Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{AOB}$ και η κάθετος διάμετρος $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ . Χωρίζουμε την ακτίνα $\displaystyle{OA=p}$ σε $\displaystyle{\nu}$ ίσα μέρη από τα σημεία $\displaystyle{P_1,P_2,...,P_{\nu-1},P_{\nu}=A}$ και φέρνουμε στα σημεία $\displaystyle{P_1,P_2,...,P_{\nu}}$ κάθετους προς τις $\displaystyle{ \Gamma P_1,\Gamma P_2,..., \Gamma P_{\nu}}$ αντίστοιχα οι οποίοι τέμνουν την ακτίνα $\displaystyle{O\Delta}$ στα σημεία $\displaystyle{M_1,M_2,...,M_{\nu-1}.M_{\nu}=\Delta}$ αντίστοιχα.
Να υπολογιστούν συναρτήσει των $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{\nu}$ :
α) $\displaystyle{\Sigma_1=OM_1 +OM_2+...+OM_{\nu}}$
β) $\displaystyle{\Sigma_2=P_1M_1^2 +P_2M_2^2+...+P_{\nu}M_{\nu}^2}$
γ) η παράσταση $\displaystyle{\Sigma_2-\rho \Sigma_1}$

2. Σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ παίρνουμε τόξο $\displaystyle{AB}$ μικρότερο του ημικυκλίου. Να βρεθεί σημείο $\displaystyle{M}$ του τόξου $\displaystyle{AB}$ τέτοιο ώστε εαν $\displaystyle{MA'}$ και $\displaystyle{MB'}$ είναι οι αποστάσεις του από τις εφαπτόμενες στα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα, να έχουμε $\displaystyle{5(MA' )+( MB' )=2\rho}$ , όπου $\displaystyle{\rho}$ η ακτίνα του κύκλου.

3. Δίνεται σταθερή γωνία $\displaystyle{\widehat{xAy}}$ της οποίας οι πλευρές $\displaystyle{Ax}$ και $\displaystyle{Ay}$ τέμνονται από ευθεία που κινείται παράλληλα προς δοθείσα διεύθυνση στα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ αντίστοιχα. 'Εστω $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα σημεία επαφής (με τις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma,\Gamma A, AB}$ αντίστοιχα) του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ τα σημεία επαφής (με τις ίδιες πλευρές) του παρεγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ του απέναντι από την κορυφή $\displaystyle{A}$ , να δειχτεί οτι ο λόγος των εμβαδών $\displaystyle{E_1}$ και $\displaystyle{E_2}$ είναι σταθερός.

chris · #2

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{AOB}$ και η κάθετος διάμετρος $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ . Χωρίζουμε την ακτίνα $\displaystyle{OA=p}$ σε $\displaystyle{\nu}$ ίσα μέρη από τα σημεία $\displaystyle{P_1,P_2,...,P_{\nu-1},P_{\nu}=A}$ και φέρνουμε στα σημεία $\displaystyle{P_1,P_2,...,P_{\nu}}$ κάθετους προς τις $\displaystyle{ \Gamma P_1,\Gamma P_2,..., \Gamma P_{\nu}}$ αντίστοιχα οι οποίοι τέμνουν την ακτίνα $\displaystyle{O\Delta}$ στα σημεία $\displaystyle{M_1,M_2,...,M_{\nu-1}.M_{\nu}=\Delta}$ αντίστοιχα.
Να υπολογιστούν συναρτήσει των $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{\nu}$ :
α) $\displaystyle{\Sigma_1=OM_1 +OM_2+...+OM_{\nu}}$
β) $\displaystyle{\Sigma_2=P_1M_1^2 +P_2M_2^2+...+P_{\nu}M_{\nu}^2}$
γ) η παράσταση $\displaystyle{\Sigma_2-\rho \Sigma_1}$

Εδώ

#3

Δίνεται κύκλος διαμέτρου \displaystyle{AOB} και η κάθετος διάμετρος \displaystyle{\Gamma\Delta}. Χωρίζουμε την ακτίνα \displaystyle{OA=p} σε \displaystyle{\nu} ίσα μέρη από τα σημεία \displaystyle{P_1,P_2,...,P_{\nu-1},P_{\nu}=A} και φέρνουμε στα σημεία \displaystyle{P_1,P_2,...,P_{\nu}} κάθετους προς τις \displaystyle{ \Gamma P_1,\Gamma P_2,..., \Gamma P_{\nu}} αντίστοιχα οι οποίοι τέμνουν την ακτίνα \displaystyle{O\Delta} στα σημεία \displaystyle{M_1,M_2,...,M_{\nu-1}.M_{\nu}=\Delta} αντίστοιχα.
Να υπολογιστούν συναρτήσει των \displaystyle{p} και \displaystyle{\nu} :
α) \displaystyle{\Sigma_1=OM_1 +OM_2+...+OM_{\nu}}
β) \displaystyle{\Sigma_2=P_1M_1^2 +P_2M_2^2+...+P_{\nu}M_{\nu}^2}
γ) η παράσταση \displaystyle{\Sigma_2-\rho \Sigma_1}

: Clipboard02.jpg (7.28 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές

$\displaystyle{\Sigma _1=\sum_{k=1}^{n}{\frac{OP_k^2}{O\Gamma}}=\frac{r^2}{n^2r}\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n}r}$

$\displaystyle{\Sigma _2=\sum_{k=1}^{n}{(OP_k^2+OM_k^2)}=\sum_{k=1}^{n}{(\frac{r^2k^2}{n^2}+\frac{r^2k^4}{n^4})}=r\Sigma _1+\frac{r^2}{n^4}S_4}$
όπου
$\displaystyle{(n+1)^5-1=5S_4+10S_3+10S_2+5S_1+n}$ άρα
$\displaystyle{(n+1)^5-1=5S_4+10\frac{n^2(n+1)^2}{4}+10\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+5\frac{n(n+1)}{2}+n}$
οπότε
$\displaystyle{S_4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}}$ και
$\displaystyle{\Sigma _2-r\Sigma _1=\frac{6n^4+15n^3+10n^2-1}{30n^3}r^2}$

#4

. Δίνεται σταθερή γωνία \displaystyle{\widehat{xAy}} της οποίας οι πλευρές \displaystyle{Ax} και \displaystyle{Ay} τέμνονται από ευθεία που κινείται παράλληλα προς δοθείσα διεύθυνση στα \displaystyle{B} και \displaystyle{\Gamma} αντίστοιχα. 'Εστω \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα σημεία επαφής (με τις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma A, AB} αντίστοιχα) του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} τα σημεία επαφής (με τις ίδιες πλευρές) του παρεγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} του απέναντι από την κορυφή \displaystyle{A}, να δειχτεί οτι ο λόγος των εμβαδών \displaystyle{E_1} και \displaystyle{E_2} είναι σταθερός

οι γωνίες των τριγώνων $\displaystyle{ABC , A_1B_1C_1,A_2B_2C_2}$ είναι σταθερές
οπότε επειδή $\displaystyle{E=2R^2sinAsinBsinC}$ το εμβαδό είναι ανάλογο με το τετράγωνο της ακτίνας του περιγεγραμμένου του κύκλου $\displaystyle{E||R^2}$

$\displaystyle{E_2=1/2A_2B_2.A_2C_2sin(\frac{\pi+A}{2})||A_2B_2.A_2C_2||IA_2^2||\tau _1^2||R_1^2}$ αφου ισχύει $\displaystyle{\rho _a=\tau .tan(A/2)}$ άρα $\displaystyle{E_2=c_1R_1^2}$

αλλά $\displaystyle{E_1=c_2R_1^2}$

συνεπώς το ζητούμενο

: Clipboard03.jpg (19.23 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση