Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1.Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^2+\lambda x+\mu}$ , όπου τα $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ είναι ακέραιοι
και το γινόμενο $\displaystyle{f(-6)f(-3)f(1)}$ είναι περιττός αρνητικός αριθμός. Να δειχτεί ότι
α) το $\displaystyle{ f(x)}$ έχει ρίζες πραγματικές και άρρητες
β) εαν $\displaystyle{f(1)<0}$ τότε η μονάδα βρίσκεται μεταξύ των ριζών του τριωνύμου
γ) εαν $\displaystyle{f(1)>0}$ τότε το $\displaystyle{f(x)}$ έχει μια και μοναδική ρίζα μεταξύ του $\displaystyle{-6}$ και του $\displaystyle{-3}$ .

2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ η $\displaystyle{B\Gamma}$ είναι σταθερή και κατά θέση και κατά μέγεθος
και η διάμεσος $\displaystyle{BE}$ είναι σταθερή κατά μέγεθος. Εαν $\displaystyle{Z}$ το μέσο της διαμέσου $\displaystyle{A\Delta}$ ,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{\Gamma Z}$ .

3. Να δειχθεί οτι η ισότητα $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{A}{2}\varepsilon\phi \frac{B}{2}\varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}+\varepsilon\phi \frac{A}{2}+\varepsilon\phi \frac{B}{2}+\varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}=2}$
είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ορθογώνιο.

Paolos · #2

Να δειχθεί οτι η ισότητα $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{A}{2}\varepsilon\phi \frac{B}{2}\varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}+\varepsilon\phi \frac{A}{2}+\varepsilon\phi \frac{B}{2}+\varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}=2}$
είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ορθογώνιο.

Με ταλαιπώρησε πολύ...

Θέτουμε $\displaystyle{x=\varepsilon \varphi \frac{A}{2}\,\,,\,\,y=\varepsilon \varphi \frac{B}{2}.}$
Είναι $\displaystyle{A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \left( \frac{A}{2}+\frac{B}{2} \right)=\varepsilon \varphi \left( \frac{\pi }{2}-\frac{C}{2} \right)\Rightarrow \frac{\varepsilon \varphi \frac{A}{2}+\varepsilon \varphi \frac{B}{2}}{1-\varepsilon \varphi \frac{A}{2}\cdot \varepsilon \varphi \frac{B}{2}}=\sigma \varphi \frac{C}{2}\Rightarrow \frac{x+y}{1-xy}=\frac{1}{\varepsilon \varphi \frac{C}{2}}\Rightarrow }$
$\displaystyle{\varepsilon \varphi \frac{C}{2}=\frac{1-xy}{x+y}.}$
Από τη σχέση της υπόθεσης έχουμε ισοδύναμα:
$\displaystyle{xy\frac{1-xy}{x+y}+x+y+\frac{1-xy}{x+y}=2}$
$\displaystyle{xy\left( 1-xy \right)+{{\left( x+y \right)}^{2}}+1-xy=2\left( x+y \right)}$
$\displaystyle{\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-2\left( x+y \right)+1 \right]-{{\left( xy \right)}^{2}}=0}$
$\displaystyle{{{\left( x+y-1 \right)}^{2}}-{{\left( xy \right)}^{2}}=0}$
$\displaystyle{\left( x+y-1+xy \right)\left( x+y-1-xy \right)=0}$
$\displaystyle{\left( x+y-1+xy \right)=0\vee \left( x+y-1-xy \right)=0.}$
Αν $\displaystyle{x+y-1+xy=0\Rightarrow x+y=1-xy\Rightarrow \varepsilon \varphi \frac{C}{2}=\frac{1-xy}{x+y}=1\Rightarrow \frac{C}{2}=\frac{\pi }{4}\Rightarrow C=\frac{\pi }{2}.}$
Αν $\displaystyle{x+y-1-xy=0\Rightarrow x(1-y)-(1-y)=0\Rightarrow (1-y)(x-1)=0\Rightarrow y=1\vee x=1\Rightarrow }$
$\displaystyle{\left( \varepsilon \varphi \frac{B}{2}=1\Rightarrow \frac{B}{2}=\frac{\pi }{4}\Rightarrow B=\frac{\pi }{2} \right)\vee \left( \varepsilon \varphi \frac{A}{2}=1\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{\pi }{4}\Rightarrow A=\frac{\pi }{2} \right).}$
Τελικά
$\displaystyle{\left( A=\frac{\pi }{2} \right)\vee \left( B=\frac{\pi }{2} \right)\vee \left( C=\frac{\pi }{2} \right).}$

#3

1.Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{ \displaystyle{f(x)=x^2+\lambda x+\mu}}$ , όπου τα $\displaystyle{\displaystyle{\lambda}}$ και $\displaystyle{\displaystyle{\mu}}$ είναι ακέραιοι
και το γινόμενο $\displaystyle{\displaystyle{f(-6)f(-3)f(1)} }$ είναι περιττός αρνητικός αριθμός. Να δειχτεί ότι
α) το $\displaystyle{\displaystyle{ f(x)}}$ έχει ρίζες πραγματικές και άρρητες
β) εαν $\displaystyle{ \displaystyle{f(1)<0} }$ τότε η μονάδα βρίσκεται μεταξύ των ριζών του τριωνύμου
γ) εαν $\displaystyle{\displaystyle{f(1)>0}}$ τότε το $\displaystyle{\displaystyle{f(x)} }$ έχει μια και μοναδική ρίζα μεταξύ του $\displaystyle{\displaystyle{-6}}$ και του $\displaystyle{\displaystyle{-3}.}$

α)Aφού το $\displaystyle{\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=+\infty}$ θα υπάρχουν $\displaystyle{a,b}$ με $\displaystyle{a\ne b:f(a)>0,f(b)>0}$ [1] με το $\displaystyle{a}$ όσο θέλουμε μικρό και το $\displaystyle{b}$ μεγάλο πχ $\displaystyle{a<-6<1<b}$
ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{f(-6),f(-3),f(1)}$ είναι $\displaystyle{<0}$ [2]
τότε από ΘΒ το τριώνυμο έχει 2 τουλάχιστον ρίζες άρα 2 ακριβώς ρίζες στο $\displaystyle{R}$

οι $\displaystyle{f(-6),f(-3),f(1)}$ είναι όλοι τους περιττοί $\displaystyle{(P)}$
$\displaystyle{f(1)=(P)}$ τότε $\displaystyle{l+m=(A)}$ άρτιος άρα πρέπει και οι δυο τους να είναι η $\displaystyle{(A)}$ ή $\displaystyle{(P)}$

αν και οι δυο τους είναι η $\displaystyle{(A)}$ τότε $\displaystyle{f(-6)=(A)}$ άτοπο άρα $\displaystyle{l=(P),m=(P)}$

αν το τριώνυμο είχε ρητές ρίζες τότε (α=1) θα ήταν ακέραιες με γινόμενο $\displaystyle{m=(P)}$ άρα και οι 2 τους (Ρ) και με άθροισμα $\displaystyle{-l=(P)}$ άτοπο αφού $\displaystyle{(P)+(P)=(A)}$
άρα και οι 2 ρίζες είναι άρρητες

β)το $\displaystyle{a}$ ειναι οσο θέλουμε μικρό και το $\displaystyle{b}$ μεγάλο άρα με $\displaystyle{a<-6<1<b}$ οπότε από θΒ το ζητούμενο

γ)τα $\displaystyle{f(-6),f(-3)}$ πρέπει να είναι ετερόσημα άρα μία τουλάχιστον στο $\displaystyle{[-6,-3]}$ και η άλλη στο $\displaystyle{[-3,1]}$ αν $\displaystyle{f(-3)<0}$ ενώ στο $\displaystyle{[a,-6]}$ αν $\displaystyle{f(-3)>0}$ διότι τότε $\displaystyle{f(-6)<0,f(a)>0}$

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Να δειχθεί οτι η ισότητα $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{A}{2}\varepsilon\phi \frac{B}{2}\varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}+\varepsilon\phi \frac{A}{2}+\varepsilon\phi \frac{B}{2}+\varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}=2}$
είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ορθογώνιο.

Λίγο διαφορετικά.

Για ευκολία γράφουμε $\dfrac{A}{2}=a$ κλπ
$\varepsilon\phi a \,\varepsilon\phi b\, \varepsilon\phi c+\varepsilon\phi a+\varepsilon\phi b+\varepsilon\phi c=2\quad (1)$

$a+b+c=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow \varepsilon\phi (a+b)=\dfrac{1}{\varepsilon\phi c}\Rightarrow\varepsilon\phi a\,\varepsilon\phi b+\varepsilon\phi b\,\varepsilon\phi c+\varepsilon\phi c\,\varepsilon\phi a=1$
=========

$(1)\Leftrightarrow \varepsilon\phi a \,\varepsilon\phi b\, \varepsilon\phi c+\varepsilon\phi a+\varepsilon\phi b+\varepsilon\phi c-(\varepsilon\phi a\,\varepsilon\phi b+\varepsilon\phi b\,\varepsilon\phi c+\varepsilon\phi c\,\varepsilon\phi a)-1=0\Leftrightarrow$

$(1-\varepsilon\phi b)(\varepsilon\phi a+\varepsilon\phi c-\varepsilon\phi a\,\varepsilon\phi c-1)=0\Leftrightarrow$

$(1-\varepsilon\phi a)(1-\varepsilon\phi b)(1-\varepsilon\phi c)=0$ ,τελειώσαμε.

Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1969-70 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση