Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{P(x)}$ ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές που ικανοποιεί την $\displaystyle{P(x^{\color{red}2})+P(x)P(x+1)=0}$ για κάθε x μιγαδικό
και $\displaystyle{\alpha}$ μια ρίζα του, να δειχθεί ότι και οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha^2,\alpha^4,\alpha^{\color{red}8},...,\alpha^{\color{red}{2^{\nu}}},...}$ είναι επίσης ρίζες του πολυωνύμου.
Χρησιμοποιώντας αυτό να δειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha=0}$ ή $\displaystyle{|\alpha|=1}$ .
Παρατηρείστε επίσης οτι και ο $\displaystyle{(\alpha-1)^2}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου και χρησιμοποποιώντας αυτό να δειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha=1}$ ή $\displaystyle{|\alpha-1|=1}$ .

2. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma}$ τυχαίο τρίγωνο.
Έστω $\displaystyle{x,y,z}$ σημεία στις πλευρές του $\displaystyle{B\Gamma,\Gamma A, AB}$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε οτι ένα τουλάχιστον από τα τρίγωνα $\displaystyle{Azy,Bxz,\Gamma yx}$ έχει εμβαδόν μικρότερο ή ίσο του εμβαδού του τριγώνου $\displaystyle{xyz}$ .

3. Έστω $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του $\displaystyle{1}$ .
Έστω $\displaystyle{x}$ τόξο (σε ακτίνια) για το οποίο ισχύει $\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{4(\nu-1)}}$ .
Ν' αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi (\nu x) >\nu \varepsilon \phi x}$ .

edit
Διόρθωση εκθετών στο 1ο θέμα, ευχαριστώ τον Κώστα (Ζερβό) που το παρατήρησε

#2

parmenides51 έγραψε: 3. Έστω $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του $\displaystyle{1}$ .
Έστω $\displaystyle{x}$ τόξο (σε ακτίνια) για το οποίο ισχύει $\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{4(\nu-1)}}$ .
Ν' αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi (\nu x) >\nu \varepsilon \phi x}$ .

Καταρχήν αν $x,y\in \left(0,\dfrac{\pi }{4} \right)$ τότε $\tan \left(x+y \right)>\tan x+\tan y.$ Είναι συνέπεια του τύπου $\tan \left(x+y \right)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}.$
Επαγωγικώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι για κάθε φυσικό $n\geq 2$ και $x_1,x_2,...,x_n\in \left(0,\dfrac{\pi }{4(n-1)} \right)$ ισχύει $\tan (x_1+x_2+...+x_n)>\tan x_1+\tan x_2+...+\tan x_n.$
Για n=2

είναι αληθής αφού είναι η προηγούμενη παρατήρηση. Έστω ότι για κάποιον φυσικό $n\geq 2$ η πρόταση είναι αληθής. Έστω ακόμα οι n+1

αριθμοί $y_1,y_2,...,y_n,y_{n+1}\in \left(0,\dfrac{\pi }{4n} \right).$ Θέτουμε x=y_1+y_2+...+y_n.

Είναι $x,y_{n+1}\in \left(0,\dfrac{\pi }{4} \right),$ οπότε $\tan(x+y_{n+1})>\tan x+\tan y_{n+1}.$ Εφόσον $0<y_1,y_2,...,y_n<\dfrac{\pi }{4n}<\dfrac{\pi}{4(n-1)},$ από την υπόθεση της επαγωγής, $\tan x=\tan\left(y_1+y_2+...+y_n \right)>\tan y_1+\tan y_2+...+\tan y_n.$ Άρα $\tan\left(y_1+y_2+...+y_n +y_{n+1}\right)>\tan y_1+\tan y_2+...+\tan y_n+\tan y_{n+1}.$
Δείξαμε ότι αν η πρόταση ισχύει για κάποιον φυσικό $n\geq 2$ τότε ισχύει και για τον n+1.

Άρα ισχύει για κάθε φυσικό $\geq 2.$
Εφαρμόζουμε το παραπάνω για x_1=x_2=...=x_n=x

και έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{P(x)}$ ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές που ικανοποιεί την $\displaystyle{P(x^{\color{red}2})+P(x)P(x+1)=0}$ για κάθε x μιγαδικό
και $\displaystyle{\alpha}$ μια ρίζα του, να δειχθεί ότι και οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha^2,\alpha^4,\alpha^{\color{red}8},...,\alpha^{\color{red}{2^{\nu}}},...}$ είναι επίσης ρίζες του πολυωνύμου.
Χρησιμοποιώντας αυτό να δειχθεί ότι $\displaystyle{\alpha=0}$ ή $\displaystyle{|\alpha|=1}$ .
Παρατηρείστε επίσης ότι και ο $\displaystyle{(\alpha-1)^2}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου και χρησιμοποιώντας αυτό να δειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha=1}$ ή $\displaystyle{|\alpha-1|=1}$ .

Νομίζω ότι η εκφώνηση πρέπει να είναι όπως την έχω διορθώσει...

Επίσης το P(x)

δεν πρέπει να είναι το μηδενικό , γιατί διαφορετικά έχει ρίζες όλους του μιγαδικούς αριθμούς και δεν θα είναι απαραίτητα $\alpha=0$ ή $|\alpha|=1$ .

Θα δείξουμε με επαγωγή , ότι $P\left(\alpha^{2^{\nu}}\right)=0$ για κάθε $\nu\in\Bbb{N}$ .

Για $\nu=0$ πρέπει $P(\alpha^{2^{0}})=0\iff P(\alpha)=0$ που ισχύει.

Έστω ότι $P\left(\alpha^{2^{\nu}}\right)=0\;\;(1)$ , τότε για $x=\alpha^{2^{\nu}}$ στην σχέση που δίνεται έχουμε

$P\left(\left(\alpha^{2^{\nu}}\right)^2\right)+P\left(\alpha^{2^{\nu}}\right)P\left(\alpha^{2^{\nu}}+1\right)=0\overset{(1)}{\iff}P\left(\alpha^{2^{\nu+1}}\right)=0$ .

Άρα $P\left(\alpha^{2^{\nu}}\right)=0$ για κάθε $\nu\in\Bbb{N}$ , επομένως οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha^2,\alpha^4,\alpha^{9},...,\alpha^{2^{\nu}},...}$ είναι ρίζες του πολυωνύμου.

Αν το P(x)

έχει βαθμό $k\in\Bbb{N}$ , τότε βλέπουμε ότι έχει ρίζες όλους του αριθμούς της μορφής $\alpha^{2^{\nu}}\;,\;\nu\in\Bbb{N}$ , επομένως δεν μπορεί αυτοί οι αριθμοί να είναι διαφορετικοί , άρα υπάρχουν $\m\;,\;n\in\Bbb{N}$ με m>n

ώστε $\alpha^{2^{m}}=\alpha^{2^{n}}\iff \alpha^{2^{n}}\left(\alpha^{2^{m}-2^{n}}-1\right)=0\iff \alpha=0$ ή $\alpha^{2^{m}-2^{n}}=1\Rightarrow \left|\alpha^{2^{m}-2^{n}}\right|=1\Rightarrow |\alpha|^{2^{m}-2^{n}}=1\Rightarrow |\alpha|=1$ .

Για $x=\alpha-1$ στην αρχική , έχουμε $P\left((\alpha-1)^2\right)+P(\alpha-1)P(\alpha-1+1)=0\overset{P(\alpha)=0}{\iff}P\left((\alpha-1)^2\right)=0$ .

Όμοια με προηγουμένως αποδεικνύουμε ότι έχει ρίζες όλους του αριθμούς της μορφής $(\alpha-1)^{2^{\nu}}\;,\;\nu\in\Bbb{N}^*$ και με ανάλογο τρόπο θα είναι $\alpha-1=0\iff \alpha=1$ ή $|\alpha-1|=1$ .

Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση