Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Πρώτη μέρα
1. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα , , με . Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον ένα από τα τριώνυμα έχει δυο ρίζες.
2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
3. Είναι δυνατόν για κάποιο φυσικό αριθμό να χωρίσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το έως σε δυο ομάδες και να γράψουμε τους αριθμούς κάθε ομάδας στη σειρά (κολλητά) με κάποια διάταξη ώστε, να προκύψουν δυο ίσοι αριθμοί;
4. Στο τρίγωνο η γωνία είναι ίση με . Έστω και διχοτόμοι αυτού του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι το συμμετρικό σημείο της κορυφής ως προς την ευθεία βρίσκεται επί της πλευράς .
Δεύτερη μέρα
5. Ο Τοτός έγραψε σε κύκλο 11 φυσικούς αριθμούς. Για κάθε δυο γειτονικούς αριθμούς βρήκε την διαφορά τους. Στις διαφορές που βρήκε υπάρχουν τέσσερεις άσσοι, τέσσερα δυάρια και τρία τριάρια. Να αποδείξετε ότι ο Τοτός κάπου άφησε λάθος.
6. Έστω σημεία ενός κύκλου και ευθεία που εφάπτεται αυτού του κύκλου στο σημείο . Από σημείο της φέρουμε τις κάθετες και προς τις ευθείες και αντίστοιχα (τα και βρίσκονται επί των και ). Να αποδείξετε ότι .
7. Σε μία ομάδα των εφτά ατόμων οποιοιδήποτε έξι μπορούν να καθίσουν σε στρογγυλό τραπέζι έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δυο διπλανοί να είναι γνωστοί. Να αποδείξετε ότι και όλη η ομάδα μπορεί να καθίσει σε στρογγυλό τραπέζι έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δύο διπλανοί να είναι γνωστοί.
8. Για κάθε φυσικό αριθμό συμβολίζουμε με το άθροισμα των πρώτων πρώτων αριθμών. . Είναι δυνατόν δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών;
1. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα , , με . Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον ένα από τα τριώνυμα έχει δυο ρίζες.
2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
3. Είναι δυνατόν για κάποιο φυσικό αριθμό να χωρίσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το έως σε δυο ομάδες και να γράψουμε τους αριθμούς κάθε ομάδας στη σειρά (κολλητά) με κάποια διάταξη ώστε, να προκύψουν δυο ίσοι αριθμοί;
4. Στο τρίγωνο η γωνία είναι ίση με . Έστω και διχοτόμοι αυτού του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι το συμμετρικό σημείο της κορυφής ως προς την ευθεία βρίσκεται επί της πλευράς .
Δεύτερη μέρα
5. Ο Τοτός έγραψε σε κύκλο 11 φυσικούς αριθμούς. Για κάθε δυο γειτονικούς αριθμούς βρήκε την διαφορά τους. Στις διαφορές που βρήκε υπάρχουν τέσσερεις άσσοι, τέσσερα δυάρια και τρία τριάρια. Να αποδείξετε ότι ο Τοτός κάπου άφησε λάθος.
6. Έστω σημεία ενός κύκλου και ευθεία που εφάπτεται αυτού του κύκλου στο σημείο . Από σημείο της φέρουμε τις κάθετες και προς τις ευθείες και αντίστοιχα (τα και βρίσκονται επί των και ). Να αποδείξετε ότι .
7. Σε μία ομάδα των εφτά ατόμων οποιοιδήποτε έξι μπορούν να καθίσουν σε στρογγυλό τραπέζι έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δυο διπλανοί να είναι γνωστοί. Να αποδείξετε ότι και όλη η ομάδα μπορεί να καθίσει σε στρογγυλό τραπέζι έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δύο διπλανοί να είναι γνωστοί.
8. Για κάθε φυσικό αριθμό συμβολίζουμε με το άθροισμα των πρώτων πρώτων αριθμών. . Είναι δυνατόν δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών;
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Σεπ 29, 2016 1:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Ας κάνω την αρχή με την εύκολη: Αν ίσχυε και και τότε θα ήτανAl.Koutsouridis έγραψε: 1. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα , , με . Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον ένα από τα τριώνυμα έχει δυο ρίζες.
. Αλλά τότε που αντιβαίνει στην υπόθεση.
Τελικά κάποια απο τις αρχικές ανισότητες είναι "ανάποδα". Π.χ. . Τότε όμως το πρώτο τριώνυμο έχει θετική διακρίνουσα, και λοιπά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Το είναι εγγράψιμο(δύο από τις απέναντι γωνίες του είναι ορθές).Al.Koutsouridis έγραψε: 6. Έστω σημεία ενός κύκλου και ευθεία που εφάπτεται αυτού του κύκλου στο σημείο . Από σημείο της φέρουμε τις κάθετες και προς τις ευθείες και αντίστοιχα (τα και βρίσκονται επί των και ). Να αποδείξετε ότι .
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Καλημέρα
Πρώτη μέρα
Πρόβλημα 4
Εστω ότι τέμνει την στο σημείο θα αποδειχθει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές . Πράγματι είναι
Από το εγράψιμο τετράπλευρο
Συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγράψιμο και
Γιάννης
Πρώτη μέρα
Πρόβλημα 4
Εστω ότι τέμνει την στο σημείο θα αποδειχθει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές . Πράγματι είναι
Από το εγράψιμο τετράπλευρο
Συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγράψιμο και
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Πρόβλημα 4 -Πρώτη μέρα.png (22.2 KiB) Προβλήθηκε 1925 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Το άθροισμα των αριθμών του Τοτού είναι της μορφής . Αν διώξουμε τα απόλυτα, παίρνει την μορφή . Παρατηρούμε ότι τo (όμοια τα υπόλοιπα) εμφανίζεται ωςAl.Koutsouridis έγραψε:
5. Ο Τοτός έγραψε σε κύκλο 11 φυσικούς αριθμούς. Για κάθε δυο γειτονικούς αριθμούς βρήκε την διαφορά τους. Στις διαφορές που βρήκε υπάρχουν τέσσερεις άσσοι, τέσσερα δυάρια και τρία τριάρια. Να αποδείξετε ότι ο Τοτός κάπου άφησε λάθος.
ή ή ή . Πάντως, σε όλες τις περιτώσεις, το αποτέλεσμα είναι άρτιος αριθμός οπότε και το ολικό άθροισμα είναι άρτιος. Από την άλλη οι τέσσερις άσσοι, τα τέσσερα δυάρια και τα τρία τριάρια δίνουν άθροισμα περιττό. Άρα κάπου έγινε λάθος.
Μ.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Χμ. Βρίσκω τουλάχιστον τρία φύλλα αγώνος.Al.Koutsouridis έγραψε: 2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Μήπως είναι εύκολη για 8;Al.Koutsouridis έγραψε:
8. Για κάθε φυσικό αριθμό συμβολίζουμε με το άθροισμα των πρώτων πρώτων αριθμών. . Είναι δυνατόν δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών;
Ας γράψω για την ακολουθία των πρώτων.
Έστω ότι υπάρχει με και τέλεια τετράγωνα. Έστω ότι και . Τότε είναι
οπότε είναι . Επειδή ο είναι πρώτος, πρέπει και . Τότε όμως
Για έχουμε
άτοπο.
Για έχουμε
πάλι άτοπο.
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Και εγώ βρήκα αρκετά φύλλα αγώνα και θεώρησα ότι κάπου έκανα λάθος.Demetres έγραψε:Χμ. Βρίσκω τουλάχιστον τρία φύλλα αγώνος.Al.Koutsouridis έγραψε: 2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
Ξεκίνησαν
ο φύλλο αγώνα
Ο προσπερνά τους , ο προσπερνά τον και οι και αλληλοπροσπερνιώνται.
ο φύλλο αγώνα
Οι αλληλοπροσπερνιώνται, ο προσπερνά τους , ο προσπερνά τον και οι αλληλοπροσπερνιώνται
ο φύλλο αγώνα
Ο προσπερνά τους , ο προσπερνά τον και οι και αλληλοπροσπερνιώνται.
ο φύλλο αγώνα
Ο προσπερνά τους , ο προσπερνά τον και οι προσπερνούν τους
ο φύλλο αγώνα
Οι προσπερνούν τους , ο προσπερνά τους και ο προσπερνά τον
Για επιπλέον δεν έλεγξα
Ίσως χρειάζεται να ...απαγορευθούν τα αλληλοπροσπεράσματα...
Ίσως έπρεπε
Al.Koutsouridis έγραψε:Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο διαφορετικοί κάθε φορά σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε).
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Θα ξανακοιτάξω την εκφώνηση ίσως να έχω κάνει κακή απόδοση αλλά, τα αλληλοπροσπεράσματα δεν μπορούν να συμβούν από την στιγμή που ο καθένας έχει την δικιά του σταθερή ταχύτητα.ealexiou έγραψε:
Ίσως χρειάζεται να ...απαγορευθούν τα αλληλοπροσπεράσματα...
Ίσως έπρεπεAl.Koutsouridis έγραψε:Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο διαφορετικοί κάθε φορά σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε).
Al.Koutsouridis έγραψε: 2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Αλέξανδρε έχεις δίκαιο, μου διέφυγε το "ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα" (με σταθερή ταχύτητα δεν γίνεται αλληλοπροσπέρασμα )
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Ξεκίνησαν (Ο πρώτος, ο τελευταίος).Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη μέρα
2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
O που ξεκίνησε πρώτος μπορεί και πρέπει, σύμφωνα με τα δεδομένα, να προσπερασθεί από δύο ακριβώς σκιέρ. Αυτοί μπορεί να είναι:
α) είτε οι και και ο να προσπερνά τον (έτσι έχουμε δύο φορές συμμετοχή σε προσπέρασμα για καθέναν από του τρεις).
β) είτε οι και οι οποίοι φυσικά προσπερνούν αρχικά τον (πάλι δύο φορές συμμετοχή σε προσπέρασμα για καθένα από τους τέσσερις σκιέρ). Άλλη περίπτωση προσπεράσματος - σύμφωνη με τα δεδομένα - του από δύο σκιέρ δεν βλέπω.
Στην (α) περίπτωση για τους ο μόνος δυνατός τρόπος προσπερασμάτων είναι οι και να προσπεράσουν τους και , άρα ο φύλλο αγώνα
Στην (β) περίπτωση για τους ο μόνος δυνατός τρόπος προσπερασμάτων είναι ο προσπερνά τους και ο προσπερνά τον , άρα ο φύλλο αγώνα
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Δίνω μια προσέγγιση που επιβεβαιώνει ότι όντως δεν έχουμε καμιά άλλη περίπτωση. Θα γράψω τα φύλλα αγώνος ανάποδα από ότι τα γράφει ο Ευθύμης. Το μόνα δυνατά φύλλα αγώνος θα είναι τα και όπου το πρώτο φύλλο αγώνος δηλώνει ότι ο τερμάτισε πρώτος, ο δεύτερος κ.ο.κ.ealexiou έγραψε:Ξεκίνησαν (Ο πρώτος, ο τελευταίος).Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη μέρα
2. Εφτά σκιέρ, σε αγώνα κατάβασης, με αριθμούς 1, 2, …, 7 ξεκίνησαν με την σειρά από την αφετηρία της πίστας ¨Φίλιππος¨ στα 3-5 Πηγάδια και έκαναν την διαδρομή ο καθένας με την δικιά του σταθερή ταχύτητα. Προέκυψε ότι κάθε σκιέρ συμμετείχε ακριβώς δυο φορές σε προσπέραση ( σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε). Στο τέλος του αγώνα πρέπει να καταρτιστεί το φύλλο αγώνος, οι αριθμοί των σκιέρ δηλαδή κατά σειρά τερματισμού. Να αποδείξετε, ότι σε αγώνα με τις παραπάνω ιδιότητες μπορούν να καταρτιστούν το πολύ δυο διαφορετικά φύλλα αγώνος.
O που ξεκίνησε πρώτος μπορεί και πρέπει, σύμφωνα με τα δεδομένα, να προσπερασθεί από δύο ακριβώς σκιέρ. Αυτοί μπορεί να είναι:
α) είτε οι και και ο να προσπερνά τον (έτσι έχουμε δύο φορές συμμετοχή σε προσπέρασμα για καθέναν από του τρεις).
β) είτε οι και οι οποίοι φυσικά προσπερνούν αρχικά τον (πάλι δύο φορές συμμετοχή σε προσπέρασμα για καθένα από τους τέσσερις σκιέρ). Άλλη περίπτωση προσπεράσματος - σύμφωνη με τα δεδομένα - του από δύο σκιέρ δεν βλέπω.
Στην (α) περίπτωση για τους ο μόνος δυνατός τρόπος προσπερασμάτων είναι οι και να προσπεράσουν τους και , άρα ο φύλλο αγώνα
Στην (β) περίπτωση για τους ο μόνος δυνατός τρόπος προσπερασμάτων είναι ο προσπερνά τους και ο προσπερνά τον , άρα ο φύλλο αγώνα
Ότι αυτά τα φύλλα αγώνος μπορούν να προκύψουν το έχουμε ήδη δει.
Κάθε φορά που κάποιος προσπερνά θα πάει μια θέση μπροστά, ενώ κάθε φορά που τον προσπερνούν θα πάει μια θέση πίσω. Οπότε μετά από δύο προσπεράσματα, κάθε ένας είτε θα μείνει στην αρχική του θέση, είτε θα πάει δυο θέσεις μπροστά, είτε θα πάει δυο θέσεις πίσω.
Θα δείξουμε αρχικά ότι ο 1 σε καμία φάση του αγώνα δεν θα προσπεράσει κάποιον. Πράγματι έστω ότι σε κάποια στιγμή προσπερνάει τον . Αυτό σημαίνει πως ο σε κάποια στιγμή έχει προσπεράσει τον 1. Αυτό είναι αδύνατον λόγω τον σταθερών ταχυτήτων που κινούνται οι και .
Άρα αναγκαστικά ο θα πέσει δύο θέσεις και με το ίδιο σκεπτικό αναγκαστικά ο θα ανέβει δύο θέσεις. Μέχρι στιγμής κάθε φύλλο αγώνος πρέπει να είναι της μορφής .
Ο δεν μπορεί να έμεινε στην θέση του αφού την καταλαμβάνει ο . Ούτε μπορεί να έπεσε δύο θέσεις αφού την πέμπτη θέση την καταλαμβάνει ο . Άρα πρέπει να ανέβηκε δύο θέσεις. Με το ίδιο σκεπτικό ο έπεσε δύο θέσεις.
Μέχρι στιγμής κάθε φύλλο αγώνος πρέπει να είναι της μορφής .
Περίπτωση A: Κάποιος σε κάποια φάση προσπέρασε τον . Δεν μπορεί να είναι κάποιος που ήταν ήδη μπροστά του λόγω των σταθερών ταχυτήτων. Άρα ήταν ένας από τους . Αυτός πρέπει στην τελική κατάταξη να είναι μπροστά από τον . Δεν μπορεί λοιπόν να ήταν ο . Αν ήταν ο τότε ο καταλήγει έκτος. Αν ήταν ο τότε ο αφού ο καταλήγει μπροστά από τον πρέπει ο να καταλήξει τέταρτος (δεν μπορεί να είναι δεύτερος αφού ανεβαίνει το πολύ δύο θέσεις) και ο έκτος.
Άρα σε αυτήν την περίπτωση ο καταλήγει έκτος. Ο δεν μπορεί να είναι δεύτερος άρα σίγουρα το φύλλο αγώνος θα λέει .
Περίπτωση B: Ο προσπερνάει κάποιον. Ίδιο σκεπτικό με την Περίπτωση A και καταλήγουμε στο άλλο φύλλο αγώνος.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Έτσι φαίνεται, αν και ήταν το πρόβλημα που δυσκόλεψε περισσότερο τους διαγωνιζόμενους. Από τους 282 (περιοχής Μόσχας) συμμετέχοντες 8 το έλυσαν πλήρως (7/7), 2 διαγωνιζόμενοι έγραψαν (6/7) και 3 (4/7).Demetres έγραψε:Μήπως είναι εύκολη για 8;Al.Koutsouridis έγραψε:
8. Για κάθε φυσικό αριθμό συμβολίζουμε με το άθροισμα των πρώτων πρώτων αριθμών. . Είναι δυνατόν δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών;
Αν κάποιος μαθητής δεν γνωρίζει την σχέση το πρόβλημα γίνεται αρκετά δύσκολο για αυτόν. Η σχέση αυτή είναι πολύ γνωστή σε κάποιον που ασχολείτε με διαγωνισμούς βέβαια και αποκτά συγκριτικό πλεονέκτημα. Για αυτό κατα την γνώμη μου τα θέματα σε αυτές τις πρώτες φάσεις θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν ανεξάρτητα από το αν κάποιος έχει διαβάσει ή ασχοληθεί με διαγωνισμούς.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Παρατήρηση 1: Κάθε άτομο γνωρίζει τουλάχιστον άλλους τρεις.Al.Koutsouridis έγραψε: 7. Σε μία ομάδα των εφτά ατόμων οποιοιδήποτε έξι μπορούν να καθίσουν σε στρογγυλό τραπέζι έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δυο διπλανοί να είναι γνωστοί. Να αποδείξετε ότι και όλη η ομάδα μπορεί να καθίσει σε στρογγυλό τραπέζι έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δύο διπλανοί να είναι γνωστοί.
Απόδειξη: Παίρνουμε μια ομάδα έξι ατόμων που να περιέχει τον Α. Μπορούμε να τους κάτσουμε κυκλικά οπότε ο Α γνωρίζει τουλάχιστον άλλους δύο, έστω τους Β και Γ. Παίρνουμε τώρα όλα τα άτομα εκτός του Β. Με το ίδιο σκεπτικό ο Α γνωρίζει τουλάχιστον δύο από αυτά τα άτομα. Μαζί με τον Β γίνονται τρεις.
Παρατήρηση 2: Υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο που γνωρίζει τουλάχιστον τέσσερα άτομα.
Απόδειξη: Αν δεν ισχύει αυτό τότε από την Παρατήρηση 1 κάθε άτομο γνωρίζει ακριβώς τρία άτομα. Συνολικά λοιπόν έχουμε γνωριμίες, άτοπο.
Έστω λοιπόν ότι ο Α έχει τουλάχιστον τέσσερις γνωστούς. Βάζουμε τους άλλος έξι κυκλικά στο τραπέζι. Από τους τέσσερις που γνωρίζει ο Α υπάρχουν δύο που κάθονται συνεχόμενα στο τραπέζι. Βάζουμε τον Α ανάμεσά τους και τελειώσαμε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Όμορφο!Al.Koutsouridis έγραψε: 3. Είναι δυνατόν για κάποιο φυσικό αριθμό να χωρίσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το έως σε δυο ομάδες και να γράψουμε τους αριθμούς κάθε ομάδας στη σειρά (κολλητά) με κάποια διάταξη ώστε, να προκύψουν δυο ίσοι αριθμοί;
Έστω ότι ο είναι -ψήφιος. Πρέπει αλλιώς είναι προφανές ότι δεν γίνεται. Η μια ομάδα σίγουρα θα περιέχει τον αριθμό με μηδενικά. Ότι και να κάνουμε όμως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς για να φτιάξουμε ένα κομμάτι που ξεκινάει από και τελειώνει με μηδενικά. (Κανένας αριθμός δεν ξεκινάει με οπότε για να φτιάξουμε τέτοιο πρέπει να πάρουμε αριθμό που να έχει ακριβώς μηδενικά και βέβαια να έχει μπροστά τους το . Μόνο όμως ένας τέτοιος αριθμός υπάρχει.)
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Μιλάμε όμως για Γ' Γυμνασίου στην Ρωσία. Οι Ρώσοι δεν ξέρουν αυτήν την σχέση από το δημοτικό;Al.Koutsouridis έγραψε:Έτσι φαίνεται, αν και ήταν το πρόβλημα που δυσκόλεψε περισσότερο τους διαγωνιζόμενους. Από τους 282 (περιοχής Μόσχας) συμμετέχοντες 8 το έλυσαν πλήρως (7/7), 2 διαγωνιζόμενοι έγραψαν (6/7) και 3 (4/7).Demetres έγραψε: Μήπως είναι εύκολη για 8;
Αν κάποιος μαθητής δεν γνωρίζει την σχέση το πρόβλημα γίνεται αρκετά δύσκολο για αυτόν. Η σχέση αυτή είναι πολύ γνωστή σε κάποιον που ασχολείτε με διαγωνισμούς βέβαια και αποκτά συγκριτικό πλεονέκτημα. Για αυτό κατα την γνώμη μου τα θέματα σε αυτές τις πρώτες φάσεις θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν ανεξάρτητα από το αν κάποιος έχει διαβάσει ή ασχοληθεί με διαγωνισμούς.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/2010 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)
Al.Koutsouridis έγραψε:8. Για κάθε φυσικό αριθμό συμβολίζουμε με το άθροισμα των πρώτων πρώτων αριθμών. . Είναι δυνατόν δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών;
Κάτι παρόμοιο είδαμε εδώ
viewtopic.php?f=111&t=53048
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες