Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{1,2,3,...}$ παραθέτουμε σε γραμμές ως εξής:
$\displaystyle{1}$
$\displaystyle{2,3}$
$\displaystyle{4,5,6}$
$\displaystyle{7,8,9,10}$
$\displaystyle{.................}$
$\displaystyle{......................}$
Να βρεθούν :
α) ο πρώτος και τελευταίος όρος της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστης γραμμής
β) το άθροισμα των όρων της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστης γραμμής
γ) το άθροισμα των πρώτων όρων των $\displaystyle{\nu}$ γραμμών

2. Δίνεται επίπεδο $\displaystyle{(\Pi)}$ και κύκλος $\displaystyle{(O,\rho)}$ που βρίσκεται εκτός του $\displaystyle{(\Pi) }$ , σε επίπεδο μη παράλληλο προς το $\displaystyle{(\Pi)}$ .
Αν $\displaystyle{\Sigma}$ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου, να αχθεί χορδή $\displaystyle{\Sigma A }$ που να τέμνει το $\displaystyle{(\Pi)}$ σε σημείο $\displaystyle{B}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(\Sigma A) (\Sigma B)=9\rho^2}$

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της $\displaystyle{B\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\frac{(B\Delta)}{(\Delta\Gamma)}=\frac{3}{5}}$ .
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{8 \sigma \phi \widehat{A\Delta\Gamma}=5\sigma \phi B-3\sigma \phi\Gamma}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

1. Τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{1,2,3,...}$ παραθέτουμε σε γραμμές ως εξής:
$\displaystyle{1}$
$\displaystyle{2,3}$
$\displaystyle{4,5,6}$
$\displaystyle{7,8,9,10}$
$\displaystyle{.................}$
$\displaystyle{......................}$
Να βρεθούν :
α) ο πρώτος και τελευταίος όρος της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστης γραμμής
β) το άθροισμα των όρων της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστης γραμμής
γ) το άθροισμα των πρώτων όρων των $\displaystyle{\nu}$ γραμμών

α) Αν με $\beta _{\nu }$ συμβολίσουμε την ακολουθία των πρώτων όρων των γραμμών , έχουμε

$\beta _{2}-\beta _{1}=1$
$\beta _{3}-\beta _{2}=2$
$\beta _{4}-\beta _{3}=3$
$\beta _{5}-\beta _{4}=4$
..........................................
..........................................
$\beta _{\nu }-\beta _{\nu -1}= \nu -1$

Αν προσθέσουμε αυτές τις ισότητες , προκύπτει ότι
$\beta _{\nu }-\beta _{1}= 1+2+3+4+...+\left( \nu-1 \right)=\frac{\nu }{2}\left(\nu -1 \right)$

και έτσι $\beta _{\nu }=1+\frac{\nu\left(\nu -1 \right) }{2}$

Αν με $c_{\nu }$ συμβολίσουμε την ακολουθία των τελευταίων όρων των γραμμών , τότε έχουμε

$c_{2 }-c_{1}=2$
$c_{3 }-c_{2}=3$
$c_{4 }-c_{3}=4$
$c_{5 }-c_{4}=5$
..............................
..............................
$c_{\nu }-c_{\nu -1}=\nu$
Αν προσθέσουμε αυτές τις ισότητες , προκύπτει ότι
$c_{\nu }-c_{1}=2+3+4+5+...+\nu =\frac{2+\nu }{2}\left(\nu -1 \right)$

και έτσι

$c_{\nu } =\frac{2+\nu }{2}\left(\nu -1 \right)+1$

β) Το άθροισμα των όρων της ν-ιοστής γραμμής είναι το άθροισμα ν όρων αριθμητικής προόδου , με πρώτο όρο τον $\beta _{\nu }$ και τελευταίο τον $c_{\nu }$ .
Το άθροισμα αυτό είναι ίσο με $\frac{\beta_{\nu }+c_{\nu } }{2}\nu$ και μετά τις αντικαταστάσεις , τις πράξεις και τις απλοποιήσεις είναι ίσο με $\frac{\nu }{2}\left( \nu ^{2}+1\right)$

γ) Το άθροισμα των πρώτων όρων των ν γραμμών είναι ίσο με

$\sum{\beta _{\nu }}=\frac{1}{2}\sum{\left( \nu ^{2}-\nu +2\right)}=\frac{1}{2}\left( \sum{\nu^{2}+ \sum{\nu }}+\sum{2}\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{\nu\left(\nu+1 \right)\left( 2\nu +1\right) }{6}-\frac{\nu \left( \nu+1 \right)}{2}+2\nu \right]=...=\frac{\nu }{6}\left(\nu^{2}+5 \right)$

Αυτό το θέμα μοιάζει με την άσκηση 69 της σελίδας 56 του βιβλίου '' ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ '' των Η . Ντζιώρα - Ι . Πανάκη , που διδασκόταν στα λύκεια έως και το 1982-1983 .

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της $\displaystyle{B\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\frac{(B\Delta)}{(\Delta\Gamma)}=\frac{3}{5}}$ .
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{8 \sigma \phi \widehat{A\Delta\Gamma}=5\sigma \phi B-3\sigma \phi\Gamma}$

Έστω, για ευκολία, $\widehat {{\rm A}\Delta \Gamma } = \varphi$ , $\widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = {\widehat {\rm A}_1}$ και $\widehat {\Gamma {\rm A}\Delta } = {\widehat {\rm A}_2}$

Είναι $\varphi = {\widehat {\rm A}_1} + \widehat {\rm B} \Leftrightarrow {\widehat {\rm A}_1} = \varphi - \widehat {\rm B}\;\left( 1 \right)$ και ${\widehat {\rm A}_2} = 180^\circ - \varphi - \widehat \Gamma \;\left( 2 \right)$

Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{\rm A}{\rm B}\Delta$ και $\displaystyle{\rm A}\Delta \Gamma$ είναι:

$\displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\eta \mu {{\rm A}_1}}}\;\left( 3 \right)$ και $\displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu \Gamma }} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{\eta \mu {{\rm A}_2}}}\;\left( 4 \right)$

$\displaystyle{\frac{{\left( 3 \right)}}{{\left( 4 \right)}} \Rightarrow \frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Delta \eta \mu {{\rm A}_2}}}{{\Gamma \Delta \eta \mu {{\rm A}_1}}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Delta \eta \mu \left( {180^\circ - \varphi - \Gamma } \right)}}{{\Gamma \Delta \eta \mu \left( {\varphi - {\rm B}} \right)}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{\eta \mu \left( {\varphi + \Gamma } \right)}}{{\eta \mu \left( {\varphi - {\rm B}} \right)}} \Rightarrow \frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu {\rm B} - \eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \varphi }} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{\eta \mu \varphi \left( {\sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta \mu \Gamma \sigma \varphi \varphi } \right)}}{{\eta \mu \varphi \left( {\sigma \upsilon \nu {\rm B} - \eta \mu {\rm B}\sigma \varphi \varphi } \right)}} \Rightarrow }$

$5\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} - 5\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \sigma \varphi \varphi = 3\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \Gamma + 3\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \sigma \varphi \varphi \Rightarrow$

$8\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \sigma \varphi \varphi = 5\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} - 3\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \Gamma \Rightarrow$

$8\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \sigma \varphi \varphi = \eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \left( {5\sigma \varphi {\rm B} - 3\sigma \varphi \Gamma } \right) \Rightarrow$

$8\sigma \varphi \varphi = 5\sigma \varphi {\rm B} - 3\sigma \varphi \Gamma$

Al.Koutsouridis · #4

parmenides51 έγραψε: Τρί Ιούλ 30, 2013 12:21 am
2. Δίνεται επίπεδο $\displaystyle{(\Pi)}$ και κύκλος $\displaystyle{(O,\rho)}$ που βρίσκεται εκτός του $\displaystyle{(\Pi) }$ , σε επίπεδο μη παράλληλο προς το $\displaystyle{(\Pi)}$ .
Αν $\displaystyle{\Sigma}$ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου, να αχθεί χορδή $\displaystyle{\Sigma A }$ που να τέμνει το $\displaystyle{(\Pi)}$ σε σημείο $\displaystyle{B}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(\Sigma A) (\Sigma B)=9\rho^2}$

Μοιάζει περισσότερο με επιπεδομετρία παρά στερεομετρία, εκτός αν υπάρχει κάτι πιο καλό εκμεταλευόμενοι στερεομετρικά χαρακτηριστικά.

: pmdm_1974_75_g_lukeiou_klasiko_pr2.png (44.6 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Έστω $\Pi^{\prime}$ το επίπεδο του κύκλου (O,r)

και $\epsilon$ η ευθεία τομής των επιπέδων $\Pi$ και $\Pi^{\prime}$ . Στην ημιευθεία

θεωρούμε τα σημεία

αντιδιαμετρικό του

και

, ώστε $KL=\dfrac{5}{2}r$ . Από το σημείο

φέρουμε κάθετη προς την

και έστω

το σημείο τομής αυτής με την ευθεία $\epsilon$ . Έστω επίσης

το σημείο τομής της ευθείας

με τον κύκλο (O,r)

. Τότε η χορδή

έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

Πράγματι, είναι $\angle SAK =\angle KLB =90^0$ . Οπότε τα σημεία A,B,K,L

είναι ομοκυκλικά και θα ισχύει $SA \cdot SB =SK \cdot SL = 2r(2r+\dfrac{5}{2}r) =9r^2$ .

Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση