία που σχηματίζεται από τις ημιευθείες a,b,c

ισχύουν τα θεωρήματα:

1. Θεώρημα συνημιτόνων τρίεδρης γωνίας:

$\displaystyle{\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \widehat{A}}$

2. Θεώρημα ημιτόνων τρίεδρης γωνίας: Το ημίτονο των δίεδρων γωνιών μιας τρίεδρης γωνίας είναι ανάλογο του ημιτόνου της απέναντι επίπεδης γωνίας.

$\displaystyle{ \dfrac{\sin \widehat{A}}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \widehat{B}}{\sin \beta}= \dfrac{\sin \widehat{C}}{\sin \gamma}}$

Στο πρόβλημά μας. Έστω $c_{1}$ η προβολή της ημιευθείας

στο επίπεδο

και έστω $\phi$ η επίπεδη γωνία μεταξύ των ημιευθειών

και $c_{1}$ . Εφαρμόζοντας το θεώρημα ημιτόνων στην τρίεδρη γωνία που σχηματίζεται από τις ημιευθείες $a, c, c_{1}$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac{\sin \widehat{A}}{\sin \phi} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2}}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \phi = \sin \beta \sin \widehat{A}$

Από το θεώρημα των συνημιτόνων έχουμε

$\cos \widehat{A} = \dfrac{ \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma } \Rightarrow \sin^2 \widehat{A} =1- \cos^2 \widehat{A} = \dfrac{ \sin^2 \beta \sin^2 \gamma-\left (\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \right)^2 }{ \sin^2 \beta \sin^2 \gamma } =$

$= \dfrac{ 1-\cos^2 \alpha -\cos^2 \beta - \cos^2 \gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\sin^2 \beta \sin^2 \gamma }$

Οπότε για την κλίση της ευθείας

ως προς το επίπεδο

έχουμε

$\displaystyle{\tan^2 \phi = \dfrac{\sin^2 \phi}{1-\sin^2 \phi} = \dfrac{\sin^2 \widehat{A} \sin^2 \beta}{1 -\sin^2 \widehat{A} \sin^2 \beta} = }$

$\displaystyle{= \dfrac{ 1-\cos^2 \alpha -\cos^2 \beta - \cos^2 \gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }{ \sin^2 \gamma+1+ \cos^2 \alpha +\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma } = }$

$\displaystyle{= \dfrac{ 1-\cos^2 \alpha -\cos^2 \beta - \cos^2 \gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }{ 2+ \cos^2 \alpha +\cos^2 \beta - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma } \Rightarrow }$

$\displaystyle{\tan \phi = \sqrt{\dfrac{ 1-\cos^2 \alpha -\cos^2 \beta - \cos^2 \gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }{ 2+ \cos^2 \alpha +\cos^2 \beta - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma } }}$

δηλαδή η κλίση υπολογίστηκε συναρτήσει των γωνιών που μας δίνονται στην εκφώνηση. Δε ξέρω αν απλοποιείται η τελευτάια σχέση, θα το κοιτάξω...

Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση