Π.Μ.Δ.Μ. 1970-71 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Εαν οι $\displaystyle{x_1,x_2,x_3}$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και διάφοροι του μηδενός
και ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{x_1x_2-\alpha x_1+\alpha^2=0,\,\, x_2x_3-\alpha x_2+\alpha^2=0, \,\,\alpha \ne 0}$
να δειχθεί οτι θα ικανοποιούν και τις σχέσεις
$\displaystyle{x_3x_1-\alpha x_3+\alpha^2=0,\,\,x_1x_2x_3+\alpha^3=0, \,\,\frac{1}{x_1-x_2}+\frac{1}{x_2-x_3}+\frac{1}{x_3-x_1}=\frac{1}{\alpha }}$

2. Από δοθείσα ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ να αχθεί τραπέζιο, το οποίο να τέμνει δοθείσα τετραεδρική γωνία $\displaystyle{Oxyzw}$ κατά τραπέζιο.

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με γωνία $\displaystyle{\widehat{A}<90^o}$ .
Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ φέρνουμε καθέτους προς τις $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$
οι οποίες τέμνουν την $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{B'}$ και $\displaystyle{\Gamma'}$ .
Ζητείται να υπολογιστεί συναρτήσει των στοιχείων του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ,
το τμήμα $\displaystyle{B' \Gamma'}$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{AB' \Gamma'}$ .

Paolos · #2

Εαν οι $\displaystyle{x_1,x_2,x_3}$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και διάφοροι του μηδενός
και ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{x_1x_2-\alpha x_1+\alpha^2=0,\,\, x_2x_3-\alpha x_2+\alpha^2=0, \,\,\alpha \ne 0}$
να δειχθεί οτι θα ικανοποιούν και τις σχέσεις
$\displaystyle{x_3x_1-\alpha x_3+\alpha^2=0,\,\,x_1x_2x_3+\alpha^3=0, \,\,\frac{1}{x_1-x_2}+\frac{1}{x_2-x_3}+\frac{1}{x_3-x_1}=\frac{1}{\alpha }}$

1)
$\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{2}}-a{{x}_{1}}+{{a}^{2}}=0\Rightarrow {{x}_{2}}=\frac{a{{x}_{1}}-{{a}^{2}}}{{{x}_{1}}}.}$
Άρα η σχέση $\displaystyle{{{x}_{2}}{{x}_{3}}-a{{x}_{2}}+{{a}^{2}}=0}$ γίνεται:
$\displaystyle{\frac{a{{x}_{1}}-{{a}^{2}}}{{{x}_{1}}}\cdot {{x}_{3}}-a\cdot \frac{a{{x}_{1}}-{{a}^{2}}}{{{x}_{1}}}+{{a}^{2}}=0}$
$\displaystyle{(a{{x}_{1}}-{{a}^{2}}){{x}_{3}}-a(a{{x}_{1}}-{{a}^{2}})+{{a}^{2}}{{x}_{1}}=0}$
$\displaystyle{({{x}_{1}}-a){{x}_{3}}-(a{{x}_{1}}-{{a}^{2}})+a{{x}_{1}}=0}$
$\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{3}}-a{{x}_{3}}+{{a}^{2}}=0.}$

2)
Από τη σχέση $\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{3}}-a{{x}_{3}}+{{a}^{2}}=0\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{3}}=a{{x}_{3}}-{{a}^{2}}.}$
Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση $\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{2}}-a{{x}_{1}}+{{a}^{2}}=0}$ με $\displaystyle{{{x}_{3}}}$ και παίρνουμε
$\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}-a{{x}_{1}}{{x}_{3}}+{{a}^{2}}{{x}_{3}}=0}$
$\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}-a(a{{x}_{3}}-{{a}^{2}})+{{a}^{2}}{{x}_{3}}=0}$
$\displaystyle{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{a}^{3}}=0}$ .

3) Help!

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με γωνία $\displaystyle{\widehat{A}<90^o}$ .
Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ φέρνουμε καθέτους προς τις $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$
οι οποίες τέμνουν την $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{B'}$ και $\displaystyle{\Gamma'}$ .
Ζητείται να υπολογιστεί συναρτήσει των στοιχείων του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ,
το τμήμα $\displaystyle{B' \Gamma'}$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{AB' \Gamma'}$ .

: ask210.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Είναι $\sin\Gamma\hat{B'}A=\dfrac{\beta}{x+\alpha}\iff\sin\left(90^o-\hat{\Gamma}\right)\iff x=\dfrac{\beta}{\cos\Gamma}-\alpha$

και

$\sin B\hat{\Gamma'}A=\dfrac{\gamma}{y+\alpha}\iff\sin\left(90^o-\hat{B}\right)\iff x=\dfrac{\gamma}{\cos B}-\alpha$ .

Άρα $B'\Gamma'=x+\alpha+y=\dfrac{\beta}{\cos\Gamma}+\dfrac{\gamma}{\cos B}-\alpha$ .

Επίσης $\cot\Gamma\hat{B'}A=\dfrac{AB'}{\beta}\iff AB'=\beta\cot\left(90^o-\hat{\Gamma}\right)=\beta\tan\hat{\Gamma}$ και όμοια $A\Gamma'=\gamma\tan \hat{B}$ .

$(AB'\Gamma')=\dfrac{AB'+A\Gamma'+B'\Gamma'}{2}\cdot \rho\iff \dfrac{1}{2}(B'\Gamma')\cdot A\Delta=\dfrac{\beta\tan\hat{\Gamma}+\gamma\tan \hat{B}+\dfrac{\beta}{\cos\Gamma}+\dfrac{\gamma}{\cos B}-\alpha}{2}\rho\iff$

$\iff \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\beta}{\cos\Gamma}+\dfrac{\gamma}{\cos B}-\alpha\right)\cdot \dfrac{2(AB\Gamma)}{\alpha}=\dfrac{\beta\tan\hat{\Gamma}+\gamma\tan \hat{B}+\dfrac{\beta}{\cos\Gamma}+\dfrac{\gamma}{\cos B}-\alpha}{2}\rho$

Και αντικαθιστώντας το $(AB\Gamma)$ με $\dfrac{1}{2}\beta\gamma\sin\hat{A}$ , λύνουμε ως προς $\rho$ .

Paolos · #4

Ωραια δουλεια Κωστα! Με ειχε ταλαιπωρησει και μενα μεχρι που την παρατησα

Π.Μ.Δ.Μ. 1970-71 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1970-71 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1970-71 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1970-71 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1970-71 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση