Π.Μ.Δ.Μ. 1978-79 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

parmenides51 · #1

1. Δίνεται οτι η δομή $\displaystyle{(Z_{\nu},+,\cdot)}$ με $\displaystyle{Z_{\nu}=\{0,1,2,...,\nu-1\} \,\, mod \,\,\nu}$ είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος.
Αν $\displaystyle{\nu=p}$ πρώτος αριθμός, να αποδείξετε οτι:
α) η δομή $\displaystyle{(Z_{p},+,\cdot)}$ είναι σώμα
β) $\displaystyle{x^{p-1}\equiv 1 \,\, mod \,\,p}$ για κάθε $\displaystyle{x \in Z_{p}^*}$
γ) Αν $\displaystyle{p=2^{\nu}+1 \,, \,\nu \in \mathbb{N}}$ να αποδείξετε οτι ο αριθμός $\displaystyle{2\nu}$ είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε $\displaystyle{2^{2\nu}\equiv 1 \,\, mod \,\,p}$ .
Επίσης με την βοήθεια του (β) , να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\nu=2^{\lambda}}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ φυσικός αριθμός ή μηδέν.

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , οι διάμεσοι του $\displaystyle{B\Delta ,\Gamma E}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BZ,\Gamma H}$ των γωνιών του $\displaystyle{\widehat{B}, \widehat{\Gamma}}$ του τριγώνου αντίστοιχα.
Κατασκευάζουμε κυρτές γωνίες $\displaystyle{\widehat{\Delta B\Theta}, \widehat{E\Gamma I}}$ τέτοιες ώστε η $\displaystyle{BZ}$ να είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat{\Delta B\Theta}}$ και η $\displaystyle{\Gamma H}$ να είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat{E\Gamma I}}$ .
Αν οι ευθείες $\displaystyle{B\Theta}$ και $\displaystyle{\Gamma I}$ τέμνονται κάθετα, να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\sigma \upsilon\nu 2A=1+\varepsilon\phi B\varepsilon\phi \Gamma}$
όπου $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B}, \widehat{\Gamma}}$ οι γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς $\displaystyle{z_1=\sigma \upsilon\nu \alpha_1 +{\color{red}i} \eta\mu \alpha_1,z_2=\sigma \upsilon\nu \alpha_2 + {\color{red}i}\eta\mu \alpha_2}$ και $\displaystyle{z_3=\sigma \upsilon\nu \alpha_3 +{\color{red}i} \eta\mu \alpha_3}$ .
Αν $\displaystyle{\eta\mu \alpha_1+\eta\mu \alpha_2+\eta\mu \alpha_3=\sigma \upsilon\nu \alpha_1+\sigma \upsilon\nu \alpha_2+\sigma \upsilon\nu \alpha_3=0}$ , να αποδείξετε οτι:
α) τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{z_1,z_2,z_3}$
είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R=1}$ .
β) αν $\displaystyle{\nu}$ είναι ένας φυσικός αριθμός που δεν είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ ,
να αποδείξετε οτι $\displaystyle{z_1^{\nu}+z_2^{\nu}+z_3^{\nu}=z_1z_2^{\nu}+z_1z_3^{\nu}+z_2z_3^{\nu}=0}$

edit
προσθήκη των i στο 3ο θέμα

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Εἶχα λάβει μέρος καί εἶχα λύσει τήν 1η καί τήν 3η ἄσκηση.

Μήπως ὑπάρχει πουθενά ἡ λίστα τῶν βραβευθέντων;

Τά βραβεῖα πάντως τά εἶχε διανείμει ὁ τότε πρόεδρος τῆς ΕΜΕ Καθ. Στρατῆς Κουνιᾶς (τότε στό ΑΠΘ και ἀργότερα στό ΕΚΠΑ).

parmenides51 · #3

εδώ

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς $\displaystyle{z_1=\sigma \upsilon\nu \alpha_1 +{\color{red}i} \eta\mu \alpha_1,z_2=\sigma \upsilon\nu \alpha_2 + {\color{red}i}\eta\mu \alpha_2}$ και $\displaystyle{z_3=\sigma \upsilon\nu \alpha_3 +{\color{red}i} \eta\mu \alpha_3}$ .
Αν $\displaystyle{\eta\mu \alpha_1+\eta\mu \alpha_2+\eta\mu \alpha_3=\sigma \upsilon\nu \alpha_1+\sigma \upsilon\nu \alpha_2+\sigma \upsilon\nu \alpha_3=0}$ , να αποδείξετε οτι:
α) τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{z_1,z_2,z_3}$
είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R=1}$ .
β) αν $\displaystyle{\nu}$ είναι ένας φυσικός αριθμός που δεν είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ ,
να αποδείξετε οτι $\displaystyle{z_1^{\nu}+z_2^{\nu}+z_3^{\nu}=z_1z_2^{\nu}+z_1z_3^{\nu}+z_2z_3^{\nu}=0}$

εδώ με περισσότερα ερωτήματα

Π.Μ.Δ.Μ. 1978-79 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Π.Μ.Δ.Μ. 1978-79 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1978-79 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1978-79 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1978-79 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗ)

Μέλη σε σύνδεση