Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Εαν $\displaystyle{x_1,x_2 }$ είναι ακέραιοι αριθμοί και $\displaystyle{P(x)=\alpha_0x^{\nu}+\alpha_1x^{\nu-1}+...+\alpha_{\nu-1}x+\alpha_{\nu} }$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε να ισχύουν $\displaystyle{P(x_1)=1=-P(x_2)}$ , να αποδείξετε οτι
α) εαν ισχύει και $\displaystyle{|x_1-x_2|>2}$ , τότε το πολυώνυμο δεν έχει ρητή ρίζα
β) εαν ισχύει και $\displaystyle{|x_1-x_2|\le 2}$ , τότε το πολυώνυμο, εαν έχει ρητή ρίζα, αυτή θα είναι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{1}{2}(x_1+x_2)}$ .
Υπόδειξη: Στηριχτείτε στην πρόταση (την οποία να αποδείξετε) :
εαν $\displaystyle{\frac{p}{q}}$ ρητή ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{P(x)}$ και $\displaystyle{m}$ ακέραιος, τότε ο ακέραιος $\displaystyle{p-mq}$ διαιρεί τον ακέραιο $\displaystyle{P(m)}$ .

2. Σε επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ θεωρούμε τραπέζιο $\displaystyle{ΑΒ\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{AB//\Gamma\Delta , (AB)=2\alpha, (B\Gamma)=(\Gamma\Delta)=(\Delta A)=\alpha}$ .
α) Έστω $\displaystyle{M }$ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ . Φέρνουμε την κάθετο του επιπέδου $\displaystyle{(P)}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ και πάνω της παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{ \Sigma}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{(\Sigma M)=\alpha}$ . Έστω $\displaystyle{ Z}$ το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{\Sigma A}$ , για το οποίο ισχύει $\displaystyle{ \frac{\overline{SZ}}{\overline{SA}}=\frac{1}{3}}$ . Να ορισθεί επίπεδο $\displaystyle{(\Pi)}$ από το σημείο $\displaystyle{Z}$ τέτοιο ώστε η στερεά γωνία $\displaystyle{\Sigma.AB\Gamma\Delta }$ να τέμνεται από αυτό κατά παραλληλόγραμμο. Αν $\displaystyle{H,\Theta,K}$ είναι τα σημεία τομής του $\displaystyle{(\Pi)}$ με τις $\displaystyle{\Sigma B,\Sigma\Gamma,\Sigma\Delta}$ αντίστοιχα, να υπολογισθεί ο όγκος της πυραμίδας $\displaystyle{ \Sigma.ZH\Theta K}$ .
β) Αν $\displaystyle{Z,H}$ είναι τα σημεία των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{\Sigma A, \Sigma B}$ για τα οποία ισχύει οτι $\displaystyle{\frac{\overline{SZ}}{\overline{SA}}= \frac{\overline{SH}}{\overline{SB}}=\frac{1}{3} }$ , να ορισθεί το επίπεδο δια της $\displaystyle{ZH}$ που είναι τέτοιο ώστε εαν $\displaystyle{\Theta,K}$ είναι τα σημεία τομής του με τις $\displaystyle{\Sigma \Gamma,\Sigma\Delta}$ αντίστοιχα, η περίμετρος του τετραπλεύρου $\displaystyle{ZH\Theta K}$ να είναι η ελάχιστη δυνατή.
γ) Να αποδείξετε οτι η πυραμίδα $\displaystyle{\Sigma.AB\Gamma\Delta}$ είναι εγγράψιμη σε σφαίρα.

3. Να βρεθούν τα ζεύγη $\displaystyle{(x,y) }$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{\varepsilon\phi^4x+\varepsilon\phi^4y+2\sigma \phi^2x\sigma \phi^2y=3+\eta\mu^2(x+y)}$ .

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση