Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Θεωρούμε τα πολυώνυμα $\displaystyle{P_0(x),P_1(x),P_2(x),...,P_{\nu}(x),...}$ με πραγματικούς συντελεστές που ορίζονται ως ακολούθως:
$\displaystyle{P_0(x)=1 \,\, ,\,\, P_{\nu}(x)=(1+\nu x)P_{\nu-1}(x)+x(1-x)P'_{\nu-1}(x)}$ όπου $\displaystyle{P'_{\nu-1}(x)}$ είναι η παράγωγος του $\displaystyle{P_{\nu-1}(x)}$ ( $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ ).
α) Να προσδιορισθεί ο βαθμός του $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ και να βρεθούν οι τιμές του για $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$
β) Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{x^{\nu}P_{\nu}\left(\frac{1}{x}\right)=P_{\nu}(x)}}$ ( $\displaystyle{x\ne 0}$ )
και να συμπεράνετε οτι αν ο $\displaystyle{x_o}$ είναι ρίζα του $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ τότε και ο $\displaystyle{\frac{1}{x_o}}$ είναι ρίζα του.
Μετά να αποδείξετε οτι τα πολυώνυμα $\displaystyle{P_{\nu-1}(x)}$ ( $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ ) έχουν κοινή ρίζα την οποία και να προσδιορίσετε.
γ) Να αποδειχθεί οτι αν ο $\displaystyle{x_o}$ είναι κοινή ρίζα των $\displaystyle{P_{\nu}(x),P_{\nu-1}(x)}$ όταν και μόνο όταν ο $\displaystyle{x_o}$ είναι πολλαπλή ρίζα του $\displaystyle{P_{\nu-1}(x)}$ .

2. Θεωρούμε ορθή δίεδρο γωνία $\displaystyle{\Pi \varepsilon P}$ (όπου $\displaystyle{(\Pi), (P)}$ οι έδρες της και $\displaystyle{(\varepsilon)}$ η ακμή).
Πάνω στο $\displaystyle{(\Pi)}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{A}$ και στο $\displaystyle{(P)}$ σημείο $\displaystyle{B}$ τέτοια ώστε αν $\displaystyle{A\Gamma \perp E}$ και $\displaystyle{B\Delta\perp E}$ να είναι $\displaystyle{A\Gamma=\Gamma\Delta=\Delta B=\alpha}$ .
Φέρνουμε στο εσωτερικό της δίεδρου γωνίας την ημιευθεία $\displaystyle{Az\perp (\Pi)}$ και την ημιευθεία $\displaystyle{Bt\perp (\Pi)}$ .
Πάνω στην $\displaystyle{Az}$ κινείται σημείο $\displaystyle{K}$ και στην $\displaystyle{Bt}$ σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ . Θέτουμε $\displaystyle{AK=x,B \Lambda=y}$ .
α) Να εκφρασθεί το $\displaystyle{K\Lambda}$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha,x,y}$
και να ορισθούν εκείνα τα σημεία $\displaystyle{K_o\in Az ,\Lambda_o\in Bt}$ για τα οποία το $\displaystyle{K\Lambda}$ έχει το ελάχιστο μήκος.
Τι είναι τότε η $\displaystyle{K_o\Lambda_o}$ για τις ευθείες $\displaystyle{Az}$ και $\displaystyle{Bt}$ ;
β) Να αποδειχθεί οτι οι σφαίρες με διάμετρο την $\displaystyle{K\Lambda}$ (για τις τυχαίες θέσεις των $\displaystyle{K,\Lambda}$ ) οι οποίες θα λέγονται σφαίρες $\displaystyle{(\Sigma)}$ διέρχονται από τα $\displaystyle{K_o,\Lambda_o }$ .
γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των σφαίρων από τις $\displaystyle{(\Sigma)}$ , που έχουν ακτίνα ίση με ορισμένο μήκος $\displaystyle{R}$ .

3. Έστω $\displaystyle{x,y,w }$ οι (οξείες) γωνίες που σχηματίζει η διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τις ακμές του.
Ν' αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις:

α) $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y+\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu w+\sigma \upsilon \nu y\sigma \upsilon \nu w\le 1}$

β) $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x+\sigma \upsilon \nu y+\sigma \upsilon \nu w\le \sqrt3}$

γ) $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y\sigma \upsilon \nu w\le\frac{ \sqrt3}{9}}$

δ) $\displaystyle{\eta\mu x\eta\mu y+\eta\mu x\eta\mu w +\eta\mu y \eta\mu w \le 2}$

ε) $\displaystyle{\eta\mu x + \eta\mu y +\eta\mu w\le \sqrt6}$

στ) $\displaystyle{\eta\mu x \eta\mu y \eta\mu w\le \frac{2\sqrt6}{9}}$

ζ) $\displaystyle{\varepsilon \phi^2 x \varepsilon \phi^2 y\varepsilon \phi^2 w\ge 8}$

Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση