ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Ας αφήσουμε το νήμα εδώ για τις ευχές και τα (αναμενόμενα) συγχαρητήρια και ας συζητήσουμε εδώ τα θέματα της βαλκανιάδας.
Ευχαριστώ το μέλος μας Σωτήρη Λοϊζιά που μου τα έστειλε.
Πρόβλημα 1: Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς και όλους τους θετικούς ακεραίους που ικανοποιούν την εξίσωση
Πρόβλημα 2: Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς που είναι τέτοιοι ώστε . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Οι ευθείες και είναι κάθετες στην στα σημεία και αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον του προς τις πλευρές και του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι
Πρόβλημα 4: Κάθε ένα από τα ακόλουθα τέσσερα σχήματα αποτελείται από τρία μοναδιαία τετράγωνα και καλείται -σχήμα.
Δίνεται ένας πίνακας αποτελούμενος από μοναδιαία τετράγωνα, ένας θετικός ακέραιος και απεριόριστος αριθμός -σχημάτων οποιουδήποτε τύπου. Δυο παίκτες, ο και ο παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι:
Ξεκινώντας με τον , σημειώνουν εναλλάξ σε κάθε κίνησή τους ένα τετράγωνο που δεν είναι ήδη σημειωμένο, μέχρι να σημειώσουν συνολικά μοναδιαία τετράγωνα. Μια τοποθέτηση -σχημάτων λέγεται «καλή» αν τα -σχήματα δεν επικαλύπτονται και καθένα από αυτά καλύπτει ακριβώς τρία μοναδιαία τετράγωνα του πίνακα που δεν είναι σημειωμένα. Ο κερδίζει αν μετά από οποιαδήποτε καλή τοποθέτηση -σχημάτων μένουν ακάλυπτα τουλάχιστον τρία μοναδιαία τετράγωνα που δεν είναι σημειωμένα.
Προσδιορίστε την ελάχιστη τιμή του για την οποία ο έχει στρατηγική νίκης.
Ευχαριστώ το μέλος μας Σωτήρη Λοϊζιά που μου τα έστειλε.
Πρόβλημα 1: Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς και όλους τους θετικούς ακεραίους που ικανοποιούν την εξίσωση
Πρόβλημα 2: Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς που είναι τέτοιοι ώστε . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Οι ευθείες και είναι κάθετες στην στα σημεία και αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον του προς τις πλευρές και του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι
Πρόβλημα 4: Κάθε ένα από τα ακόλουθα τέσσερα σχήματα αποτελείται από τρία μοναδιαία τετράγωνα και καλείται -σχήμα.
Δίνεται ένας πίνακας αποτελούμενος από μοναδιαία τετράγωνα, ένας θετικός ακέραιος και απεριόριστος αριθμός -σχημάτων οποιουδήποτε τύπου. Δυο παίκτες, ο και ο παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι:
Ξεκινώντας με τον , σημειώνουν εναλλάξ σε κάθε κίνησή τους ένα τετράγωνο που δεν είναι ήδη σημειωμένο, μέχρι να σημειώσουν συνολικά μοναδιαία τετράγωνα. Μια τοποθέτηση -σχημάτων λέγεται «καλή» αν τα -σχήματα δεν επικαλύπτονται και καθένα από αυτά καλύπτει ακριβώς τρία μοναδιαία τετράγωνα του πίνακα που δεν είναι σημειωμένα. Ο κερδίζει αν μετά από οποιαδήποτε καλή τοποθέτηση -σχημάτων μένουν ακάλυπτα τουλάχιστον τρία μοναδιαία τετράγωνα που δεν είναι σημειωμένα.
Προσδιορίστε την ελάχιστη τιμή του για την οποία ο έχει στρατηγική νίκης.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Παρ Ιουν 26, 2015 4:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Demetres έγραψε: Πρόβλημα 2: Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς που είναι τέτοιοι ώστε . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
Θα δείξουμε ότι με ισότητα αν-ν
Θέτουμε και κάνοντας πράξεις φτάνουμε στην
Όμως, και οπότε
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Βρίσκουμε .Δεδομένου ότι ,ακριβώς δύο από τους θα διαιρούνται με το .Demetres έγραψε:Πρόβλημα 1: Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς και όλους τους θετικούς ακεραίους που ικανοποιούν την εξίσωση
Λόγω της συμμετρίας που υπάρχει ως προς τους στην αρχική εξίσωση,μπορούμε να θεωρήσουμε περιπτώσεις.
Έστω ότι .Λόγω του ότι το είναι πρώτος,θα ισχύει .
Επειδή οι είναι πρώτοι,ισχύει αναγκαστικά .Επομένως η αρχική γράφεται .
Ισοδύναμα .Επίσης ισχύει άρα αναγκαστικά .
Επομένως η μοναδική περίπτωση είναι να ισχύουν και .Το σύστημα αυτό έχει λύση την που είναι δεκτή.
Συνεπώς μια τετράδα που ικανοποιεί είναι η .
Έστω ότι .Τότε ισχύει κι επειδή οι είναι πρώτοι συμπεραίνουμε ότι .
Τότε η αρχική γράφεται .
Επειδή κι επειδή οι δύο αυτοί όροι είναι αναγκαστικά και οι δύο άρτιοι,υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:
που είναι δεκτή.
που είναι επίσης δεκτή.
Συνοψίζοντας,οι τετράδες που ικανοποιούν είναι οι .
Οι όροι έχουν την ίδια αρτιοπεριττότητα.Είναι αδύνατο να είναι κι οι δύο περιττοί άρα είναι κι οι δύο άρτιοι.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Έστω και με και .Demetres έγραψε:Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Οι ευθείες και είναι κάθετες στην στα σημεία και αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον του προς τις πλευρές και του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι
Θα δείξουμε αρχικά ότι .Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα.Ως γνωστόν .
Επίσης .Συνεπώς .
Ισχύει λόγω των καθετοτήτων.Άρα .
Επειδή θα ισχύει
όπου στην τελευταία χρησιμοποιήθηκε ο νόμος των ημιτόνων.
Επίσης
όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήθηκε ο νόμος ημιτόνων.Συμπεραίνουμε ότι και τέλος.
Πίσω στο αρχικό πρόβλημα,ισχύουν άρα το είναι εγγράψιμο.
Επίσης άρα και το είναι εγγράψιμο.
Επομένως και άρα και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- Κώστας Παππέλης
- Δημοσιεύσεις: 261
- Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Εναλλακτικά για το 3,
εάν είναι το σημείο τομής των και το κοινό σημείο των έχουμε δηλαδή το είναι εγγράψιμο. Άρα χρησιμοποιώντας και το εγγράψιμο είναι: άρα το είναι επίσης εγγράψιμο, οπότε η γωνία , από το οποίο έπεται εύκολα το ζητούμενο όπως στη λύση παραπάνω του gavrilos.
Δύσκολα τα θέματα για JBMO, αλλά πολύ ωραία.
εάν είναι το σημείο τομής των και το κοινό σημείο των έχουμε δηλαδή το είναι εγγράψιμο. Άρα χρησιμοποιώντας και το εγγράψιμο είναι: άρα το είναι επίσης εγγράψιμο, οπότε η γωνία , από το οποίο έπεται εύκολα το ζητούμενο όπως στη λύση παραπάνω του gavrilos.
Δύσκολα τα θέματα για JBMO, αλλά πολύ ωραία.
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Κατ' αρχάς συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά από την Ελλάδα που συμμετείχαν στο διαγωνισμό!Είχαμε για άλλη μια χρονιά πολύ καλή εμφάνιση!Demetres έγραψε:Δίνεται ένας πίνακας αποτελούμενος από μοναδιαία τετράγωνα, ένας θετικός ακέραιος και απεριόριστος αριθμός -σχημάτων οποιουδήποτε τύπου. Δυο παίκτες, ο και ο παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι:
Ξεκινώντας με τον , σημειώνουν εναλλάξ σε κάθε κίνησή τους ένα τετράγωνο που δεν είναι ήδη σημειωμένο, μέχρι να σημειώσουν συνολικά μοναδιαία τετράγωνα. Μια τοποθέτηση -σχημάτων λέγεται «καλή» αν τα -σχήματα δεν επικαλύπτονται και καθένα από αυτά καλύπτει ακριβώς τρία μοναδιαία τετράγωνα του πίνακα που δεν είναι σημειωμένα. Ο κερδίζει αν μετά από οποιαδήποτε καλή τοποθέτηση -σχημάτων μένουν ακάλυπτα τουλάχιστον τρία μοναδιαία τετράγωνα που δεν είναι σημειωμένα.
Προσδιορίστε την ελάχιστη τιμή του για την οποία ο έχει στρατηγική νίκης.
Θα προσπαθήσω να προσεγγίσω και το τελευταίο πρόβλημα.
Θα ήθελα να δω και τη λύση που έχει υπ' όψιν του και ο Δημήτρης που το πρότεινε (μπράβο,και επί τη ευκαιρία,για το πρόβλημα!).
Θα δείξουμε αρχικά πως για ο έχει στρατηγική νίκης.
Αν ο σημειώσει στην πρώτη κίνηση κάποιο από τα τετράγωνα από τα οποία περνά κάποια κόκκινη γραμμή,τότε ο παίζει έτσι ώστε στο τέλος των κινήσεων να υπάρχει κάποια γραμμή ή στήλη από αυτές που αντιστοιχούν σε κόκκινες γραμμές,στην οποία να υπάρχουν σημειωμένα τετράγωνα.Για παράδειγμα αν ο σημειώσει το τότε ο θέλει στο τέλος των κινήσεων να είναι σημειωμένα τα .Αυτό προφανώς μπορεί να γίνει αφού ο έχει δύο κινήσεις.
Στην περίπτωση αυτή,είναι εμφανές ότι τα δεν μπορούν να καλυφθούν σε κάποια καλή τοποθέτηση.Ακόμη κι αν ο στην δεύτερη κίνησή του καλύψει ένα από αυτά,τότε μένει ένα ακάλυπτο.Δεδομένου ότι σε κάθε καλή τοποθέτηση το πλήθος των καλυμμένων τετραγώνων είναι πολλαπλάσιο του ,και πως μετά τις κινήσεις μένουν μη σημειωμένα τετράγωνα,τότε αφού από αυτά θα μείνει οπωσδήποτε ακάλυπτο,θα καλυφθούν το πολύ τετράγωνα και ο θα κερδίσει (ομοίως,αν π.χ. ο σημειώσει το τότε ο φροντίζει ώστε να σημειωθούν τα ή τα και τότε θα έχει κερδίσει όπως περιγράψαμε παραπάνω).
Αν ο σημειώσει στην αρχή ένα γωνιακό τετράγωνο τότε ο σημειώνει το τετράγωνο που μοιράζεται μόνο μία κορυφή με αυτό που σημείωσε ο (αν π.χ. ο σημειώσει το τότε ο σημειώνει το ).Όποια και να είναι η επόμενη κίνηση του ο μπορεί να "εγκλωβίσει" ένα από τα γειτονικά τετράγωνα του γωνιακού (στο προηγούμενο παράδειγμα δηλαδή,ένα εκ των ).Αυτό μπορεί να το κάνει ως εξής:αν ο στη δεύτερη κίνηση δε σημειώσει το τότε ο σημειώνει το κι έτσι "εγκλωβίζει" το ,αλλιώς σημειώνει το και "εγκλωβίζει" το .Λόγω του επιχειρήματος με τα πολλαπλάσια του θα κερδίσει και πάλι.
Αν ο σημειώσει στην αρχή κάποιο εκ των τότε ο μπορεί να φροντίσει ώστε να σημειωθούν αντίστοιχα τα ζεύγη και τότε θα έχουν "εγκλωβιστεί" σε κάθε περίπτωση δύο τετράγωνα που βρίσκονται στην περιφέρεια του πίνακα.Ακόμη κι αν ο σημειώσει στη δεύτερη κίνηση κάποιο από αυτά,τότε μένει ένα που δεν μπορεί να καλυφθεί από καλή τοποθέτηση,και με βάση το επιχείρημα με τα πολλαπλάσια του ο κερδίζει και πάλι.
Αν ο σημειώσει στην πρώτη κίνηση το ,τότε ο σημειώνει το .Αν ο δε σημειώσει στη δεύτερη κίνησή του το τότε ο σημειώνει το και το "εγκλωβίζεται" όποτε ο κερδίζει όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις.Έστω ότι ο σημειώνει και το .Ο μετά μπορεί να σημειώσει το .Μετά,υπάρχουν τρόποι να καλυφθεί το σε μια καλή τοποθέτηση.Ο πρώτος είναι με το που καλύπτει τα .Τότε το δεν μπορεί να καλυφθεί και ο κερδίζει.Ο άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιηθεί το που καλύπτει τα .Τότε αναγκαστικά θα χρησιμοποιηθεί και το που καλύπτει τα .Τώρα πια για να καλυφθεί το πρέπει να χρησιμοποιηθεί το που καλύπτει τα .Όμως τότε το δεν μπορεί να καλυφθεί άρα ο κερδίζει.Τέλος,μπορεί να χρησιμοποιηθεί το που καλύπτει τα .Τότε όμως δεν μπορεί να καλυφθεί το οπότε ο και πάλι κερδίζει.
Επομένως σε κάθε περίπτωση ο μπορεί να κερδίσει αν .
Μένει να δείξουμε πως ο δεν έχει την τύχη στα χέρια του αν .Για αυτό είναι προφανές.Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση .Υποθέτουμε ότι αρχικά ο σημειώνει το κεντρικό τετράγωνο.Λόγω συμμετρίας υπάρχουν περιπτώσεις:
1. Ο επιλέγει ένα εκ των .
2. Ο επιλέγει το .
3. Ο επιλέγει ένα εκ των .
Όλες οι άλλες περιπτώσεις ανάγονται σε αυτές τις .Για κάθε μια εύκολα βλέπουμε πως υπάρχει καλή τοποθέτηση ώστε να κερδίζει ο (για να μην εξετάζετε πολλές περιπτώσεις ψάξτε π.χ. για καλή τοποθέτηση που αφήνει ακάλυπτα τα μαζί ώστε να καλύψετε μαζί τις περιπτώσεις όπου ο επιλέγει κάποιο από αυτά).
Η περίπτωση απορρίπτεται εύκολα.Στην προηγούμενη περίπτωση ο,τι και να επιλέξει ο υπάρχει καλή τοποθέτηση ώστε να κερδίζει ο .Όμως σε κάθε τέτοια καλή τοποθέτηση μένουν τετράγωνα κενά.Ο λοιπόν μετά την κίνηση του έχει δύο (τουλάχιστον) πιθανές επιλογές ώστε να κερδίσει.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Βάζω και την προτεινόμενη λύση για το 4.
Αν , ο σημειώνει το άνω αριστερά τετραγωνάκι και ακολούθως καλύπτει την σκακιέρα ως εξής:
Αν , ο σημειώνει το άνω αριστερά τετραγωνάκι. Όποιο τετραγωνάκι και να σημειώσει ο , ο συμπληρώνει την σκακιέρα ακριβώς όπως προηγουμένως με την εξαίρεση ότι δεν τοποθετεί το -σχήμα που καλύπτει το σημαδεμένο τετράγωνο του . O κερδίζει αφού έμειναν μόνο δύο ακάλυπτα τετράγωνα. Για ο κερδίζει με ακριβώς την ίδια στρατηγική. Σαν δεύτερο τετράγωνο σημαδεύει οποιοδήποτε από τα δύο άδεια τετράγωνα του -σχήματος που καλύπτει το τετράγωνo του .
Ας δείξουμε τώρα ότι για κερδίζει ο . Αφού θα μείνουν ασημείωτα τετράγωνα, ο πρέπει να τα καλύψει όλα με 7 -σχήματα.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι στην πρώτη του κίνηση ο δεν καλύπτει κανένα τετράγωνο στις τελευταίες δύο γραμμές τις σκακιέρας. (Αλλιώς την περιστρέφουμε.) Στην πρώτη του κίνηση ο σημειώνει το τετράγωνο της πιο κάτω εικόνας.
Αν ο στην επόμενή του κίνηση δεν σημειώσει κάποιο από τα and ο σημειώνει το . Τότε ο κερδίζει αφού το μένει ασημείωτο και δεν μπορεί να καλυφθεί με -σχήματα.
Αν ο σημειώσει το ο σημειώνει το . Τότε ο κερδίζει αφού το μένει ασημείωτο και δεν μπορεί να καλυφθεί με -σχήματα.
Τέλος αν ο σημειώσει το ή το τότε ο σημειώνει οποιοδήποτε άσπρο τετράγωνο στο πιο κάτω σχήμα.
Παρατηρήστε ότι υπάρχουν τουλάχιστον ασημείωτα μαύρα τετράγωνα. Κάθε -σχήμα καλύπτει το πολύ ένα από αυτά. Αλλά ο μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο -σχήματα, και άρα πάλι κάποιο θα μείνει ακάλυπτο οπότε θα κερδίσει ο
Έχουμε καλύψει όλες τις περιπτώσεις οπότε ο κερδίζει όταν .
Αν , ο σημειώνει το άνω αριστερά τετραγωνάκι και ακολούθως καλύπτει την σκακιέρα ως εξής:
Αν , ο σημειώνει το άνω αριστερά τετραγωνάκι. Όποιο τετραγωνάκι και να σημειώσει ο , ο συμπληρώνει την σκακιέρα ακριβώς όπως προηγουμένως με την εξαίρεση ότι δεν τοποθετεί το -σχήμα που καλύπτει το σημαδεμένο τετράγωνο του . O κερδίζει αφού έμειναν μόνο δύο ακάλυπτα τετράγωνα. Για ο κερδίζει με ακριβώς την ίδια στρατηγική. Σαν δεύτερο τετράγωνο σημαδεύει οποιοδήποτε από τα δύο άδεια τετράγωνα του -σχήματος που καλύπτει το τετράγωνo του .
Ας δείξουμε τώρα ότι για κερδίζει ο . Αφού θα μείνουν ασημείωτα τετράγωνα, ο πρέπει να τα καλύψει όλα με 7 -σχήματα.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι στην πρώτη του κίνηση ο δεν καλύπτει κανένα τετράγωνο στις τελευταίες δύο γραμμές τις σκακιέρας. (Αλλιώς την περιστρέφουμε.) Στην πρώτη του κίνηση ο σημειώνει το τετράγωνο της πιο κάτω εικόνας.
Αν ο στην επόμενή του κίνηση δεν σημειώσει κάποιο από τα and ο σημειώνει το . Τότε ο κερδίζει αφού το μένει ασημείωτο και δεν μπορεί να καλυφθεί με -σχήματα.
Αν ο σημειώσει το ο σημειώνει το . Τότε ο κερδίζει αφού το μένει ασημείωτο και δεν μπορεί να καλυφθεί με -σχήματα.
Τέλος αν ο σημειώσει το ή το τότε ο σημειώνει οποιοδήποτε άσπρο τετράγωνο στο πιο κάτω σχήμα.
Παρατηρήστε ότι υπάρχουν τουλάχιστον ασημείωτα μαύρα τετράγωνα. Κάθε -σχήμα καλύπτει το πολύ ένα από αυτά. Αλλά ο μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο -σχήματα, και άρα πάλι κάποιο θα μείνει ακάλυπτο οπότε θα κερδίσει ο
Έχουμε καλύψει όλες τις περιπτώσεις οπότε ο κερδίζει όταν .
-
- Δημοσιεύσεις: 133
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 04, 2013 8:24 pm
- Τοποθεσία: Αθηνα
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Καλησπέρα βάζω μια προσέγγιση ελπίζω διαφορετική απο τις προηγούμενες.
Δουλεύω στο σχήμα που έφτιαξε ο Γιώργος (gavrilos).
Aρχικά σκοπός του είναι να σχηματίσει δυάδες η τριάδες που θα μπλόκαρουν ένα η δύο τετραγωνάκια αντίστοιχα και έτσι θα κερδίσει.
Πιο αναλυτικά έχουμε περιπτώσεις
Α) Ο σημαδεύει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται στην γραμμή ή ή στην στήλη ή . Tότε οσημειώνει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται διαγωνια και στην επομενή του κίνηση σημειώνει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται οριζόντια η καθέτα του πρώτου π.χ (αν ο σημειώσει το τότε ο σημειώνει το και το και μπλοκάρει το άρα κερδίζει.
B) Ο σημαδεύει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται στην γραμμή ή ή στην στήλη ή . Αν το τετραγωνακι δεν είναι στην στήλη η στην γραμμή τότε ο Β σημαδεύει ένα τετραγωνάκι τέτοιο ώστε να σχηματιζει δυαδα με του οριζόντια ή κάθετα και να έιναι στην γραμμή ή ή στην στήλη ή και έτσι κερδίζει πχ (ο το o το ). Άρα μπλοκάρεται το .Αν το τετραγωνακι είναι στην στήλη η στην γραμμή τότε επιθυμεί να σχηματίσει μια κάθετη η οριζόντια τριάδα. πχ (ο τo ο το και το ). Άρα μπλοκάρονται τα και κερδίζει
C)O σημαδεύει το .O σημαδεύει τα μπλοκάρεται το και κερδίζει. Αν ο σημαδέψει το τότε ο σημαδεύει το και μπλοκάρεται το άρα παλι κερδιζει
Δουλεύω στο σχήμα που έφτιαξε ο Γιώργος (gavrilos).
Aρχικά σκοπός του είναι να σχηματίσει δυάδες η τριάδες που θα μπλόκαρουν ένα η δύο τετραγωνάκια αντίστοιχα και έτσι θα κερδίσει.
Πιο αναλυτικά έχουμε περιπτώσεις
Α) Ο σημαδεύει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται στην γραμμή ή ή στην στήλη ή . Tότε οσημειώνει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται διαγωνια και στην επομενή του κίνηση σημειώνει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται οριζόντια η καθέτα του πρώτου π.χ (αν ο σημειώσει το τότε ο σημειώνει το και το και μπλοκάρει το άρα κερδίζει.
B) Ο σημαδεύει ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται στην γραμμή ή ή στην στήλη ή . Αν το τετραγωνακι δεν είναι στην στήλη η στην γραμμή τότε ο Β σημαδεύει ένα τετραγωνάκι τέτοιο ώστε να σχηματιζει δυαδα με του οριζόντια ή κάθετα και να έιναι στην γραμμή ή ή στην στήλη ή και έτσι κερδίζει πχ (ο το o το ). Άρα μπλοκάρεται το .Αν το τετραγωνακι είναι στην στήλη η στην γραμμή τότε επιθυμεί να σχηματίσει μια κάθετη η οριζόντια τριάδα. πχ (ο τo ο το και το ). Άρα μπλοκάρονται τα και κερδίζει
C)O σημαδεύει το .O σημαδεύει τα μπλοκάρεται το και κερδίζει. Αν ο σημαδέψει το τότε ο σημαδεύει το και μπλοκάρεται το άρα παλι κερδιζει
-
- Δημοσιεύσεις: 133
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 04, 2013 8:24 pm
- Τοποθεσία: Αθηνα
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Βάζω και την προσέγγιση μου για την ανισότητα.
Θα δείξω ότι ελάχιστη τιμή είναι το με ισότητα στο
Η δοθείσα γράφεται:
Χρησιμοποιοώντας την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε
q.e.d
Θα δείξω ότι ελάχιστη τιμή είναι το με ισότητα στο
Η δοθείσα γράφεται:
Χρησιμοποιοώντας την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε
q.e.d
-
- Δημοσιεύσεις: 11
- Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2015 5:21 pm
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Ως αναφορά το πρώτο θέμα . Μπορεί κάποιος να το εξηγήσει πιο αναλυτικά γιατι δεν το κατάλαβα? Πώς μπορώ να καταλήξω στο a^2 + b^2+ c^2 = 1 (mod 3)
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Αλέξανδρε, καλωσόρισες.
Η φράση σημαίνει ότι το είναι πολλαπλάσιο του . Π.χ. αλλά .
Από την αρχική εξίσωση έχουμε οπότε το είναι πολλαπλάσιο του .
Ο τρόπος που σκεφτόμαστε συνήθως είναι ότι και από τα δύο μέρη μέρη της ισότητας μπορώ να αφαιρέσω κάποιο πολλαπλάσιο του αρκεί βέβαια στο τέλος να γράψω ότι η ισότητα είναι . Π.χ. αφαιρώντας από το αριστερό και από το δεξί μπορώ να γράψω απευθείας .
Ελπίζω τα πιο πάνω να βοήθησαν. Προσπάθησε να διαβάσεις και την υπόλοιπη λύση και πες μας αν κολλήσεις κάπου. Για το δεύτερο βήμα προσπάθησε να δείξεις ότι ή οτιδήποτε και αν είναι το .
Η φράση σημαίνει ότι το είναι πολλαπλάσιο του . Π.χ. αλλά .
Από την αρχική εξίσωση έχουμε οπότε το είναι πολλαπλάσιο του .
Ο τρόπος που σκεφτόμαστε συνήθως είναι ότι και από τα δύο μέρη μέρη της ισότητας μπορώ να αφαιρέσω κάποιο πολλαπλάσιο του αρκεί βέβαια στο τέλος να γράψω ότι η ισότητα είναι . Π.χ. αφαιρώντας από το αριστερό και από το δεξί μπορώ να γράψω απευθείας .
Ελπίζω τα πιο πάνω να βοήθησαν. Προσπάθησε να διαβάσεις και την υπόλοιπη λύση και πες μας αν κολλήσεις κάπου. Για το δεύτερο βήμα προσπάθησε να δείξεις ότι ή οτιδήποτε και αν είναι το .
-
- Δημοσιεύσεις: 11
- Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2015 5:21 pm
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Το θέμα της Γεωμετρίας με ένα γρήγορο κοίταγμα πρέπει να προκύπτει και με Αναλυτική Γεωμετρία.
Ορίζουμε , , , .
Εκφράζουμε τις συντεταγμένες των σημείων , , συναρτήσει των αριθμών , .
Δείχνουμε ότι η γωνία των διανυσμάτων , είναι ίση με αυτή των διανυσμάτων , .
Θα το δοκιμάσω το πρωί, αν και καμιά φορά τα δύσκολα (από άποψη πράξεων) φαίνονται για εύκολα.
Προφανώς, η τεχνική του Gavrilos με τη Διανυσματική Γεωμετρία δούλεψε μια χαρά και μου άρεσε πολύ.
Ανδρέας Πούλος
Ορίζουμε , , , .
Εκφράζουμε τις συντεταγμένες των σημείων , , συναρτήσει των αριθμών , .
Δείχνουμε ότι η γωνία των διανυσμάτων , είναι ίση με αυτή των διανυσμάτων , .
Θα το δοκιμάσω το πρωί, αν και καμιά φορά τα δύσκολα (από άποψη πράξεων) φαίνονται για εύκολα.
Προφανώς, η τεχνική του Gavrilos με τη Διανυσματική Γεωμετρία δούλεψε μια χαρά και μου άρεσε πολύ.
Ανδρέας Πούλος
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Καλημέρα. Μιας και επανήλθε το θέμα στο προσκήνιο, να πω για την ιστορία ότι υπήρξαν αρκετοί μαθητές που αντιμετώπισαν το πρόβλημα στα πλαίσια της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Ένας από αυτούς ήταν και ο Άγγελος Άσσος, μέλος της κυπριακής αποστολής, ο οποίος πέτυχε αργυρό μετάλλιο. Δεν θα παραθέσω λύση για να σας αφήσω να την χαρείτε.Ανδρέας Πούλος έγραψε:Το θέμα της Γεωμετρίας με ένα γρήγορο κοίταγμα πρέπει να προκύπτει και με Αναλυτική Γεωμετρία.
Ανδρέας Πούλος
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Στο αρχείο που επισυνάπτω έχω μαζέψει τις πιο αντιπροσωπευτικές λύσεις για τα προβλήματα (άλλες δικές μου, άλλες που άκουσα στο διαγωνισμό, άλλες όπως ήταν στο επίσημο φυλλάδιο) και κάθε πρόβλημα έχει 2-3 λύσεις. Ελπίζω να το χαρείτε.
- Συνημμένα
-
- greeksolutions.pdf
- (206.25 KiB) Μεταφορτώθηκε 221 φορές
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Πολύ χρήσιμο Σιλουανέ!!! Να 'σαι καλά φίλε..smar έγραψε:Στο αρχείο που επισυνάπτω έχω μαζέψει τις πιο αντιπροσωπευτικές λύσεις για τα προβλήματα (άλλες δικές μου, άλλες που άκουσα στο διαγωνισμό, άλλες όπως ήταν στο επίσημο φυλλάδιο) και κάθε πρόβλημα έχει 2-3 λύσεις. Ελπίζω να το χαρείτε.
Σωτήρης Λοϊζιάς
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Μία διαπραγμάτευση για το όμορφο 3ο θέμα της Γεωμετρίας του φίλου Θεόκλητου (από την όμορφη Σάμο ... για την αδελφή Κύπρο).
Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο κέντρου , ώστε Τότε η ευθεία της διαμέσου που διέρχεται από το μέσο της θα είναι κάθετη στη διάμεσο αφού Οπότε παίρνουμε Έτσι οδηγούμαστε στην εγγραψιμμότητα των τετραπλεύρων που δίνει αυτόματα την ζητούμενη ισότητα.
Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο κέντρου , ώστε Τότε η ευθεία της διαμέσου που διέρχεται από το μέσο της θα είναι κάθετη στη διάμεσο αφού Οπότε παίρνουμε Έτσι οδηγούμαστε στην εγγραψιμμότητα των τετραπλεύρων που δίνει αυτόματα την ζητούμενη ισότητα.
- Συνημμένα
-
- Κύπρος.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 2832 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Φέρνουμε τις και .Demetres έγραψε: Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Οι ευθείες και είναι κάθετες στην στα σημεία και αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον του προς τις πλευρές και του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι
Εφαρμόζουμε αποκλειστικά κριτήρια καθετότητας και Π.Θ:
Επειδή θα ισχύει ότι: (1)
Επειδή θα ισχύει ότι: (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: (3)
Με Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει: (4)
Με Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει: (5)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις (4) και (5) έχουμε: (6)
Από τις σχέσεις (3) και (6) προκύπτει ότι:
Η συνέχεια είναι η γνωστή...
- Συνημμένα
-
- JBMO 2015.png (32.14 KiB) Προβλήθηκε 2099 φορές
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ΘΕΜΑΤΑ JBMO 2015
Εναλλακτικά, για να αποδείξουμε ότι , με διανύσματα :Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Εφαρμόζουμε αποκλειστικά κριτήρια καθετότητας και Π.Θ:Demetres έγραψε: Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Οι ευθείες και είναι κάθετες στην στα σημεία και αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον του προς τις πλευρές και του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι
...
Άρα
Η συνέχεια είναι η γνωστή...
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες