Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\beta=\sqrt{\alpha}+\sqrt{1+\alpha}}$ με $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{N}}$ , τότε να δείξετε οτι:
α) κάθε όρος της ακολουθίας $\displaystyle{(\alpha_{\nu})_{\nu\in \mathbb{N} } }$ που ορίζεται από τον τύπο $\displaystyle{\alpha_{\nu}=\frac{1}{4}(\beta^{2\nu}+\beta^{-2\nu}-2) }$ , $\displaystyle{ \nu=1,2,...}$
είναι ακέραιος αριθμός
β) ισχύει ο τύπος $\displaystyle{\beta^{\nu}=\sqrt{\alpha_{\nu}}+\sqrt{1+\alpha_{\nu}}}$ για κάθε $\displaystyle{\nu\in \mathbb{N}}$

2.Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ του οποίου το εμβαδόν ας είναι $\displaystyle{E}$ .
Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{P}$ .
Φέρνουμε από το $\displaystyle{P}$ παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ που τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{I}$ και την $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
Φέρνουμε ακόμα από το $\displaystyle{P}$ την παράλληλη προς την $\displaystyle{A\Gamma}$ που τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{\Theta}$ και την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{E}$ .
Τέλος από το ίδιο πάντα σημείο $\displaystyle{P}$ φέρνουμε την παράλληλη προς την $\displaystyle{AB}$ που τέμνει την $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{H}$ και την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ .
Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{PA\Gamma,P\Gamma A, PAB}$ αντίστοιχα
και $\displaystyle{a',b',c'}$ τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{A\Theta H,BI\Delta,\Gamma E Z}$ αντίστοιχα .
Αφού πρώτα δείξετε οτι $\displaystyle{\frac{b'}{c}=\frac{a}{E}}$ , να δείξετε στην συνέχεια οτι
το εμβαδόν του τετραγώνου $\displaystyle{\Delta EZH\Theta I}$ είναι το λιγότερο ίσο με $\displaystyle{\frac{2}{3}E}$ , δηλαδή $\displaystyle{(\Delta EZH\Theta I)\ge \frac{2}{3}E}$
Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πρόταση:
Αν οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle{\mu,\nu,\rho}$ έχουν άθροισμα $\displaystyle{1}$ , τότε $\displaystyle{\mu\nu+\nu\rho+\rho\mu\le \frac{1}{3}}$ .

3. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σε αυτό εγγεγραμμένο το τρίγωνο $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ όμοιο με το αρχικό,
με πλευρές $\displaystyle{B_1\Gamma_1,\Gamma_1A_1,A_1B_1}$ αντίστοιχα ομόλογες προς τις $\displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB}$
και τα σημεία $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{\theta}$ το μέτρο της γωνίας των ευθειών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{B_1\Gamma_1}$ και $\displaystyle{\lambda}$ ο λόγος ομοιότητας των παραπάνων τριγώνων $\displaystyle{\left( \lambda =\frac{B_1\Gamma_1}{B\Gamma}\right)}$ ,
να δειχτεί ότι $\displaystyle{2\lambda \sigma\upsilon\nu\theta=1}$ .

edit
προσθήκη υπόδειξης στο 2ο (υπήρχε στα θέματα)

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\beta=\sqrt{\alpha}+\sqrt{1+\alpha}}$ με $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{N}}$ , τότε να δείξετε οτι:
α) κάθε όρος της ακολουθίας $\displaystyle{(\alpha_{\nu})_{\nu\in \mathbb{N} } }$ που ορίζεται από τον τύπο $\displaystyle{\alpha_{\nu}=\frac{1}{4}(\beta^{2\nu}+\beta^{-2\nu}-2) }$ , $\displaystyle{ \nu=1,2,...}$
είναι ακέραιος αριθμός
β) ισχύει ο τύπος $\displaystyle{\beta^{\nu}=\sqrt{\alpha_{\nu}}+\sqrt{1+\alpha_{\nu}}}$ για κάθε $\displaystyle{\nu\in \mathbb{N}}$

α)Θα αποδείξουμε πρώτα ότι:
Αν $\color{blue}a_{\nu}=k\cdot p^{\nu}+m\cdot q^{\nu}\;\;\;,\;\;k,m,p,q\in\mathbb{R}$ , τότε $\color{blue}a_{\nu+2}-(p+q)a_{\nu+1}+q\cdot q\cdot a_{\nu}=0$
ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

$\alpha_{\nu}=\dfrac{1}{4}\left(\beta^{2\nu}+\beta^{-2\nu}-2\right)\iff$

$4\alpha_{\nu}+2=\left(\beta^2\right)^{\nu}+\left(\beta^{-2}\right)^{\nu}$

Έστω $u_{\nu}=4\alpha_{\nu}+2$ .

Τότε (σύμφωνα με τη πρόταση που αποδείξαμε) , θα έχουμε:

$u_{\nu+2}-\left(\beta^2+\beta^{-2}\right)u_{\nu+1}+\beta^2\cdot \beta^{-2}\cdot u_{\nu}=0$ .

Αλλά $\beta^2=2\alpha+1+2\sqrt{\alpha^2+\alpha}$ και
$\beta^{-2}=\dfrac{1}{2\alpha+1+2\sqrt{\alpha^2+\alpha}}=\cdots=2\alpha+1-2\sqrt{\alpha^2+\alpha}$ .

Επομένως

$u_{\nu+2}-2\left(2\alpha+1\right)u_{\nu+1}+u_{\nu}=0$ .

Άρα $4\alpha_{\nu+2}+2-2\left(2\alpha+1\right)\left(4\alpha_{\nu+1}+2\right)+4\alpha_{\nu}+2=0\iff$

$\iff\alpha_{\nu+2}-2(2\alpha+1)\alpha_{\nu+1}+\alpha_{\nu}-2\alpha-1=0\;\;\;\color{red}(1)$

Τώρα με επαγωγή έχουμε $\alpha_1=\alpha\in\mathbb{N}\;,\;\alpha_2=4\alpha^2+4\alpha\in\mathbb{N}$ .

Έστω ότι $\alpha_n\;,\;\alpha_{\nu+1}\in\mathhbb{N}$ , τότε λόγω της σχέσης $\color{red}(1)$ θα είναι $\alpha_{\nu+1}\in\mathbb{N}$ .

Άρα $\alpha_{\nu}$ ακέραιος.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Η πρόταση που αποδείξαμε ήταν βασική για τις ακολουθίες της μορφής αυτής.

β)Έχουμε $\alpha_{\nu}=\dfrac{1}{4}\left(\beta^{\nu}-\beta^{-\nu}\right)^2$ και

Έχουμε $\alpha_{\nu}+1=\dfrac{1}{4}(\beta^{2\nu}+\beta^{-2\nu}-2)+1=$

$=\dfrac{1}{4}(\beta^{2\nu}+\beta^{-2\nu}+2)=\dfrac{1}{4}\left(\beta^{\nu}+\beta^{-\nu}\right)^2$ .

Άρα $\sqrt{\alpha_{\nu}}+\sqrt{\alpha_{\nu}+1}=$

$=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\beta^{\nu}-\beta^{-\nu}\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\beta^{\nu}+\beta^{-\nu}\right)^2}=$

$=\dfrac{1}{2}\left(\beta^{\nu}-\beta^{-\nu}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\beta^{\nu}+\beta^{-\nu}\right)=\beta^{\nu}$ , όπου χρησιμοποιήσαμε ότι $\beta\geq \beta^{-1}$ .

Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Μέλη σε σύνδεση