Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)}$ με πραγματικούς συντελεστές.
Έστω οτι οι ρίζες του $\displaystyle{f(x)}$ είναι όλες πραγματικές και απλές.
Να δειχτεί οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{ [f'(x)]^2-f(x)f''(x)}$ δεν έχει καμία πραγματική ρίζα.

2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και το ύψος του $\displaystyle{A\Delta}$ .
Να βρεθούν σημεία $\displaystyle{E,Z}$ των $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ αντίστοιχα τέτοια ώστε το τρίγωνο $\displaystyle{EZ\Delta}$ να είναι ισοσκελές με κορυφή το $\displaystyle{Z}$
και η γωνία $\displaystyle{\widehat{EZ\Delta}}$ να είναι ίση με δοθείσα γωνία $\displaystyle{\phi}$ .

3. Σε επίπεδο $\displaystyle{(\pi)}$ δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Στα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ υψώνουμε καθέτους προς το επίπεδο $\displaystyle{(\pi)}$ , στο ίδιο μέρος του επιπέδου αυτού.
και σε πάνω τους θεωρούμε σημεία $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $\displaystyle{(AA_1)=x,(BB_1)=x+y,(\Gamma\Gamma_1)=x+z}$ .
Έστω $\displaystyle{\theta}$ η γωνία του επιπέδου των $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ με το επίπεδο $\displaystyle{(\pi)}$ .
Να δειχτεί οτι $\displaystyle{\varepsilon\phi \theta \, \eta\mu A=\sqrt{\frac{y^2}{\gamma^2}+\frac{x^2}{\beta^2}-\frac{yx}{\beta\gamma}\sigma \upsilon\nu A}}$ όπου $\displaystyle{ \widehat{A}}$ η γωνία του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{(\Gamma A)=\beta, ( AB)=\gamma }$

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)}$ με πραγματικούς συντελεστές.
Έστω οτι οι ρίζες του $\displaystyle{f(x)}$ είναι όλες πραγματικές και απλές.
Να δειχτεί ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{ [f'(x)]^2-f(x)f''(x)}$ δεν έχει καμία πραγματική ρίζα.

Έστω $x_1<x_2<\cdots<x_n$ οι ρίζες του f(x)

.

Τότε $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)$ και για $x\in(-\infty,x_1)\cup(x_1,x_2)\cup\cdots\cup(x_n,+\infty)$ έχουμε:

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x-x_1}+\dfrac{1}{x-x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x-x_n}$ , άρα

$\left(\dfrac{f'(x)}{f(x)}\right)'=\left(\dfrac{1}{x-x_1}+\dfrac{1}{x-x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x-x_n}\right)'\Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{f(x)f''(x)-[f'(x)]^2}{\left[f(x)\right]^2}=$
$=-\left(\dfrac{1}{(x-x_1)^2}+\dfrac{1}{(x-x_2)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(x-x_n)^2}\right)<0$ .

Άρα $[f'(x)]^2-f(x)f''(x)\neq 0$ για κάθε $x\in(-\infty,x_1)\cup(x_1,x_2)\cup\cdots\cup(x_n,+\infty)$ .

Επίσης δεν μπορεί κάποιος $x_i\;,\;i=1,2,\dots,n$ να είναι ρίζα του

γιατί τότε θα είχαμε:

$[f'(x_i)]^2-f(x_i)f''(x_i)=0\overset{f(x_i)=0}{\iff} f''(x_i)=0$ και τότε το x_i

θα ήταν διπλή ρίζα του f(x)

.

Επομένως $[f'(x)]^2-f(x)f''(x)\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ δηλαδή το πολυώνυμο $\displaystyle{ [f'(x)]^2-f(x)f''(x)}$ δεν έχει καμία πραγματική ρίζα.

Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1974-75 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση