Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 9η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

1. Αν , ποιές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση

;

2. Δίνονται δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Μπορεί το γινόμενο των μη μηδενικών ψηφίων του ενός να είναι 54 φορές μεγαλύτερο από το γινόμενο των μη μηδενικών ψηφίων του άλλου;

3. Στο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένος κύκλος κέντρου . Θεωρούμε σημείο της πλευράς και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα να εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου. Να αποδείξετε, ότι .

4. Από την Βέροια για Κοζάνη ξεκινάνε ταυτόχρονα τρία φορτηγά ένα SCANIA, ένα VOLVO και ένα MAN. Φτάνοντας στην Κοζάνη το MAN επιστρέφει αμέσως στη Βέροια και συναντάει το VOLVO στα 18 χιλιόμετρα από την Κοζάνη και το SCANIA στα 25 χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Το VOLVO φτάνοντας κι αυτό στην Κοζάνη επιστρέφει αμέσως και συναντάει το SCANIA στα 8 χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Ποιά η απόσταση μεταξύ Βέροιας –Κοζάνης;

5. Το τετράγωνο και το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο () είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε το σημείο να ανήκει στην πλευρά (βλέπε σχήμα). Να βρείτε την γωνία .

vmo_2015_2016_9_5.png (7.81 KiB) Προβλήθηκε 2472 φορές

6. Κατα την διάρκεια αναμονής ενός πελάτη σε πάγκο λαϊκής ένας μανάβης ζύγισε 20 καρπούζια με την σειρά, βάρους 1,2 ,..,20 κιλών. Η ζύγιση έγινε με παραδοσιακή ζυγαριά δυο ζυγών, στον ένα ζυγό τα καρπούζια και στον άλλο ένα ή δυο βάρη (ενδεχομένως ίδια). Ο μανάβης κατέγραψε στο τευτέρι του ποιά βάρη χρησιμοποίησε κατά την ζύγιση. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών βαρών που έγραψε στο τευτέρι, αν τα βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του κιλού;

[Doloros]

5. Το τετράγωνο και το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο () είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε το σημείο να ανήκει στην πλευρά (βλέπε σχήμα). Να βρείτε την γωνία .

πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2015-2016_9Τ.png (17.62 KiB) Προβλήθηκε 2453 φορές

Επειδή η διαγώνιος τετραγώνου διχοτομεί την ορθή γωνία και στο ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες είναι από , το τετράπλευρο

Είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου και άρα , οπότε .

Ν.

[Doloros]

3. Στο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένος κύκλος κέντρου . Θεωρούμε σημείο της πλευράς και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα να εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου. Να αποδείξετε, ότι .

πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2015-2016_Τ9_3.png (21.49 KiB) Προβλήθηκε 2440 φορές

Ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος ταυτόχρονα στα τρίγωνα , συνεπώς: , οπότε , .

Ν.

[silouan]

2. Δίνονται δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Μπορεί το γινόμενο των μη μηδενικών ψηφίων του ενός να είναι 54 φορές μεγαλύτερο από του άλλου;

Πλάκα είχε αυτό Μπορεί ναι. Ας πάρουμε και

[socrates]

2. Δίνονται δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Μπορεί το γινόμενο των μη μηδενικών ψηφίων του ενός να είναι 54 φορές μεγαλύτερο από του άλλου;

Πλάκα είχε αυτό Μπορεί ναι. Ας πάρουμε και

Σιλ, είναι γινόμενο, όχι άθροισμα.
Αν βλέπω καλά, μοναδική λύση τα 299,300.

[silouan]

Μου το έγραψε και ο Αλέξανδρος Θανάση! Αυτά παθαίνει όποιος απαντάει μετά τις 12

[STOPJOHN]

1. Αν , ποιές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση

;

2. Δίνονται δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Μπορεί το γινόμενο των μη μηδενικών ψηφίων του ενός να είναι 54 φορές μεγαλύτερο από το γινόμενο των μη μηδενικών ψηφίων του άλλου;

3. Στο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένος κύκλος κέντρου . Θεωρούμε σημείο της πλευράς και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα να εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου. Να αποδείξετε, ότι .

4. Από την Βέροια για Κοζάνη ξεκινάνε ταυτόχρονα τρία φορτηγά ένα SCANIA, ένα VOLVO και ένα MAN. Φτάνοντας στην Κοζάνη το MAN επιστρέφει αμέσως στη Βέροια και συναντάει το VOLVO στα 18 χιλιόμετρα από την Κοζάνη και το SCANIA στα 25 χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Το VOLVO φτάνοντας κι αυτό στην Κοζάνη επιστρέφει αμέσως και συναντάει το SCANIA στα 6 χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Ποιά η απόσταση μεταξύ Βέροιας –Κοζάνης;

5. Το τετράγωνο και το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο () είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε το σημείο να ανήκει στην πλευρά (βλέπε σχήμα). Να βρείτε την γωνία .

Το συνημμένο vmo_2015_2016_9_5.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

6. Κατα την διάρκεια αναμονής ενός πελάτη σε πάγκο λαϊκής ένας μανάβης ζύγισε 20 καρπούζια με την σειρά, βάρους 1,2 ,..,20 κιλών. Η ζύγιση έγινε με παραδοσιακή ζυγαριά δυο ζυγών, στον ένα ζυγό τα καρπούζια και στον άλλο ένα ή δυο βάρη (ενδεχομένως ίδια). Ο μανάβης κατέγραψε στο τευτέρι του ποιά βάρη χρησιμοποίησε κατά την ζύγιση. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών βαρών που έγραψε στο τευτέρι, αν τα βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του κιλού;

Καλημέρα

Πρόβλημα 5
Κτασκευάζω ,τότε :
Τα τρίγωνα είναι ίσα ,γιατί είναι ορθογώνια και έχουν και ίσες τις γωνίες , λόγω καθετότητας πλευρών .Αρα


Γιάννης

[Demetres]

6. Κατα την διάρκεια αναμονής ενός πελάτη σε πάγκο λαϊκής ένας μανάβης ζύγισε 20 καρπούζια με την σειρά, βάρους 1,2 ,..,20 κιλών. Η ζύγιση έγινε με παραδοσιακή ζυγαριά δυο ζυγών, στον ένα ζυγό τα καρπούζια και στον άλλο ένα ή δυο βάρη (ενδεχομένως ίδια). Ο μανάβης κατέγραψε στο τευτέρι του ποιά βάρη χρησιμοποίησε κατά την ζύγιση. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών βαρών που έγραψε στο τευτέρι, αν τα βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του κιλού;

Για έξι βάρη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα .

Με πέντε βάρη δεν γίνεται: Θα δείξουμε ότι με πέντε βάρη δεν μπορούν να φτιαχτούν όλα τα περιττά κιλά. Αν έχουμε περιττά βάρη και άρτια, τότε με την μέθοδο ζυγίσματος μπορούμε να φτιάξουμε το πολύ περιττά βάρη. (Το προκύπτει παίρνοντας τα περιττά από μόνα τους και το συνδυάζοντας ένα περιττό και ένα άρτιο. Άλλοι τρόποι για να πάρουμε περιττό βάρος δεν υπάρχουν.) Όμως για τα ζεύγη της μορφής έχουμε . Οπότε όντως δεν μπορούμε να ζυγίσουμε όλα τα περιττά βάρη.

[silouan]

1. Αν , ποιές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση

;

Σήμερα που είναι 12 το πρωί ελπίζω να μην πάθω τα ίδια
Έστω η παράσταση.
Τότε

Όμως από τη συνθήκη έχουμε ότι και οπότε

[ealexiou]

4. Από την Βέροια για Κοζάνη ξεκινάνε ταυτόχρονα τρία φορτηγά ένα SCANIA, ένα VOLVO και ένα MAN. Φτάνοντας στην Κοζάνη το MAN επιστρέφει αμέσως στη Βέροια και συναντάει το VOLVO στα 18 χιλιόμετρα από την Κοζάνη και το SCANIA στα 25 χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Το VOLVO φτάνοντας κι αυτό στην Κοζάνη επιστρέφει αμέσως και συναντάει το SCANIA στα 6 χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Ποιά η απόσταση μεταξύ Βέροιας –Κοζάνης;

Καλησπέρα Αλέξανδρε

Θεωρώντας τις ταχύτητες των τριών φορτηγών σταθερές (και διαφορετικές) και ότι ξεκινάνε και αντιστρέφουν πορεία ακαριαία, δεν μου βγαίνει λύση στη "σφαίρα" των πραγματικών αριθμών, οπότε ή έχω κάνει λάθος προσέγγιση ή κάποια απόσταση δεν είναι σωστή ή κάποιο φορτηγό, ας πούμε το SCANIA, αλλάζει ταχύτητα καθ΄οδόν.
(Λύση έχω π.χ για συνάντηση VOLBO και SCANIA σε απόσταση από Κοζάνη και για συνάντηση έως από την Κοζάνη βγαίνει η πραγματική απόσταση Βέροιας - Κοζάνης)

[Al.Koutsouridis]

Καλησπέρα Αλέξανδρε

Θεωρώντας τις ταχύτητες των τριών φορτηγών σταθερές (και διαφορετικές) και ότι ξεκινάνε και αντιστρέφουν πορεία ακαριαία, δεν μου βγαίνει λύση στη "σφαίρα" των πραγματικών αριθμών, οπότε ή έχω κάνει λάθος προσέγγιση ή κάποια απόσταση δεν είναι σωστή ή κάποιο φορτηγό, ας πούμε το SCANIA, αλλάζει ταχύτητα καθ΄οδόν.
(Λύση έχω π.χ για συνάντηση VOLBO και SCANIA σε απόσταση από Κοζάνη και για συνάντηση έως από την Κοζάνη βγαίνει η πραγματική απόσταση Βέροιας - Κοζάνης)

Καλησπέρα κ.Ευθύμη,

Ναι σωστά! Το VOLVO συναντάει το SCANIA σε απόσταση 8 χμ από την Κοζάνη. Ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση. Μου αρέσει που κοίταξα τα νούμερα 5 φορές . Το διώρθωσα και στην αρχική ανάρτηση.

[rek2]

5. Το τετράγωνο και το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο () είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε το σημείο να ανήκει στην πλευρά (βλέπε σχήμα). Να βρείτε την γωνία .

vmo_2015_2016_9_5.png

6. Κατα την διάρκεια αναμονής ενός πελάτη σε πάγκο λαϊκής ένας μανάβης ζύγισε 20 καρπούζια με την σειρά, βάρους 1,2 ,..,20 κιλών. Η ζύγιση έγινε με παραδοσιακή ζυγαριά δυο ζυγών, στον ένα ζυγό τα καρπούζια και στον άλλο ένα ή δυο βάρη (ενδεχομένως ίδια). Ο μανάβης κατέγραψε στο τευτέρι του ποιά βάρη χρησιμοποίησε κατά την ζύγιση. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών βαρών που έγραψε στο τευτέρι, αν τα βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του κιλού;

Για το πρβλ. 5 γράφω μια διαφορετική σκέψη:

Η στροφή και ομοιοθεσία που στέλνει το στο , στέλνει την γραμμή στην γραμμή , δηλαδή στέλνει το στο . Επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε , και, έτσι

Για το πρβλ.6 πρέπει να θεωρήσουμε ότι κάθε βάρος στα σταθμά είναι διαθέσιμο περισσότερο από μια φορά; (π. χ. έχουμε δύο μονόκιλα σταθμά;)

[Doloros]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Καλησπέρα Αλέξανδρε

Θεωρώντας τις ταχύτητες των τριών φορτηγών σταθερές (και διαφορετικές) και ότι ξεκινάνε και αντιστρέφουν πορεία ακαριαία, δεν μου βγαίνει λύση στη "σφαίρα" των πραγματικών αριθμών, οπότε ή έχω κάνει λάθος προσέγγιση ή κάποια απόσταση δεν είναι σωστή ή κάποιο φορτηγό, ας πούμε το SCANIA, αλλάζει ταχύτητα καθ΄οδόν.
(Λύση έχω π.χ για συνάντηση VOLBO και SCANIA σε απόσταση από Κοζάνη και για συνάντηση έως από την Κοζάνη βγαίνει η πραγματική απόσταση Βέροιας - Κοζάνης)

Καλησπέρα κ.Ευθύμη,

Ναι σωστά! Το VOLVO συναντάει το SCANIA σε απόσταση 8 χμ από την Κοζάνη. Ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση. Μου αρέσει που κοίταξα τα νούμερα 5 φορές . Το διώρθωσα και στην αρχική ανάρτηση.

Τώρα μάλιστα .

Η απόσταση είναι

N.

[ealexiou]

4. Από την Βέροια για Κοζάνη ξεκινάνε ταυτόχρονα τρία φορτηγά ένα SCANIA, ένα VOLVO και ένα MAN. Φτάνοντας στην Κοζάνη το MAN επιστρέφει αμέσως στη Βέροια και συναντάει το VOLVO στα χιλιόμετρα από την Κοζάνη και το SCANIA στα χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Το VOLVO φτάνοντας κι αυτό στην Κοζάνη επιστρέφει αμέσως και συναντάει το SCANIA στα χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Ποιά η απόσταση μεταξύ Βέροιας –Κοζάνης;

Απόσταση Βέροιας – Κοζάνης

Αν η απόσταση Βέροιας - Κοζάνης και οι ταχύτητες των αντίστοιχα τότε:









edit: Με το προφανώς δεν εννοώ πρόσθεση (σιγά μην κάνω και πράξεις...), εννοώ τις εξισώσεις και και τις δίνω στον ...εργάτη και μου δίνει τα αποτελέσματα, τα οποία πάντα τα ελέγχω...

[rek2]

4. Από την Βέροια για Κοζάνη ξεκινάνε ταυτόχρονα τρία φορτηγά ένα SCANIA, ένα VOLVO και ένα MAN. Φτάνοντας στην Κοζάνη το MAN επιστρέφει αμέσως στη Βέροια και συναντάει το VOLVO στα χιλιόμετρα από την Κοζάνη και το SCANIA στα χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Το VOLVO φτάνοντας κι αυτό στην Κοζάνη επιστρέφει αμέσως και συναντάει το SCANIA στα χιλιόμετρα από την Κοζάνη. Ποιά η απόσταση μεταξύ Βέροιας –Κοζάνης;

Απόσταση Βέροιας – Κοζάνης

Αν η απόσταση Βέροιας - Κοζάνης και οι ταχύτητες των αντίστοιχα τότε:

ή



(1)χ(2)χ(3)

[george visvikis]

5. Το τετράγωνο και το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο () είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε το σημείο να ανήκει στην πλευρά (βλέπε σχήμα). Να βρείτε την γωνία .

Πανρωσική 2015-2016 (ΙΙ, 9).png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 2045 φορές

Έστω το μέσο της και το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου. Επειδή το είναι εγγράψιμο, θα είναι , άρα το είναι σημείο της διαγωνίου .

Επομένως:

[socrates]

6. Κατά την διάρκεια αναμονής ενός πελάτη σε πάγκο λαϊκής ένας μανάβης ζύγισε 20 καρπούζια με την σειρά, βάρους 1,2 ,..,20 κιλών. Η ζύγιση έγινε με παραδοσιακή ζυγαριά δυο ζυγών, στον ένα ζυγό τα καρπούζια και στον άλλο ένα ή δυο βάρη (ενδεχομένως ίδια). Ο μανάβης κατέγραψε στο τεφτέρι του ποια βάρη χρησιμοποίησε κατά την ζύγιση. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών βαρών που έγραψε στο τεφτέρι, αν τα βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του κιλού;

Αν έχουμε βάρη, τότε μπορούμε να ζυγίσουμε το πολύ καρπούζια.
Οπότε ή
Αν ισχύει η ισότητα στην οπότε κάθε συνδυασμός πρέπει να χρησιμοποιηθεί για διαφορετικό καρπούζι.
Προφανώς, είναι απαραίτητο βάρος 1 κιλού. Με αυτό ζυγίζουμε και το καρπούζι 2 κιλών. Επίσης, χρειαζόμαστε και βάρος 3 κιλών. Με αυτό ζυγίζουμε και το καρπούζι 4 κιλών (3+1). Τέλος, χρειαζόμαστε και βάρος 5 κιλών. Με αυτό, όμως, ζυγίζουμε το καρπούζι 6 κιλών με δύο τρόπους (3+3,5+1).


Είναι σωστό;

[Demetres]

6. Κατά την διάρκεια αναμονής ενός πελάτη σε πάγκο λαϊκής ένας μανάβης ζύγισε 20 καρπούζια με την σειρά, βάρους 1,2 ,..,20 κιλών. Η ζύγιση έγινε με παραδοσιακή ζυγαριά δυο ζυγών, στον ένα ζυγό τα καρπούζια και στον άλλο ένα ή δυο βάρη (ενδεχομένως ίδια). Ο μανάβης κατέγραψε στο τεφτέρι του ποια βάρη χρησιμοποίησε κατά την ζύγιση. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών βαρών που έγραψε στο τεφτέρι, αν τα βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του κιλού;

Αν έχουμε βάρη, τότε μπορούμε να ζυγίσουμε το πολύ καρπούζια.
Οπότε ή
Αν ισχύει η ισότητα στην οπότε κάθε συνδυασμός πρέπει να χρησιμοποιηθεί για διαφορετικό καρπούζι.
Προφανώς, είναι απαραίτητο βάρος 1 κιλού. Με αυτό ζυγίζουμε και το καρπούζι 2 κιλών. Επίσης, χρειαζόμαστε και βάρος 3 κιλών. Με αυτό ζυγίζουμε και το καρπούζι 4 κιλών (3+1). Τέλος, χρειαζόμαστε και βάρος 5 κιλών. Με αυτό, όμως, ζυγίζουμε το καρπούζι 6 κιλών με δύο τρόπους (3+3,5+1).


Είναι σωστό;

Μια χαρά το βλέπω.